大規(guī)模傳染病的疫情控制模型分析(1)

1、大規(guī)模傳染病的疫情控制模型分析摘要：大規(guī)模傳染性疾病的突然爆發(fā)與迅速蔓延對人類的生存造成巨大的威脅。2009年始于美洲的H1N1甲型流感又開始了在世界范圍內(nèi)的大規(guī)模傳播，因此對于H1N1甲型流感疫情的防控和發(fā)展情況進行預(yù)測顯得尤為重要。本文利用數(shù)學(xué)模型來解決這個問題。問題一，根據(jù)微分方程的原理，建立一個傳統(tǒng)的傳染病模型，此模型為近似于自然傳播時的S-I-R模型。對模型進行求解，可得到傳染病在自然傳播下的預(yù)測函數(shù)。結(jié)論是：在爆發(fā)初期還未進行有效的防控措施時，確診人數(shù)快速增加。問題二，我們是在問題一的基礎(chǔ)上，考慮政府對疫情采取防控措施的情況下，傳染病的傳播和發(fā)展趨勢。對模型的求解結(jié)果進行分析和檢驗

2、可得：越早的采取隔離措施、隔離強度越強對疫情的控制越有利，且當時，與中國患病人數(shù)增長曲線擬合的較好，因此可知中國政府對疫情控制力度應(yīng)該是0.7左右。關(guān)鍵字：H1N1；甲型流感；微分方程；S-I-R模型引言甲型H1N1流感病毒：甲型H1N1流感病毒是A型流感病毒，攜帶有H1N1甲型豬流感病毒，包含有北美和歐亞豬流感、禽流感和人流感三種流感病毒的核糖核酸（RNA）基因片斷，同時擁有亞洲豬流感和非洲豬流感病毒特征。 易感類：（S類）指雖未得病但與已病者接觸后容易受到感染的一類人。感染類：（I類）指感染上某種病原體的一類人。移出類：（R類）指因患病而被隔離或感染死亡或因痊愈而具有免疫力的一類人，他們這

3、時既非感染者，也非易感染者，實際上已經(jīng)退出了我們所考慮的傳染病系統(tǒng)。在這里我們用治愈者（R）和死亡者（D）代替。1、問題的提出2002年爆發(fā)的非典疫情給全世界，尤其是中國留下了永遠無法磨滅的記憶。大規(guī)模傳染性疾病的突然爆發(fā)與迅速蔓延對人類的生存造成了巨大的威脅。2009年始于美洲的H1N1甲型流感又開始了在全世界范圍內(nèi)的大規(guī)模傳播，截至2009年6月11日，世界衛(wèi)生組織宣布全球共報告患者人數(shù)共28774人，遍布74個國家和地區(qū)。同日，世界衛(wèi)生組織還召開了緊急專家會議，決定將甲型H1N1流感大流行警戒級別提升至最高的第六級，意味著宣布“甲流”進入全球大流行階段。面對來勢洶洶的疫情，中國政府汲取了

4、2002年非典疫情控制的經(jīng)驗和教訓(xùn)。疫情一開始就采取了堅決有效的防控措施，對患者和與患者密切接觸的人員一經(jīng)發(fā)現(xiàn)，立刻進行隔離，直至排除發(fā)病可能。這些措施對疫情的控制起到了明顯的效果。截至2009年6月14日，中國內(nèi)地共發(fā)現(xiàn)196例患者，尚無一個死亡病例。而一些美洲國家患者人數(shù)上升速度卻較快?，F(xiàn)建立數(shù)學(xué)模型完成以下問題：（1）搜集疫情爆發(fā)初期中國的H1N1疫情統(tǒng)計數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型并對疫情發(fā)展情況進行預(yù)測；（2）建立數(shù)學(xué)模型來刻畫有效的防控措施對疫情傳播的作用，并結(jié)合預(yù)報結(jié)果分析、比較采取防控措施力度的大小對疫情的影響。2、模型假設(shè)（1）H1N1甲型流感可由豬傳染給人，也可在人群間傳播。本模型僅

5、考慮人群間的傳播。（2）認為疫情持續(xù)期間內(nèi)系統(tǒng)總?cè)藬?shù)不變，同時不考慮此期間的出生人口和自然死亡人口。（3）H1N1甲型流感的潛伏期為1至7天左右，本模型取7天。（4）將所考查人群分為易感類、感染類、治愈者、死亡者四類。（5）假設(shè)已治愈的患者二度感染的概率為0，即患者具有免疫能力，不考慮其再感染。（6）假設(shè)所有患者均為“他人輸入型”患者，即不考慮人群個體自身發(fā)病。（7）假設(shè)已被隔離的人群之間不會發(fā)生交叉感染。（8）不考慮隱性H1N1甲型流感患者，即只要感染上H1N1甲型流感病毒的患者最終都會表現(xiàn)出癥狀。3、符號說明符號含義現(xiàn)有感病者人數(shù)易感者人數(shù)累計感病者人數(shù)治愈人數(shù)死亡人數(shù)病人的死亡率病人的治

6、愈率未被隔離的病人平均每人每天傳染的人數(shù)隔離強度時間常量參數(shù)反映的變化快慢4、問題分析對問題一：該問題是對一個繼SARS后又一個比較典型的傳染病模型的研究。由于H1N1的傳播受交通、某地區(qū)的人流量、社會經(jīng)濟、文化等因素的影響，而影響疫情發(fā)展趨勢的最直接的因素是：感染者的數(shù)量、傳播形式以及病毒本身的傳播能力、對感染者的隔離強度、入院時間等，我們在建立模型時不可能也沒有必要考慮所有因素，只需抓住關(guān)鍵因素，進行合理的假設(shè)并建立模型。首先我們把人群分為四類：易感人群、感病人群、治愈人群和死亡人群，分別用、和表示。然后建立一個傳統(tǒng)的傳染病模型，此模型為近似于自然傳播時的S-I-R模型， 即如下圖所示：易

7、感類（S）感染類（I）移出類（R和D）圖1 疫情傳播示意圖對問題二：隨著感病人群數(shù)量的增加，人們的防范意識逐漸增強，促使日傳染率減小。引起人們防范措施增強的原因主要有兩方面：（1） 來自于因?qū)σ咔榈目只判睦恚仁谷藗兗訌娮陨矸婪兑庾R；（2） 來自衛(wèi)生部門政策、法律法規(guī)的頒布等，而加強了防范措施意識。 以上兩個方面又都受疫情嚴重程度的影響，關(guān)系如圖2所示：這些因素都可以使減小，但主要體現(xiàn)在衛(wèi)生部門的隔離強度和采取隔離措施的時間上。即模型二是在模型一的基礎(chǔ)上考慮隔離強度和時間的因素，建立微分方程模型。人們的防范意識疫情嚴重衛(wèi)生部門的防范措施控制力度加強減小疫情減緩圖2 疫情的影響關(guān)系圖5、模型建

8、立與求解5.1 問題一5.1.1 模型建立假設(shè)產(chǎn)生第一例H1N1甲型流感病人之后的時間內(nèi)是近似于自由傳播的時段，隔離強度為0，每個病人每天感染人數(shù)為一常數(shù)。我們考慮自然傳播下的幾類人群的變化情況，并通過分析各類人群的狀態(tài)轉(zhuǎn)化關(guān)系，建立微分方程，得到S-I-R模型?，F(xiàn)有感病人數(shù)的變化是由時間段內(nèi)的新增感病者、死亡人數(shù)和痊愈人數(shù)決定的：現(xiàn)有感病人數(shù)的變化新增感病人數(shù)(死亡人數(shù)痊愈人數(shù))。 為每個未被隔離的病人每天感染的人數(shù)，和分別為治愈率和死亡率。則有新增感病人數(shù)為現(xiàn)有感病者在單位時間（天）內(nèi)的感染人數(shù)：新增感病人數(shù)=現(xiàn)有感病人數(shù)感病者每人在時間內(nèi)的感染人數(shù)= 新增死亡人數(shù)=死亡率現(xiàn)有感病人數(shù)=新

9、增痊愈人數(shù)=痊愈率現(xiàn)有感病人數(shù)=于是可得：（1）現(xiàn)有感病人數(shù)的變化為： 當時， （2）死亡人數(shù)的變化=新增死亡人數(shù)，則有： 當時， （3）同理，痊愈人數(shù)的變化=新增痊愈人數(shù)，則有：當時， （4）累計感病人數(shù)=現(xiàn)有感病人數(shù)+死亡人數(shù)+痊愈人數(shù)，則有： 綜上所述，我們可以得到甲型H1N1流感的S-I-R模型，模型一： （1）其中，初始值為 5.1.2模型求解對于現(xiàn)有感病者人數(shù)，根據(jù)S-I-R模型的方程（1），求得：（2）其中，我們根據(jù)以上求出的解，作出了中國的現(xiàn)有感病者人數(shù)預(yù)測圖，如圖3所示：圖3 中國的現(xiàn)有感病者人數(shù)預(yù)測圖由圖3分析可知，中國的H1N1確診者人數(shù)上升較快，這是因為中國政府在爆發(fā)初

10、期還未進行有效的防控措施，使得確診人數(shù)快速增加。5.2 問題二5.2.1模型建立在疫情發(fā)生一段時間后，衛(wèi)生部門會采取有效的防控措施，如強制隔離感染者和密切接觸者等。本模型為采取有效的防控措施之后的傳染病模型，即考慮隔離強度。隔離強度從自然狀態(tài)下的0變?yōu)?。未被隔離的病人平均每人每天感染的人數(shù)隨時間逐漸變化，它從初始的最大值逐漸減小至最小值。、的值客觀存在，可從資料中查到。設(shè)每個未被隔離的病人每天感染的人數(shù) 其中，用來反映的變化快慢，可以查資料估計出它的大?。?0.02）。類似于問題一的分析，我們來考慮在采取隔離措施后的到時段內(nèi)各類人群的變化情況。現(xiàn)有感病人數(shù)的變化是由時間段內(nèi)的新增感病者、死亡人

11、數(shù)和痊愈人數(shù)決定的：現(xiàn)有感病人數(shù)的變化新增感病人數(shù)(死亡人數(shù)痊愈人數(shù))。 為每個未被隔離的病人每天感染的人數(shù)，和分別為治愈率和死亡率。則有新增感病人數(shù)為現(xiàn)有感病者在單位時間（天）內(nèi)的感染人數(shù)：新增感病人數(shù)=現(xiàn)有感病人數(shù)感病者每人在時間內(nèi)的感染人數(shù)=新增死亡人數(shù)=死亡率現(xiàn)有感病人數(shù)=新增痊愈人數(shù)=痊愈率現(xiàn)有感病人數(shù)=于是可得，（1）現(xiàn)有感病人數(shù)的變化為： 當時， （2）死亡人數(shù)的變化=新增死亡人數(shù)，則有： 當時，（3）同理，痊愈人數(shù)的變化=新增痊愈人數(shù)，則有： 當時， （4）累計感病人數(shù)=現(xiàn)有感病人數(shù)+死亡人數(shù)+痊愈人數(shù)，則有： 綜上所述，可得微分方程模型二 （3）其中, 初始值取模型一的最后一

12、個值。5.2.2模型求解我們求得現(xiàn)有感病人數(shù)的方程：（4）其中，經(jīng)由分析得為常量參數(shù)，和為待估計的參數(shù)?，F(xiàn)在來估計和，現(xiàn)分別取和的估計值為：，0.7，0.8 。至此即為關(guān)于的一元確定函數(shù)。根據(jù)以上求解結(jié)果，我們可以作出采取有效措施后的感病者人數(shù)預(yù)測圖，如圖4所示：圖4 采取不同力度措施后的感病者人數(shù)對比圖控制力度不同，患病人數(shù)增長的快慢不同，且對患病人數(shù)增長速度影響較大?？刂屏Χ仍酱?，則其患病人數(shù)越少；反之，控制力度越小，則患病人數(shù)越多，患病人數(shù)增長的越快。從圖中可知當，與中國患病人數(shù)增長曲線擬合的較好，因此可知中國政府對疫情控制力度應(yīng)該是0.7左右。5.2.3 控制力度大小對患病人數(shù)增長對比

13、中國控制力度大于美國對疫情的防控力度，因此我們以中國和美國作為防控力度大小不同的兩個國家進行對比。如下圖：由圖5可得：在甲型H1N1流感疫情爆發(fā)初期，美國沒有采取有力的防控措施，加上美國是一個世界大國，人口流動很快，致使疫情迅速蔓延到全球，并且迅速增長。相對于美國而言，中國政府有了非典時期的經(jīng)驗和教訓(xùn)，從而在疫情爆發(fā)初期就采取了強有力的防控措施，如隔離確診病人、疑似病人和密切接觸者，盡力將病毒感染率降到最低。這些措施對疫情的控制起到了明顯的效果。圖5 中國和美國患病人數(shù)趨勢對比圖結(jié)束語（1）為了簡化模型的復(fù)雜性，我們設(shè)定隔離強度，治愈率、死亡率等參數(shù)在一定時間段內(nèi)不發(fā)生變化，而實際情況下，隨著

14、感染人數(shù)的減少是會發(fā)生變化的，還需要針對具體情況做具體分析。（2）模型把人群的每一個個體、每一個地區(qū)視為相同的，忽略了性別、年齡結(jié)構(gòu)以及地區(qū)差異對隔離措施強度、控制時間等參數(shù)的影響，而事實上，個體免疫力是與個體年齡因素有關(guān)的，同時不同地域?qū)σ咔榈内厔菀灿杏绊?。?）模型一中對人群的劃分不夠細致，還應(yīng)該考慮潛伏者和確診者對模型的影響。（4）模型二中沒有考慮人們的防范意識對疫情發(fā)展趨勢的影響。參考文獻1戴明強，李衛(wèi)軍，楊鵬飛.數(shù)學(xué)模型及其應(yīng)用M，北京；科學(xué)出版社，2007年.2韓中庚，宋明武，邵廣紀.數(shù)學(xué)建模競賽M，北京；科學(xué)出版社，2007年5月.3任超,孫中舉,都琳. SARS傳播控制及經(jīng)濟影

15、響模型研究J西安;2003年9月.4H1N1專題網(wǎng)，httr://jiaxingH1N1liuganzhongguoyiqing/index.html，2009年7月26日.5戴朝壽，孫世良.數(shù)學(xué)建模簡明教程M，北京；高等教育出版社，2007年7月.Propagation model Analysis of H1N1Tian Jia(Department of Mathematics, Xian University of Arts and Science, Xian 710065,China)Abstract: Suddenly, large-scale infe

16、ctious diseases broken out .Human being were attacked with it. Began in 2009, the H1N1 influenza in the Americas began in the worldwide large-scale transmission, It is particularly important that the H1N1 influenza outbreak for prevention and controlling and predicting developments. In this paper, m

17、athematical models is used to solve the problem. 1.According to the principle of equations, we can build a traditional disease model and it is similar to the SIR model. The predictive function under the natural spread of infectious diseases is available by solve the model. Conclusion is: not yet take effective control measures, the number diagnosed increase rapidly. 2.We are consider with the spread of infectious diseases and trends under the control measures taken by the Government. T