基本不等式-均值不等式 PPT課件(人教版必修5)

1、新課標人教版課件系列,高中數(shù)學 必修5,3.4.1基本不等式-均值不等式,教學目標,推導并掌握兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)這個重要定理；利用均值定理求極值。了解均值不等式在證明不等式中的簡單應用。 教學重點： 推導并掌握兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)這個重要定理；利用均值定理求極值。了解均值不等式在證明不等式中的簡單應用。,證明：,1指出定理適用范圍：,2強調(diào)取“=”的條件：,定理：,如果a, bR+，那么,證明：,即：,當且僅當a=b時,均值定理：,注意：1適用的范圍：a, b 為非負數(shù).,2語言表述：兩個非負數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。,看做正數(shù)a，b的

2、等比中項，,那么上面不等式可以敘述為：,兩個正數(shù)的等差中項不小于它們的等比中項。,還有沒有其它的證明方法證明上面的基本不等式呢?,幾何直觀解釋：,令正數(shù)a，b為兩條線段的長，用幾何作圖的方法，作出長度為 和 的兩條線段，然后比較這兩條線段的長。,具體作圖如下：,（1）作線段AB=a+b，使AD=a，DB=b,（2）以AB為直徑作半圓O；,（3）過D點作CDAB于D，交半圓于點C,（4）連接AC，BC，CA，則,當ab時，OCCD，即,當a=b時，OC=CD，即,例1已知ab0，求證： ，并推導出式中等號成立的條件。,證明：因為ab0，所以 ， 根據(jù)均值不等式得,即,當且僅當 時，即a2=b2時

3、式中等號成立，,因為ab0，即a，b同號，所以式中等號成立的條件是a=b.,例2（1）一個矩形的面積為100m2，問這個矩形的長、寬各為多少時，矩形的周長最短？最短周長是多少？ （2）已知矩形的周長是36m，問這個矩形的長、寬各為多少時，矩形的面積最大？最大面積是多少？,分析：在（1）中，矩形的長與寬的乘積是一個常數(shù)，求長與寬的和的2倍的最小值； 在（2）中，矩形的長與寬的和的2倍是一個常數(shù)，求長與寬的乘積的最大值。,解：（1）設(shè)矩形的長、寬分別為x(m)，y(m)，依題意有xy=100(m2)，,因為x0，y0，所以，,因此，即2(x+y)40。,當且僅當x=y時，式中等號成立， 此時x=y

4、=10。,因此，當這個矩形的長與寬都是10m時，它的周長最短，最短周長是40m.,（2）設(shè)矩形的長、寬分別為x(m)，y(m)， 依題意有2(x+y)=36，即x+y=18，,因為x0，y0，所以，,因此,將這個正值不等式的兩邊平方，得xy81,當且僅當x=y時，式中等號成立， 此時x=y=9，,因此，當這個矩形的長與寬都是9m時，它的面積最大，最大值是81m2。,規(guī)律：,兩個正數(shù)的積為常數(shù)時，它們的和有最小值；,兩個正數(shù)的和為常數(shù)時，它們的積有最大值。,例3求函數(shù) 的最大值，及此時x的值。,解： ，因為x0，,所以,得,因此f(x),當且僅當 ，即 時，式中等號成立。,由于x0，所以 ，式中等號成立，,因此 ，此時 。,下面幾道題的解答可能有錯，如果錯了，那么錯在哪里？,已知函數(shù) ，求函數(shù)的最小值和此時x的取值,運用均值不等式的過程中，忽略了“正數(shù)”這個條件,已知函數(shù)， 求函數(shù)的最小值,用均值不等式求最值，必須滿足“定值”這個條件,用均值不等式求最值,必須注意 “相等” 的條件. 如果取等的條件不成立,則不能取到該最值.,1.已知x0, y0, xy=24, 求4x+6y的最小值，并說明此時x,y的值,4 已知x0,y0,且x+2y=1,求 的