高考數(shù)學一輪復習 第十二章 推理與證明、算法、復數(shù) 12.2 直接證明與間接證明課件 文.ppt

1、,第十二章推理與證明、算法、復數(shù),12.2直接證明與間接證明,內容索引,基礎知識 自主學習,題型分類 深度剖析,思想與方法系列,思想方法 感悟提高,練出高分,基礎知識自主學習,1.直接證明 (1)綜合法 定義：從 出發(fā)，以已知的定義、公理、定理為依據，逐步下推，直到推出要證明的結論為止，這種證明方法常稱為綜合法.,思維過程：由因導果.,已知條件,知識梳理,1,答案,(2)分析法 定義：從 出發(fā)，追溯導致結論成立的條件，逐步上溯，直到使結論成立的條件和已知條件或已知事實吻合為止.這種證明方法常稱為分析法.,思維過程：執(zhí)果索因.,問題的結論,答案,2.間接證明 (1)反證法：假設原命題 (即在原命

2、題的條件下，結論不成立)，經過正確的推理，最后得出 ，因此說明假設錯誤，從而證明 的證明方法. (2)反證法的步驟： 反設假設命題的結論不成立，即假定原結論的反面為真； 歸謬從反設和已知條件出發(fā)，經過一系列正確的邏輯推理，得出矛盾結果； 存真由矛盾結果，斷定反設不真，從而肯定原結論成立.,不成立,矛盾,原命題,成立,答案,判斷下面結論是否正確(請在括號中打“”或“”) (1)綜合法是直接證明，分析法是間接證明.() (2)分析法是從要證明的結論出發(fā)，逐步尋找使結論成立的充要條件.() (3)用反證法證明結論“ab”時，應假設“ab”.() (4)反證法是指將結論和條件同時否定，推出矛盾.()

3、(5)在解決問題時，常常用分析法尋找解題的思路與方法，再用綜合法展現(xiàn)解決問題的過程.(),思考辨析,答案,1.已知點An(n，an)為函數(shù)y 圖象上的點，Bn(n，bn)為函數(shù)yx圖象上的點，其中nN*，設cnanbn，則cn與cn1的大小關系為_.,則cn隨n的增大而減小，cn1cn.,cn1cn,考點自測,2,解析答案,1,2,3,4,5,2.用反證法證明：若整系數(shù)一元二次方程ax2bxc0 (a0)有有理數(shù)根，那么a，b，c中至少有一個是偶數(shù).用反證法證明時，下列假設正確的是_. 假設a，b，c都是偶數(shù)； 假設a，b，c都不是偶數(shù)； 假設a，b，c至多有一個偶數(shù)； 假設a，b，c至多有兩

4、個偶數(shù).,解析“至少有一個”的否定為“都不是”，故正確.,解析答案,1,2,3,4,5,3.要證a2b21a2b20只要證明_(填正確的序號). 2ab1a2b20；,(a21)(b21)0.,解析a2b21a2b20(a21)(b21)0.,解析答案,1,2,3,4,5,a0，b0且ab,解析答案,1,2,3,4,5,5.(教材改編)在ABC中，三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且A，B，C成等差數(shù)列，a，b，c成等比數(shù)列，則ABC的形狀為_三角形. 解析由題意2BAC，,由余弦定理得b2a2c22accos Ba2c2ac， a2c22ac0，即(ac)20，ac，,ABC為等邊三

5、角形.,等邊,1,2,3,4,5,解析答案,返回,題型分類深度剖析,題型一綜合法的應用,解析答案,解析答案,思維升華,(1)綜合法是“由因導果”的證明方法，它是一種從已知到未知(從題設到結論)的邏輯推理方法，即從題設中的已知條件或已證的真實判斷(命題)出發(fā)，經過一系列中間推理，最后導出所要求證結論的真實性.(2)綜合法的邏輯依據是三段論式的演繹推理.,思維升華,設a、b、c均為正數(shù)，且abc1，證明：,證明由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac 得a2b2c2abbcca. 由題設知(abc)21， 即a2b2c22ab2bc2ca1.,跟蹤訓練1,解析答案,解析答案,題型二分析法的

6、應用,解析答案,所以cos x1cos x20，sin(x1x2)0,1cos(x1x2)0，,解析答案,故只需證明1cos(x1x2)2cos x1cos x2， 即證1cos x1cos x2sin x1sin x22cos x1cos x2， 即證cos(x1x2)1.,引申探究,解析答案,思維升華,因此只要證明 (x1x2) (x1x2)，,即證明 ，,因此只要證明 ，,由于x1，x2R時，,由基本不等式知 顯然成立，故原結論成立.,思維升華,(1)逆向思考是用分析法證題的主要思想，通過反推，逐步尋找使結論成立的充分條件.正確把握轉化方向是使問題順利獲解的關鍵.(2)證明較復雜的問題時

7、，可以采用兩頭湊的辦法，即通過分析法找出某個與結論等價(或充分)的中間結論，然后通過綜合法證明這個中間結論，從而使原命題得證.,思維升華,解析答案,跟蹤訓練2,而上述不等式顯然成立，故原不等式成立.,命題點1證明否定性命題,例3已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足anSn2. (1)求數(shù)列an的通項公式； 解當n1時，a1S12a12，則a11. 又anSn2，所以an1Sn12，,題型三反證法的應用,解析答案,(2)求證：數(shù)列an中不存在三項按原來順序成等差數(shù)列. 證明反證法：假設存在三項按原來順序成等差數(shù)列，,所以22rq2rp1.(*) 又因為pqr，且p，q，rN*，所以rq，rpN*

8、. 所以(*)式左邊是偶數(shù)，右邊是奇數(shù)，等式不成立. 所以假設不成立，原命題得證.,解析答案,命題點2證明存在性問題,例4若f(x)的定義域為a，b，值域為a，b(ab)，則稱函數(shù)f(x)是a，b上的“四維光軍”函數(shù).,解析答案,所以函數(shù)在區(qū)間1，b上單調遞增. 由“四維光軍”函數(shù)的定義可知，g(1)1，g(b)b，,因為b1，所以b3.,解得ab，這與已知矛盾.故不存在.,解析答案,命題點3證明唯一性命題,例5已知a0，證明關于x的方程axb有且只有一個根.,假設x1，x2是它的兩個不同的根， 即ax1b， ax2b， 由得a(x1x2)0， 因為x1x2，所以x1x20， 所以a0，這與已

9、知矛盾，故假設錯誤. 所以當a0時，方程axb有且只有一個根.,解析答案,思維升華,應用反證法證明數(shù)學命題，一般有以下幾個步驟： 第一步：分清命題“pq”的條件和結論； 第二步：作出與命題結論q相反的假設綈q； 第三步：由p和綈q出發(fā)，應用正確的推理方法，推出矛盾結果； 第四步：斷定產生矛盾結果的原因在于開始所作的假設綈q不真，于是原結論q成立，從而間接地證明了命題pq為真. 所說的矛盾結果，通常是指推出的結果與已知公理、已知定義、已知定理或已知矛盾，與臨時假設矛盾以及自相矛盾等都是矛盾結果.,思維升華,(1)求數(shù)列an的通項an與前n項和Sn；,跟蹤訓練3,解析答案,解析答案,返回,假設不成

10、立，即數(shù)列bn中任意不同的三項都不可能成等比數(shù)列.,返回,思想與方法系列,(1)當點B的坐標為(0,1)，且四邊形OABC為菱形時，求AC的長； (2)當點B在W上且不是W的頂點時，證明：四邊形OABC不可能為菱形.,思維點撥(1)根據菱形對角線互相垂直平分及點B的坐標設出點A的坐標，代入橢圓方程求得點A的坐標，后求AC的長； (2)將直線方程代入橢圓方程求出AC的中點坐標(即OB的中點坐標)，判斷直線AC與OB是否垂直.,思想與方法系列,22.反證法在證明題中的應用,解析答案,返回,溫馨提醒,思維點撥,規(guī)范解答 (1)解因為四邊形OABC為菱形，則AC與OB相互垂直平分. 由于O(0,0)，

11、B(0,1),(2)證明假設四邊形OABC為菱形， 因為點B不是W的頂點，且ACOB，所以k0.,解析答案,溫馨提醒,設A(x1，y1)，C(x2，y2)，,因為M為AC和OB的交點，且m0，k0，,所以OABC不是菱形，與假設矛盾.13分 所以當點B不是W的頂點時，四邊形OABC不可能是菱形.14分,溫馨提醒,(1)掌握反證法的證明思路及證題步驟，正確作出假設是反證法的基礎，應用假設是反證法的基本手段，得到矛盾是反證法的目的. (2)當證明的結論和條件聯(lián)系不明顯、直接證明不清晰或正面證明分類較多、而反面情況只有一種或較少時，常采用反證法. (3)利用反證法證明時，一定要回到結論上去.,返回,

12、溫馨提醒,思想方法感悟提高,1.分析法的特點：從未知看需知，逐步靠攏已知. 2.綜合法的特點：從已知看可知，逐步推出未知. 3.分析法和綜合法各有優(yōu)缺點.分析法思考起來比較自然，容易尋找到解題的思路和方法，缺點是思路逆行，敘述較繁；綜合法從條件推出結論，較簡捷地解決問題，但不便于思考.實際證題時常常兩法兼用，先用分析法探索證明途徑，然后再用綜合法敘述出來.,方法與技巧,1.用分析法證明時，要注意書寫格式的規(guī)范性，常常用“要證(欲證)”“即證”“只需證”等，逐步分析，直至一個明顯成立的結論. 2.利用反證法證明數(shù)學問題時，要假設結論錯誤，并用假設的命題進行推理，如果沒有用假設命題推理而推出矛盾結

13、果，其推理過程是錯誤的.,失誤與防范,返回,練出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1.若a、bR，則下面四個式子中恒成立的是_(填序號). lg(1a2)0 a2b22(ab1),解析在中，a2b22(ab1)(a22a1)(b22b1) (a1)2(b1)20， a2b22(ab1)恒成立.,解析答案,2.已知p3q32，求證pq2，用反證法證明時，可假設pq2；已知a，bR，|a|b|1，求證方程x2axb0的兩根的絕對值都小于1，用反證法證明時可假設方程有一根x1的絕對值大于或等于1，即假設|x1|1.以下正確的是_(填字母). a.與的假設都

14、錯誤b.與的假設都正確 c.的假設正確；的假設錯誤d.的假設錯誤；的假設正確,解析反證法的實質是否定結論，對于，其結論的反面是pq2，所以不正確； 對于，其假設正確.,d,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,ab0 ac0 (ab)(ac)0 (ab)(ac)0,(ac)2ac0 (ac)(2ac)0(ac)(ab)0.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,P2Q2，PQ.,PQ,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,5.設a，b是兩個實數(shù)，給出下列條件： a

15、b1；ab2；ab2；a2b22；ab1. 其中能推出：“a，b中至少有一個大于1”的條件是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,但a2，故推不出； 若a2，b3，則ab1，故推不出；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,對于，即ab2，則a，b中至少有一個大于1， 反證法：假設a1且b1，則ab2與ab2矛盾， 因此假設不成立，a，b中至少有一個大于1. 答案,6.用反證法證明命題“a，bR，ab可以被5整除，那么a，b中至少有一個能被5整除”，那么假設的內容是_.,解析“至少有n個”的否定是“最多有n1個

16、”， 故應假設a，b中沒有一個能被5整除.,a，b中沒有一個能被5整除,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,8.若二次函數(shù)f(x)4x22(p2)x2p2p1，在區(qū)間1,1內至少存在一點c，使f(c)0，則實數(shù)p的取值范圍是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,9.已知ab0，求證：2a3b32ab2a2b. 證明要證明2a3b32ab2a2b成立， 只需證：2a3b32ab2a2b0， 即2a(a2b2)b(a2b2

17、)0， 即(ab)(ab)(2ab)0. ab0，ab0，ab0,2ab0， 從而(ab)(ab)(2ab)0成立， 2a3b32ab2a2b.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,10.設數(shù)列an是公比為q的等比數(shù)列，Sn是它的前n項和. (1)求證：數(shù)列Sn不是等比數(shù)列；,因為a10，所以(1q)21qq2， 即q0，這與公比q0矛盾， 所以數(shù)列Sn不是等比數(shù)列.,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(2)數(shù)列Sn是等差數(shù)列嗎？

18、為什么？,解當q1時，Snna1，故Sn是等差數(shù)列； 當q1時，Sn不是等差數(shù)列，否則2S2S1S3， 即2a1(1q)a1a1(1qq2)， 得q0，這與公比q0矛盾. 綜上，當q1時，數(shù)列Sn是等差數(shù)列； 當q1時，數(shù)列Sn不是等差數(shù)列.,解析答案,ABC,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,12.如果A1B1C1的三個內角的余弦值分別等于A2B2C2的三個內角的正弦值，則下列說法正確的是_. A1B1C1和A2B2C2都是銳角三角形； A1B1C1和A2B2C2都是鈍角三角形； A1B1C1是鈍角三角形，A2B2C2是銳角三角形； A1B1C1是銳角三角形，A2B2C2是鈍角三角形.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,解析由條件知，A1B1C1的三個內角的余弦值均大于0， 則A1B1C1是銳角三角形，假設A2B2C2是銳角三角形.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,這與三角形內角和為180相矛盾. 所以假設不成立，又顯然A2B2C2不是直角三角形. 所以A2B2C2是鈍角三角形.,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,解析f(x)sin x在區(qū)間(0，)上是凸函數(shù)，且A、B、C(0