高中數(shù)學 第二章 隨機變量教學中的兩個問題教學案 新人教A版必修

1、四川省古藺縣中學高中數(shù)學必修三教學案：第二章-隨機變量教學中的兩個問題在“中學數(shù)學核心概念、思想方法結(jié)構(gòu)體系及其教學設計的理論與實踐”第九次課題會上，以“隨機抽樣”和“離散型隨機變量”兩節(jié)研究課為載體，對中學數(shù)學中統(tǒng)計與概率的教育價值進行專題研究討論中，大家對教學內(nèi)容的理解、教學方法的把握等都展開了爭論筆者就“離散型隨機變量”的教學談兩點看法一、隨機變量與概率引入隨機變量的主要目的是，把隨機試驗的結(jié)果數(shù)量化，這樣就可以利用數(shù)學工具來研究所感興趣的隨機現(xiàn)象通俗地說，隨機變量就是用數(shù)來表示試驗結(jié)果，即每一個試驗結(jié)果都用一個數(shù)字表示例如，在擲硬幣的試驗中，可以用“1”表示“正面向上”，“0”表示“反

2、面向上”從隨機變量的定義來看，用什么數(shù)字來表示試驗結(jié)果是隨意的也就是說完全可以用其他的數(shù)字分別表示，比如“1”和“1”，“1”和“2”等有很多情形，隨機試驗的結(jié)果本身就是用數(shù)量來刻畫的，這時最自然的做法就是把刻畫試驗結(jié)果的數(shù)值直接定義成隨機變量的取值例如，燈泡的壽命，小麥的產(chǎn)量等從數(shù)學上講，隨機變量就是一個從試驗結(jié)果的集合到實數(shù)集的映射這個和學生熟悉的函數(shù)概念相同之處在于值域是某一實數(shù)集，不同之處在于定義域不一定是實數(shù)集，而是試驗結(jié)果比較函數(shù)與隨機變量兩個概念的異同，是對隨機變量概念內(nèi)涵作辨析的有效途徑出于此目的，課堂上教師給出了如下的表格： 并針對表格依次提了兩個問題：“對于隨機變量的每一個

3、取值都有唯一確定的概率值與它對應，這種關(guān)系是什么關(guān)系？”“每一個隨機試驗結(jié)果用唯一確定的數(shù)字與它對應，這個對應是函數(shù)關(guān)系嗎？”顯然，這里教師把隨機變量的取值到概率值的關(guān)系看作函數(shù)，作為隨機變量概念比較的對象首先，不妨先看一下概率是不是隨機變量的取值到概率值的函數(shù)關(guān)系我們知道，概率是隨機事件發(fā)生可能性大小的數(shù)值度量，每一個隨機事件都對應唯一的概率值我們也知道，針對具體的問題，可以找到一組“不能或不必再分”的隨機事件，即基本事件（只含有一個試驗結(jié)果），使得任何隨機事件都可以表示成基本事件的和，且這種表示唯一例如，在擲骰子的試驗中，我們關(guān)心擲出骰子面朝上的點數(shù)，可以選擇“點數(shù)為1”“點數(shù)為2”“點數(shù)

4、為6”為基本事件，那么隨機事件“點數(shù)小于3”發(fā)生，當且僅當“點數(shù)為1”“點數(shù)為2”有一個發(fā)生，這說明隨機事件“點數(shù)小于3”與基本事件集“點數(shù)為1”，“點數(shù)為2”相互唯一決定，“點數(shù)小于3”為“點數(shù)為1”“點數(shù)為2”的和于是，隨機事件“點數(shù)小于3”可以等同基本事件集“點數(shù)為1”，“點數(shù)為2”類似的，可以將每一隨機事件與基本事件集合的某個子集等同，于是認為研究隨機事件就是研究相應的基本事件集合的子集這樣，概率就是以集類為定義域的函數(shù)，這種函數(shù)叫做集函數(shù)又由于表中定義的隨機變量的取值與基本事件一一對應，因此概率也就是定義在隨機變量取值集合的子集上的函數(shù)例如，對于隨機事件“點數(shù)小于3”，有P(“點數(shù)小

5、于3”)=P(“點數(shù)為1”，“點數(shù)為2”)= PX(1，2)對于單個隨機變量取值的概率，就是以此取值為元素的單點集的概率可見，概率是從隨機變量的取值集合的子集到概率值的對應關(guān)系，是集函數(shù)，而不是我們通常意義下的函數(shù)那么，隨機變量的取值到概率值看成函數(shù)關(guān)系有沒有問題？按照函數(shù)的定義是沒有問題，但筆者體會不到需要看成函數(shù)關(guān)系的必要性，況且，從連續(xù)型隨機變量的情形來看，每個隨機變量取值對應的概率值都為0，這種對應關(guān)系就更沒有討論價值了其實筆者更擔心的是，過分強調(diào)它是函數(shù)關(guān)系，容易給學生一種誤導概率是隨機變量的取值到概率值的函數(shù)因此，把隨機變量的取值到其概率值看成函數(shù)關(guān)系，作為隨機變量的概念比較的對象

6、，不是很合適二、恰當?shù)囟x隨機變量雖然前面提到，按隨機變量的定義，用什么數(shù)表示試驗結(jié)果具有任意性但對具體問題而言，定義隨機變量時還應注意恰當性問題課堂上曾有學生列舉了如下的離散型隨機變量的例子：“一個盒子里放5個球，其中3個紅球，2個黑球，任意摸出2個球，摸出的各種結(jié)果分別用下表數(shù)字表示 那么這里的X就是一個離散型隨機變量”這樣定義的X是一個離散型隨機變量，這個教師應該肯定，但同時應指出這不是一個好的定義（但遺憾的是教師沒有這么做，錯過了一次關(guān)于恰當定義隨機變量的好機會）因為用1，2，3表示摸球結(jié)果時，這些數(shù)只是簡單的符號，數(shù)值本身沒有實際意義，或者說實際意義不明確，數(shù)字與被表示的各種摸球結(jié)果

7、之間的對應關(guān)系不明顯如果用下表，數(shù)字就可以賦予明確的實際意義： 表中0表示“2個黑球”，即摸出的結(jié)果中含有0個紅球；1表示“1個紅球1個黑球”，即摸出的結(jié)果中含有1個紅球，2表示“2個紅球”，摸出的結(jié)果中含有2個紅球這樣定義，隨機變量就有了明確的實際意義，X就表示摸出的2個球中含有紅球的個數(shù)隨機變量的每個取值0，1，2也很容易與摸球的各種結(jié)果建立對應，有利于用隨機變量表示一些事件例如，X1表示“紅球個數(shù)不超過1個”，X0表示“至少含有1個紅球”等由于引入隨機變量是為了更好地研究隨機現(xiàn)象，因此除了隨機變量的定義要注意其實際意義外，更重要的是要有利于隨機現(xiàn)象的研究，且表示簡單例如，在擲硬幣的試驗中，表示硬幣的正面向上和反面向上，可以用“1”和“0”，也可以用“1”和“1”，如果只從對應的角度講，似乎后一組更合適，“一正一負”和“一正一反”正好對