第五章__連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域.ppt

1、信號與系統(tǒng),第五章 連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析,西北工業(yè)大學 計算機學院 陸艷洪,本章內(nèi)容概要,引言 拉普拉斯變換 拉普拉斯變換的收斂區(qū) 常用函數(shù)的拉普拉斯變換 拉普拉斯反變換 拉普拉斯的基本性質(zhì) 線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析法,（1）拉普拉斯變換的數(shù)學定義和物理意義 （2）拉普拉斯變換的性質(zhì)及計算方法 （3）連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析法 （4）系統(tǒng)函數(shù)的定義,下一節(jié),學習本章要求掌握：,傅里葉變換對系統(tǒng)分析是有用的，對信號的分析和處理更為有用。 在系統(tǒng)分析中的最大優(yōu)點是將時域中的微分方程轉(zhuǎn)化成頻域的代數(shù)方程從而簡化了運算。 在信號分析和處理中，其最大的優(yōu)點在于能解出信號能量在多個頻率上的分量,5.

2、1 引言,傅里葉變換法的不足：,它一般只能處理符合狄利希萊條件的信號。 傅里葉反變換時復(fù)變函數(shù)的廣義積分，難以計算。,本章引入的拉普拉斯變換分析法:,一方面可從數(shù)學中積分變換的觀點直接定義； 另一方面從信號分析觀點可看成是傅里葉變換在復(fù)頻域中的推廣,具有更為明確的物理意義；,因而拉普拉斯變換分析法常稱為復(fù)頻域分析法。 拉普拉斯變換分析法和傅里葉變換分析法都是建立在線性非時變系統(tǒng)的齊次性可迭加性基礎(chǔ)上的。只是信號分解的基本單元函數(shù)不同。,傅里葉變換分解的基本單元信號為：,拉普拉斯變換分解的基本單元信號為：,由此可見，拉普拉斯變換分析法和傅里葉變換分析法有許多類似之處，事實上，傅里葉變換可視為拉普

3、拉斯變換在=0時的一種特殊情況。,（2）基于拉普拉斯變換的復(fù)頻域轉(zhuǎn)移函數(shù)的零、極點分析是系統(tǒng)綜合所依賴的基礎(chǔ)之一。,拉普拉斯變換分析法是一個重要而有效的方法。,（1）運算簡捷，且對系統(tǒng)微分方程進行變換時，能夠自動記入初始條件。,5.2 拉普拉斯變換定義,5.2 拉普拉斯變換定義,稱為雙邊拉普拉斯變換或象函數(shù),稱為雙邊拉普拉斯變換的收斂域（ROC）,稱為雙邊拉普拉斯反變換或原函數(shù),注意，s要在收斂域（ROC）中,單邊拉普拉斯變換：,F(s)稱為f(t)的拉普拉斯變換； f(t)稱為F(s)的原函數(shù)。,5.2 拉普拉斯變換,物理意義:,雙、單邊L.T都可看作是F.T在復(fù)頻域中的推廣。 從數(shù)學形式上

4、看，L.T為將F.T中的j換成s的結(jié)果。,從物理概念上講，F(xiàn).T將函數(shù)分解為許多形如ejt或cos(t)的單元函數(shù)之和。每一對正負分量構(gòu)成一等幅正弦振蕩，振幅 為無窮小量。,L.T將函數(shù)分解為形如est或et cos(t)指數(shù)分量之和，每一對正負的指數(shù)分量構(gòu)成一個變幅的正弦振蕩，振幅 也為無窮小量。s稱為復(fù)頻率，F(xiàn)(s)稱為復(fù)頻譜。,5.2 拉普拉斯變換,F.T中構(gòu)成角頻率軸，L.T中s構(gòu)成復(fù)頻平面。s上的一點對應(yīng)的f(t)分量如圖示：,對應(yīng)一隨時間按指數(shù)規(guī)律變化的指數(shù)函數(shù)。0，為單調(diào)增長指數(shù)； 0為單調(diào)衰減指數(shù)。|越大，增長/衰減速率越大；,1）實軸上頻率點（=0，est=et）：,（2）虛

5、軸上頻率點（=0，est=ejt）：兩個正負值對應(yīng)一等幅正弦振蕩cost。s離軸越遠，即|越大，則振蕩頻率越高；,（3）復(fù)平面上點 （s=+j，est=et+jt）：,0，s落在左半平面上 ：兩正負的est對應(yīng)一減幅正弦振蕩。s點離實軸越遠振蕩頻率越大，離虛軸越遠幅值減少越快。 即在左半平面est收斂，在右半平面est發(fā)散。,5.2 拉普拉斯變換,0，s落在右半平面上：對應(yīng)一增幅正弦振蕩，s 離越遠，振蕩頻率越高；離j軸越遠，幅值增長速率越大 ；,前面說過，L.T為F.T的復(fù)頻域推廣。反過來說F.T為L.T在s=j，即=0時的特殊情況。 求F.T反變換時，廣義積分只能沿著虛軸求取，而L.T的則

6、可在收斂區(qū)內(nèi)沿任何路徑求取。通過取定值，則積分沿與j平行且相距的直線進行。用復(fù)變函數(shù)的留數(shù)定理得知，ILT的求取比IFT的求取要簡單容易的多。,5.2 拉普拉斯變換,由上可以看出，復(fù)平面S上的每一對共軛對稱點或?qū)嵼S上的每一點都唯一地對應(yīng)于一個確定的時間函數(shù)。,5.3 拉普拉斯變換的收斂域,由上面的討論可知，連續(xù)時間信號f(t)的拉普拉斯變換（以下簡稱拉氏變換）式F(s)是否存在，取決于f(t)乘以衰減因子 以后是否絕對可積，即：,因此，在s平面上，使 絕對可積的區(qū)域稱為L.T的絕對收斂域簡稱收斂域。或稱為L.T存在的充分條件。,一、單邊拉普拉斯變換的收斂域 從 可以看出，要使單邊拉普拉斯變換存

7、在，通常要求f(t)是指數(shù)階函數(shù)且具有分段連續(xù)的性質(zhì)。也就是，存在一個常數(shù)0，使得 在0范圍內(nèi)，對于所有大于定值T的時間t有界，且當t趨于時，其極限值為0。即：,5.3 拉普拉斯變換的收斂域,根據(jù)0的值可以將s平面分為兩個區(qū)域。,5.3 拉普拉斯變換的收斂域,通過0的垂直線是收斂區(qū)的邊界，稱為收斂邊界或收斂軸，0稱為收斂坐標； s平面上收斂軸之右的部分即為收斂區(qū)。,簡單函數(shù)的收斂區(qū),整個S平面,5.3 拉普拉斯變換的收斂域,單個脈沖信號：,單位階躍信號(t)：,右單邊指數(shù)衰減信號與其收斂域,5.3 拉普拉斯變換的收斂域,左單邊指數(shù)增長信號與其收斂域,5.3 拉普拉斯變換的收斂域,雙邊指數(shù)信號與

8、其收斂域,5.3 拉普拉斯變換的收斂域, -2,稱為收斂因子, -2,所以： -2,5.4 常用函數(shù)的拉普拉斯變換,指數(shù)函數(shù),推廣可得：,5.4 常用函數(shù)的拉普拉斯變換,5.4 常用函數(shù)的拉普拉斯變換,5.4 常用函數(shù)的拉普拉斯變換,5.4 常用函數(shù)的拉普拉斯變換,5.4 常用函數(shù)的拉普拉斯變換,5.4 常用函數(shù)的拉普拉斯變換,5.4 常用函數(shù)的拉普拉斯變換,下一節(jié),5.4 常用函數(shù)的拉普拉斯變換,5.5 拉普拉斯反變換,在使用Laplace變換分析系統(tǒng)時，最后為求得系統(tǒng)的時域響應(yīng)，必須求拉普拉斯反變換。即求原函數(shù)。 原函數(shù)的基本求法： 1、查表并利用拉普拉斯變換的性質(zhì) 2、部分分式展開法 3

9、、留數(shù)法,部分分式展開式法（海維塞展開法）,5.5 拉普拉斯反變換,F(s)通常為s的有理分式，一般形式為：,總的思路：,有理假分式有理真分式最簡分式之和f(t) 部分分式展開的方法同傳輸算子展開法，將ps 按D(s) = 0的根(稱為F(s)的極點)有無重根等分別討論如下：,1當mn， D(s)=0的根無重根情況 (可為實根、虛根或復(fù)根),有理分式真分式F(s)可展開如下的部分分式：,5.5 拉普拉斯反變換,5.5 拉普拉斯反變換,5.5 拉普拉斯反變換,5.5 拉普拉斯反變換,補充例題 1.,解：,利用因式分解，有,部分分式展開,待定系數(shù),5.5 拉普拉斯反變換,5.5 拉普拉斯反變換,5

10、.5 拉普拉斯反變換,圍線積分法（留數(shù)法） 拉氏反變換是一個復(fù)變函數(shù)的線積分,當F(s)為真分式時由復(fù)變函數(shù)中的約當輔助定理 知此積分可轉(zhuǎn)化為求F(s)全部極點Sk留數(shù)ResSk的代數(shù)和。,1.若Sk為D(s)=0的單根即F(s)的單極點，一階極點，則：,2. 若Sk為D(s)=0的p 階重根即F(s)的r階極點，則：,當F(s)為假分式時長除法分解為多項式與有理真分式之和，多項式?jīng)Q定沖激函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)項，再對真分式求留數(shù)決定其它項。留數(shù)法在含重根時，計算比部分分式法略為簡單些.,稱為雙邊拉普拉斯變換或象函數(shù),稱為雙邊拉普拉斯反變換或原函數(shù),原函數(shù)(拉普拉斯反變換)的基本求法： 1、查表并利用拉

11、普拉斯變換的性質(zhì) 2、部分分式展開法 3、留數(shù)法,部分分式展開法,留數(shù)法,5.6 拉普拉斯變換的基本性質(zhì),1、線性性質(zhì)：若,其中：C1,C2為任意常數(shù),則,例：,2、尺度變換性：,若f(t) F(s)，則,3、時移性：,例2: 求圖示信號的拉氏變換。,例3: 求周期矩形脈沖信號的拉氏變換。,【解】設(shè),抽樣信號的拉氏變換,練習：,4、頻移性：,若f(t) F(s)，則,解：,證明：,5、時域微分性：,若f(t) F(s)，則,若f(t) F(s)，則,6、時域積分性：,解：,7、頻域微分性：,若f(t) F(s)，則,8、頻域積分性：,若f(t) F(s)，則,sin(ot ),例：,解：,9、

12、時域卷積定理：,若,則,10、頻域卷積定理：,則,若,其中,初值: f(t)|t=0+=f(0+),若f(t) 有初值，且f(t) F(s)，則,12、終值定理：,終值: f(t)|t=f(),若f(t) 有終值，且f(t) F(s)，則,11、初值定理：,注意：終值存在的條件：F(s)所有極點都位于s左半平面（包括原點處的單極點）,當f(t)含有沖激及其導(dǎo)數(shù)時，有,解：,5.6 拉普拉斯變換的基本性質(zhì),5.6 拉普拉斯變換的基本性質(zhì),5.7 線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析方法,一、由方程求響應(yīng) 利用拉氏變換求線性系統(tǒng)的響應(yīng)時，需要首先對描述系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的微分方程進行拉氏變換，得到一個s域的代

13、數(shù)方程; 由于在變換中自動地引入了系統(tǒng)起始狀態(tài)的作用，因而求出響應(yīng)的象函數(shù)包含了零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)，再經(jīng)過拉氏反變換可以很方便地得到零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)的時域解。,5.7 線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析方法,5.7 線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析方法,例3： 線性時不變系統(tǒng)的模型如下，且已知：f(t)=(t)，y(o-)=2， y(o-)=1。求系統(tǒng)零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)以及全響應(yīng)y(t)。,零輸入分量：,零狀態(tài)分量：,全響應(yīng)：,5.7 線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析方法,二、由電路求響應(yīng) 1、s域等效電路,1）元件s域運算阻抗 R，L，C R，sL, 1/sC,2)信號象函數(shù) i(t)，u

14、(t) I(s)，U(s),5.7 線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析方法,（a）時域電路模型,電阻元件時域與s域電路模型,（b）s域電路模型,取L.S變換,電容元件時域與s域電路模型,（b）s域串聯(lián)電路模型,（a）時域電路模型,取L.S變換,電容元件時域與s域電路模型,（c）s域并聯(lián)電路模型,（a）時域電路模型,取L.S變換,電容元件的時域伏安關(guān)系還可以表示為：,電感元件的s域電路模型,對兩邊分別求L.T，得 ：,（a）時域電路模型,（b）s域串聯(lián)電路模型,（a）時域電路模型,電感元件的s域電路模型,對兩邊分別求L.T，得 ：,電感元件的時域伏安關(guān)系還可以表示為：,（c）s域并聯(lián)電路模型,（2）有了

15、s域電路元件模型，就可以得到一般電路的s域模型。應(yīng)用電路分析中的基本分析方法（節(jié)點法、網(wǎng)孔法等）和定理（如疊加定理、戴維南定理等），列出復(fù)頻域的代數(shù)方程，并進行求解得到響應(yīng)的象函數(shù)，對所求的響應(yīng)象函數(shù)進行拉氏反變換，即得出響應(yīng)的時域解。,5.7 線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析方法,基爾霍夫定律,KVL定律：,KCL定律：,歐姆定律（零狀態(tài)）,其中：,（運算阻抗）,（運算導(dǎo)納）,5.7 線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析方法,基本步驟： 1） 畫t=0-等效電路，求初始狀態(tài)； 2） 畫s域等效模型； 3） 列s域電路方程（代數(shù)方程）； 4） 解s域方程，求出s域響應(yīng)； 5） 反變換求t域響應(yīng)。,5.7 線性

16、系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析方法,例5-11 圖5-11中，已知e(t)=10(t)，C=1F，R12=1/5，R2=1 ，L=1/2H，初始條件uC(0)=5V，iL(0)=4A，方向如圖，試求響應(yīng)電流i1(t)。,圖5-11 （a）時域電路模型,圖5-11 （b）s域電路模型,uC(0)=5V，iL(0)=4A,C=1F，R12=1/5，R2=1 ，L=1/2H,補充例題：,例1：,圖示電路，t0 ，K打開，電路穩(wěn)定，有,t=0 ，K閉合，有s域等效模型,求：u2(t),解：,3、系統(tǒng)函數(shù)H(s) 由時域零狀態(tài)響應(yīng)r(t)=e(t)*h(t)可得： R(s)=E(s)H(s)。 引入系統(tǒng)函數(shù)（又稱系統(tǒng)轉(zhuǎn)移函數(shù)）：,5.7 線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析方法,自然分量,受