應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)下冊(cè)第13章--函數(shù)、極限與連續(xù)

1、第十三章 函數(shù)、極限與連續(xù),第一節(jié)函數(shù)及其性質(zhì) 第二節(jié)數(shù)列極其極限 第三節(jié)函數(shù)的極限 第四節(jié)無(wú)窮小與無(wú)窮大 第五節(jié)極限的運(yùn)算法則 第六節(jié)兩個(gè)重要的極限 第七節(jié)無(wú)窮小的比較 第八節(jié)初等函數(shù)的連續(xù)性與間斷性 第九節(jié)初等函數(shù)的連續(xù)性,第一節(jié) 函數(shù),.函數(shù)的定義,一、函數(shù)的概念,通過(guò)函數(shù)定義,可以發(fā)現(xiàn),構(gòu)成函數(shù)的兩個(gè)重要因素為對(duì)應(yīng)關(guān)系與定義域.,顯然,兩個(gè)函數(shù)只有當(dāng)它們的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全相同時(shí),這兩個(gè)函數(shù)才認(rèn)為是相同的.,2.函數(shù)的定義域,1. 函數(shù)中有分式,要求分母不能為零 2. 函數(shù)中根式,要求負(fù)數(shù)不能開(kāi)偶次方 3. 函數(shù)中有對(duì)數(shù)式,要求真數(shù)必須大于零 4. 函數(shù)中有對(duì)數(shù)式和反三角函數(shù)式,要求

2、符合它們定義域 5. 若函數(shù)式是上述各式的混合式,則應(yīng)取各部分定義域的交集,例1 求下列函數(shù)的定義域,3.函數(shù)與函數(shù)值的記號(hào),4. 函數(shù)的表示方法,表示函數(shù)的方法,最常用的有以下三種:,13-1,在不同的區(qū)間內(nèi)用不同的式子來(lái)表示的函數(shù)稱(chēng)為分段函數(shù)，即用幾個(gè)式子合在一起表示一個(gè)函數(shù).,求分段函數(shù)的函數(shù)值時(shí)，應(yīng)將 自變量的值代入相應(yīng)取值范圍的表示進(jìn)行計(jì)算.,1.函數(shù)的奇偶性,二、函數(shù)的幾種特性,2.函數(shù)的單調(diào)性,上述定義也適用于其它有限區(qū)間和無(wú)限區(qū)間的情形.,單調(diào)增加(或單調(diào)減少)函數(shù)的圖形沿 軸的正向上升(或下降).,證,3.函數(shù)的周期性,4.函數(shù)有界性,上述定義也適用于閉區(qū)間和無(wú)窮區(qū)間.,三、

3、復(fù)合函數(shù),例5 指出下列復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過(guò)程,解,四、反函數(shù),解,定義4 由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合而構(gòu)成的，并能用一個(gè)式子表示的函數(shù),稱(chēng)為初等函數(shù).,五、初等函數(shù),例7 用鐵皮做一容積為V的圓柱形罐頭筒，試將它的表面積表示為底半徑的函數(shù)，并求定義域.,解,六、建立函數(shù)關(guān)系舉例,解,從上面的例子可以看出，建立函數(shù)關(guān)系時(shí)，首先要弄清題意，分析問(wèn)題中哪些是變量，哪些是常量；其次，分清變量中哪個(gè)應(yīng)作為自變量，哪個(gè)作為函數(shù)，并用習(xí)慣的字母區(qū)分它們；然后把變量暫固定，利用幾何關(guān)系、物理定律或其他知識(shí)，列出變量間的等量關(guān)系式，并進(jìn)行化簡(jiǎn)，便能得到所需要的函數(shù)關(guān)系，找出函關(guān)系式后，一

4、般還要根據(jù)題意寫(xiě)出函數(shù)的定義域。,1.需求函數(shù),某一商品的需要量是指在一定的價(jià)格水平下,消費(fèi)者愿意而且有支付能力購(gòu)買(mǎi)的商品量.,消費(fèi)者對(duì)某種商品的需求由多種因素決定,商品的價(jià)格是影響需求的一個(gè)主要因素,還有其他因素,諸如消費(fèi)收入的增減、季節(jié)的變換都會(huì)影響需求.現(xiàn)在假定價(jià)格以外的其他因素均為常量,只研究需求與價(jià)格的關(guān)系.,七、經(jīng)濟(jì)類(lèi)函數(shù)舉例,一般情況下,商品的價(jià)格越低,需求量越大;商品價(jià)格越高,需要越小.因此需求函數(shù)是單調(diào)減少函數(shù).,依據(jù)經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),常見(jiàn)的需求函數(shù)有以下幾種類(lèi)型.,解,2.供給函數(shù),某一商品的供給量是指在一定的價(jià)格水平下,生產(chǎn)者愿意生產(chǎn)并可供出售的商品量.,一般情況下,商品的價(jià)

5、格越低,生產(chǎn)者不愿生產(chǎn),供給少;商品價(jià)格越高,生產(chǎn)者愿意生產(chǎn)并且能夠向市場(chǎng)提供的多,因此供給函數(shù)是單調(diào)增加的.,依據(jù)經(jīng)濟(jì)學(xué)中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),常見(jiàn)的供給函數(shù)有以下幾種類(lèi)型.,如果市場(chǎng)上某商品的需求量恰好等于供給量,則稱(chēng)此市場(chǎng)供需平衡狀態(tài),此時(shí)的商品價(jià)格稱(chēng)為均衡價(jià)格.市場(chǎng)上的商品價(jià)格將圍繞均衡價(jià)格上下波動(dòng).,解,3.成本函數(shù),解,4.收益函數(shù),總收益是生產(chǎn)者出售一定量產(chǎn)品所得到的全部收入，平均收益是生產(chǎn)者出售一定量產(chǎn)品，平均每出售單位產(chǎn)品所得到的收入，即單位產(chǎn)品的售價(jià).,5.利潤(rùn)函數(shù),解,經(jīng)濟(jì)學(xué)中實(shí)際問(wèn)題的解決,不僅需要建立一些經(jīng)濟(jì)量之間的函數(shù)關(guān)系,更需要對(duì)這些函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行研究.在后面的幾章中, 我

6、們將陸續(xù)提供解決這些問(wèn)題的一些非常有效的數(shù)學(xué)工具.,本節(jié)關(guān)鍵詞,基本初等函數(shù),初等函數(shù),復(fù)合函數(shù),思考題,課堂練習(xí)題,答案,答案,第二節(jié) 數(shù)列及極限,一、數(shù)列的極限,例1 觀察下列的通項(xiàng)變化趨勢(shì)，寫(xiě)出它們的極限,由表中各個(gè)數(shù)列的變化趨勢(shì)，根據(jù)數(shù)列極限的定義可知：,通過(guò)以上例題，可以推得以下結(jié)論：,數(shù)列極限四則運(yùn)算法則：,二、數(shù)列極限的四則運(yùn)算,解,例3 求下列各極限.,解,三、無(wú)窮遞遞縮等比數(shù)列的求和公式,這個(gè)公式叫無(wú)窮遞縮等比數(shù)列的求和公式.,解,(1)如果一個(gè)數(shù)列有極限,則此極限是惟一的.,(2)數(shù)列有無(wú)極限,極限是何值,與該數(shù)列的任意有限項(xiàng)無(wú)關(guān).,四、數(shù)列極限的性質(zhì),思考題,答案,答案,

7、答案,課堂練習(xí)題,答案,答案,第三節(jié) 函數(shù)的極限,一、,先看下面的例子.,二、,例3 觀察并寫(xiě)出下列函數(shù)的極限:,解,13-19,13-20,三、左極限與右極限,解,解,四、函數(shù)的性質(zhì),思考題,答案,答案,答案,課堂練習(xí)題,答案,答案,第四節(jié)、無(wú)窮小與窮大,1.無(wú)窮小的定義,在實(shí)際問(wèn)題中,常會(huì)遇到以零為極限的變量.,一、無(wú)窮小與無(wú)窮大的定義及其關(guān)系,應(yīng)當(dāng)注意以下幾點(diǎn):,2.無(wú)窮大的定義,與無(wú)窮小相仿,應(yīng)當(dāng)注意以下幾點(diǎn):,3.無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系,解,例2 以下函數(shù)在怎樣的變化過(guò)程中是無(wú)窮小?你能寫(xiě)出相同過(guò)程下的無(wú)窮大嗎?,解,例3 討論以下函數(shù)在何種情況下為無(wú)窮小?無(wú)窮大?,解,1.無(wú)窮小與函

8、數(shù)極限之間的關(guān)系,2.無(wú)窮小的性質(zhì)及推論,性質(zhì)1 有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和仍為無(wú)窮小.,性質(zhì)2 有限個(gè)有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積為無(wú)窮小. 推論1 常數(shù)與無(wú)窮小的乘積仍為無(wú)窮小,性質(zhì)3 有限個(gè)無(wú)窮小的乘積仍為無(wú)窮小. 推論2 無(wú)窮小的正整數(shù)次冪仍為無(wú)窮小.,二、無(wú)窮小的性質(zhì),解,解,思考題,課堂練習(xí)題,答案,答案,第五節(jié) 極限的運(yùn)算法則,解,解,解,解,解,解,解,解,解,思考題,答案,答案,課堂練習(xí)題,答案,答案,第六節(jié) 兩個(gè)重要的極限,一、,證,解,解,解,解,解,二、,解,解,解,思考題,答案,答案,課堂練習(xí)題,答案,答案,第七節(jié) 無(wú)窮小的比較,已經(jīng)知道，兩個(gè)無(wú)窮小的和、差、積都是無(wú)窮小，但是兩

9、個(gè)無(wú)窮小的商將有什么樣的情況呢？,表13-3 三個(gè)無(wú)窮小趨向零的快慢程度,解,解,同階與等價(jià)的無(wú)窮小均具有反身性、對(duì)稱(chēng)性和傳遞性,兩者相比，等價(jià)無(wú)窮小比同階無(wú)窮小用得更多，所以下面重點(diǎn)討論等價(jià)無(wú)窮小.,本定理說(shuō)，在求商式或乘積的極限時(shí)，分子或分母有無(wú)窮小量的因子時(shí)，可以用和它等價(jià)的無(wú)窮小代換這種等價(jià)無(wú)窮小代換常使計(jì)算簡(jiǎn)化，但必須有乘、除式才可以使用等價(jià)無(wú)窮小代換，而諸如對(duì)加式、減式或冪中等方面的函數(shù)中出現(xiàn)的無(wú)窮小的求極限過(guò)程一般不能用等價(jià)無(wú)窮小代換.,解,解,解,解,思考題,答案,答案,答案,課堂練習(xí)題,答案,答案,第八節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性與間斷性,連續(xù)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，是相對(duì)間斷而言的，它

10、反映了許多自然現(xiàn)象的一個(gè)共同特性.例如，氣溫的變化、動(dòng)植物的生長(zhǎng)以及空氣的流動(dòng)等，都是隨著時(shí)間在連續(xù)不斷地變化著.這些現(xiàn)象反映在數(shù)學(xué)上，就是函數(shù)的連續(xù)性.,一、函數(shù)連續(xù)性的概念,(一)函數(shù)的增量,解,(二)函數(shù)的連續(xù)性,圖13-24 函數(shù)連續(xù)性與間斷點(diǎn),那么，上述函數(shù)的連續(xù)與間斷如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)定義呢？,這一定義說(shuō)明了連續(xù)的本質(zhì)：當(dāng)自變量變化微小，函數(shù)值相應(yīng)變化也很微小.,證明,下面先介紹函數(shù)的左連續(xù)與右連續(xù)的概念.,解,顯然，在某一區(qū)間內(nèi)，連續(xù)的函數(shù)其圖形是一條連續(xù)不斷的曲線，這是連續(xù)函數(shù)的幾何特性.,1.間斷點(diǎn),下面三個(gè)函數(shù)在x =1的連續(xù)性.,二、函數(shù)的間斷點(diǎn),2.間斷點(diǎn)的分類(lèi),例5 求

11、下列函數(shù)的間斷點(diǎn)，并說(shuō)明其類(lèi)型.,解,思考題,答案,答案,答案,課堂練習(xí)題,答案,答案,第九節(jié) 初等函數(shù)的連續(xù)性,1.基本初等函數(shù)的連續(xù)性,基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的.,2.連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性,一、初等函數(shù)的連續(xù)性,3.反函數(shù)的連續(xù)性,定理2 嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù)且單調(diào)性不變.,4.復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性,連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍為連續(xù)函數(shù),在求復(fù)合函數(shù)極限時(shí)，若內(nèi)外層函數(shù)均為連續(xù)函數(shù)，則極限符號(hào)與函數(shù)符號(hào)可層層交換次序，即,上式也可寫(xiě)成,解,解,5.初等函數(shù)的連續(xù)性,一切初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.,解,解,解,1.最大值與最小值性質(zhì),定理4 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)，在該區(qū)間上至少取得它的最大值和最小值各一次.,二、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),此定理中有兩點(diǎn)需要注意：閉區(qū)間與函數(shù)連續(xù)，即在開(kāi)區(qū)間（a,b）內(nèi)連續(xù)，或在閉區(qū)間上有間斷點(diǎn)，那么函數(shù)在該區(qū)間上不一定有最值或最小值.,2.介值性,