同濟六版高等數(shù)學(xué)第六章第二節(jié).ppt

1、一、平面圖形的面積,二、體積,6.2 定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用,三、平面曲線的弧長,上頁,下頁,鈴,結(jié)束,返回,首頁,f上(x) f下(x)dx, 它也就是面積元素.,一、平面圖形的面積,設(shè)平面圖形由上下兩條曲線yf上(x)與yf下(x)及左右兩條直線xa與xb所圍成.,因此平面圖形的面積為,在點x處面積增量的近似值為,1.直角坐標(biāo)情形,下頁,討論： 由左右兩條曲線xj左(y)與xj右(y)及上下兩條直線yd與yc所圍成的平面圖形的面積如何表示為定積分？,提示：,面積為,面積元素為j右(y)j左(y)dy,下頁,例1 計算拋物線y2x與yx2所圍成的圖形的面積.,解,(2)確定在x軸上的投影區(qū)間

2、:,(4)計算積分,0, 1;,(1)畫圖;,下頁,例2 計算拋物線y22x與直線yx4所圍成的圖形的面積.,(2)確定在y軸上的投影區(qū)間:,(4)計算積分,(3)確定左右曲線:,-2, 4.,解,(1)畫圖;,下頁,例3,因為橢圓的參數(shù)方程為 xacost, ybsint,所以,解,橢圓的面積是橢圓在第一象限部分的四倍.,于是,ydx,橢圓在第一象限部分的面積元素為,下頁,曲邊扇形,曲邊扇形的面積元素,曲邊扇形是由曲線()及射線, 所圍成的圖形.,曲邊扇形的面積,2.極坐標(biāo)情形,下頁,例4 計算阿基米德螺線a (a0)上相應(yīng)于從0變到2 的一段弧與極軸所圍成的圖形的面積.,解,例5 計算心形

3、線a(1cos)(a0)所 圍成的圖形的面積.,解,首頁,曲邊扇形的面積：,二、體積,旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體. 這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸.,下頁,1.旋轉(zhuǎn)體的體積,旋轉(zhuǎn)體都可以看作是由連續(xù)曲線yf(x)、直線xa、ab及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體.,下頁,二、體積,1.旋轉(zhuǎn)體的體積,旋轉(zhuǎn)體的體積元素 考慮旋轉(zhuǎn)體內(nèi)點x處垂直于x軸的厚度為dx的切片,用圓柱體的體積f(x)2dx作為切片體積的近似值,旋轉(zhuǎn)體的體積,于是體積元素為 dVf(x)2dx.,例6 連接坐標(biāo)原點O及點P(h, r)的直線、直線xh及x軸圍成一個直角三角形. 將它繞x軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成

4、一個底半徑為r、高為h的圓錐體. 計算這圓錐體的體積.,旋轉(zhuǎn)體的體積：,解,下頁,解,軸圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的立體.,旋轉(zhuǎn)橢球體的體積為,下頁,旋轉(zhuǎn)體的體積：,例8 計算由擺線xa(tsint), ya(1cost)的一拱, 直線y0所圍成的圖形分別繞x軸、y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積.,解,所給圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為,下頁,例8 計算由擺線xa(tsint), ya(1cost)的一拱, 直線y0所圍成的圖形分別繞x軸、y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積.,解,下頁,設(shè)曲線左半邊為x=x1(y), 右半邊為x=x2(y).,所給圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為,6 3a3 .,設(shè)立體

5、在x軸上的投影區(qū)間為a, b, 立體內(nèi)垂直于x軸的截面面積為A(x).,立體的體積元素為,立體的體積為,下頁,2.平行截面面積為已知的立體的體積,A(x)dx.,A(x),截面面積為A(x)的立體體積：,例9 一平面經(jīng)過半徑為R的圓柱體的底圓中心, 并與底面交成角. 計算這平面截圓柱所得立體的體積.,建立坐標(biāo)系如圖, 則底圓的方程為x2y2R2.,所求立體的體積為,解,下頁,立體中過點x且垂直于x軸的截面為直角三角形, 其面積為,三、平面曲線的弧長,設(shè)曲線弧由直角坐標(biāo)方程 yf(x) (axb) 給出, 其中f(x)在區(qū)間a, b上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù). 現(xiàn)在來計算這曲線弧的長度.,在曲率一節(jié)中,

6、 我們已經(jīng)知道弧微分的表達式為,這也就是弧長元素.,因此, 曲線弧的長度為,下頁,直角坐標(biāo)情形,因此, 所求弧長為,解,曲線yf(x)(axb)的弧長：,下頁,設(shè)曲線弧由參數(shù)方程x(t)、y(t)(t)給出, 其中(t)、(t)在, 上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù).,于是曲線弧的長為,下頁,曲線yf(x)(axb)的弧長：,參數(shù)方程情形,曲線x(t)、y(t)(t)的弧長：,例13 求擺線xa(qsinq), ya(1cosq)的一拱(02 )的長度.,解,于是所求弧長為,曲線yf(x)(axb)的弧長：,弧長元素為,下頁,設(shè)曲線弧由極坐標(biāo)方程()()給出, 其中()在 , 上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù).,因為 x(q)cosq, y(q)sinq (),所以弧長元素為,曲線弧的長為,下頁,極坐標(biāo)情形,曲線yf(x)(axb)的弧長：,曲線x(t)、y(t)(t)的弧長：,曲線()()的弧長：,例14 求阿基米德螺線a (a0)相應(yīng)于從0到2 一段的弧長.,解,于是所求弧長為,結(jié)束,弧長元素為,曲線yf(x)(axb)的弧長：,曲線x(t)、y(t)(t)的弧長：,內(nèi)容小結(jié),1. 平面圖形的面積,邊界方程,極坐標(biāo)方程,2. 平面曲線的弧長,曲線方程,參數(shù)方程方程,極坐標(biāo)方程