《拋物線》復習課件.ppt

1、1.(文)了解拋物線的定義、幾何圖形和標準方程及 簡單幾何性質 (理)理解拋物線的定義、幾何圖形和標準方程， 知道它的簡單幾何性質 2理解數形結合的思想，了解拋物線的簡單應 用,1拋物線的定義 平面內與一個定點F和一條定直線l的距離 的點的軌 跡叫做拋物線，點F叫做拋物線的 ，直線l叫做拋物 線的 ，定點F不在定直線l上,相等,焦點,準線,思考探究 當定點F在定直線l上時，動點的軌跡是什么圖形？,提示：當定點F在定直線l上時，動點的軌跡是過點F且與直線l垂直的直線,2拋物線的標準方程和幾何性質,x,2拋物線的標準方程和幾何性質,x軸,x軸,x,x0,x0,x0,x0,原點(0,0),e1,y,

2、y軸,y軸,y,y0,y0,y 0,y 0,原點(0,0),e1,1已知拋物線的方程為標準方程，焦點在x軸上，其上點 P(3，m)到焦點F的距離為5，則拋物線方程為 () Ay28x By28x Cy24x Dy24x,解析：設拋物線方程為y22px(p0)， 由拋物線定義知，| 3|5，解得p4， 拋物線方程為y28x.,答案：B,2拋物線yax2的準線方程是y2，則a的值為 () A. B C8 D8,解析：方程yax2化為x2 y， 準線方程為 2，a .,答案：B,3(2009湖南高考)拋物線y28x的焦點坐標是 () A(2,0) B(2,0) C(4,0) D(4,0),解析：由拋

3、物線方程y28x得2p8， 2， 從而拋物線的焦點為(2,0),答案：B,4(2010泰州模擬)若直線axy10經過拋物線y24x 的焦點，則實數a_.,解析：由題意知拋物線y24x的焦點F(1,0)在直線axy10上，a10，a1.,答案：1,5過拋物線x24y的焦點F作直線l，交拋物線于A(x1，y1)， B(x2，y2)兩點，若y1y26，則|AB|等于_,解析：|AB|y1y2p628.,答案：8,1.拋物線的離心率e1，體現(xiàn)了拋物線上的點到焦點的 距離等于到準線的距離，因此，涉及拋物線的焦半徑、 焦點弦問題，可優(yōu)先考慮利用拋物線的定義轉化為點 到準線之間的距離，這樣就可以使問題簡單化

4、,2焦半徑|PF|x| 或|PF|y| ，它們在解 題中有重要作用，注意靈活運用,(1)在拋物線y24x上找一點M，使|MA|MF|最小，其中A(3,2)，F(xiàn)(1,0)，求M點的坐標及此時的最小值 (2)已知拋物線y22x和定點A(3， )，拋物線上有動點P，P到定點A的距離為d1，P到拋物線準線的距離為d2，求d1d2的最小值及此時P點的坐標,思路點撥,課堂筆記(1)如圖(1)，點A在拋物線y24x的內部，由拋物線的定義可知， |MA|MF|MA|MH|， 其中|MH|為M到拋物線的準線的距離 過A作拋物線準線的垂線交拋物線于M1，垂足為B，則 |MA|MF|MA|MH|AB|4， 當且僅當

5、點M在M1的位置時等號成立 此時M1點的坐標為(1,2),(2)如圖(2)，點A(3， )在拋物線y22x的外部，由拋物線的定義可知，d1d2|PA|PF|AF| (其中F為拋物線的焦點)此時P點的坐標為(2,2),由例1，(1)條件中，求點P到點A(1,1)的距離與點P到直線x1的距離之和的最小值,解：如圖，易知拋物線的焦點為F(1,0)，準線是x1，由拋物線的定義知： 點P到直線x1的距離 等于點P到焦點F的距離.,于是，問題轉化為：在曲線上求一點P，使點P到點A (1，1)的距離與點P到F(1,0)的距離之和最小 顯然，連AF交曲線于P點時有最小值為 ，即 .,1.求拋物線的標準方程常采

6、用待定系數法利用題中已知 條件確定拋物線的焦點到準線的距離p的值 2對于和拋物線有兩個交點的直線問題，“點差法”是常 用方法如若A(x1，y1)，B(x2，y2)是拋物線y22px上兩 點，則直線AB的斜率kAB與y1y2可得如下等式：由 2px1； 2px2.得 2p(x2x1)， ， kAB .,特別警示拋物線標準方程中參數p的幾何意義是焦點到準線的距離，焦點的非零坐標是一次項系數的 .,(1)(2010合肥二檢)直線l過拋物線y22px(p0)的焦點，且與拋物線交于A、B兩點，若線段AB的長是8，AB的中點到y(tǒng)軸的距離是2，則此拋物線的方程是 () Ay212x By28x Cy26x

7、Dy24x,(2)(2008全國卷)已知F是拋物線C：y24x的焦點，A、B是C上的兩個點，線段AB的中點為M(2,2)，則ABF的面積等于_,思路點撥,課堂筆記(1)如圖，分別過點A、 B作拋物線準線的垂線，垂足分別 為M、N，由拋物線的定義知，|A M|BN|AF|BF|AB|8， 又四邊形AMNB為直角梯形，故AB中點到準線的距離即為梯形的中位線的長度4，而拋物線的準線方程為x ， 所以42 p4，故拋物線的方程為y28x.,(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 (y1y2)(y1y2)4(x1x2) 1. 線段AB所在直線方程為y2x2，即yx. x24x0 x0，x4. A

8、(0,0)，B(4,4),|AB| 4 . F(1,0)，F(xiàn)到線段AB的距離d . SABF |AB|d2.,答案(1)B(2)2,1.直線與拋物線的位置關系 設拋物線方程為y22px(p0)，直線AxByC0，將 直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消去x得到關于y的方程 my2nyq0， (1)若m0，當0時，直線與拋物線有兩個公共點； 當0時，直線與拋物線只有一個公共點； 當0時，直線與拋物線沒有公共點,(2)若m0，直線與拋物線只有一個公共點，此時直線與 拋物線的對稱軸平行 2焦點弦問題 已知AB是過拋物線y22px(p0)的焦點的弦，F(xiàn)為拋物 線的焦點，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則

9、(1)y1y2p2，x1x2 ； (2)|AB|x1x2p (為直線AB的傾斜角)； (3)SAOB ； (4)以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切,過拋物線y22px的焦點F的 直線和拋物線相交于A，B兩點，如 圖所示 (1)若A，B的縱坐標分別為y1，y2， 求證：y1y2p2； (2)若直線AO與拋物線的準線相交于點C. 求證：BCx軸,思路點撥,課堂筆記(1)法一：由拋物線的方程可得焦點的坐標為F .設過焦點F的直線交拋物線于A，B兩點的坐標分別為(x1，y1)、(x2，y2) 當斜率存在時，過焦點的直線方程可設為 yk ， 由 消去x，得ky22pykp20. (*),當k0時，方程(

10、*)只有一解，k0， 由根與系數的關系，得y1y2p2； 當斜率不存在時，得兩交點坐標為 y1y2p2. 綜合兩種情況，總有y1y2p2. 法二：由拋物線方程可得焦點F ， 設直線AB的方程為xky ， 并設A(x1，y1)，B(x2，y2)，,則A、B坐標滿足 消去x，可得y22p ， 整理，得y22pkyp20， y1y2p2. (2)直線AC的方程為y x， 點C坐標為 ，yc .,點A(x1，y1)在拋物線上， 2px1.又由(1)知，y1y2p2， yc y2，BCx軸,拋物線在高考中一般以選擇題或填空題的形式考查學生對拋物線的定義、標準方程以及幾何性質等基礎知識的掌握情況，而以解答

11、題的形式出現(xiàn)時，常常將解析幾何中的方法、技巧與思想集于一身，與其他圓錐曲線或其他章節(jié)的內容相結合，考查學生分析解決綜合問題的能力,考題印證 (2009浙江高考)(14分) 已知橢圓C1： 1(ab 0)的右頂點為A(1,0)，過C1的 焦點且垂直長軸的弦長為1. (1)求橢圓C1的方程； (2)設點P在拋物線C2：yx2h(hR)上，C2在點P處的切線與C1交于點M，N.當線段AP的中點與MN的中點的橫坐標相等時，求h的最小值,【解】(1)由題意，得 從而 因此，所求的橢圓方程為 x21. (4分) (2)如圖，設M(x1，y1)，N(x2， y2)，P(t，t2h)，則拋物線C2在點 P處的

12、切線斜率為y|xt2t，直 線MN的方程為：y2txt2h. (6分),將上式代入橢圓C1的方程中，得4x2(2txt2h)240. 即4(1t2)x24t(t2h)x(t2h)240.(8分) 因為直線MN與橢圓C1有兩個不同的交點， 所以式中的116t42(h2)t2h240. 設線段MN的中點的橫坐標是x3，,則x3 . 設線段PA的中點的橫坐標是x4，則x4 . 由題意，得x3x4，(10分) 即t2(1h)t10. 由式中的2(1h)240，得h1或h3. 當h3時，h20,4h20，,則不等式不成立，所以h1.(12分) 當h1時，代入方程得t1， 將h1，t1代入不等式，檢驗成立

13、 所以，h的最小值為1.(14分),自主體驗 (2010宣武月考)已知F1、F2分別是橢圓 1的左、右焦點，曲線C是以坐標原點為頂點，以F2為焦點的拋物線，自點F1引直線交曲線C于P、Q兩個不同的交點，點P關于x軸的對稱點記為M.設 . (1)求曲線C的方程； (2)證明： ； (3)若2,3，求|PQ|的取值范圍,解：(1)橢圓 1的右焦點F2的坐標為(1,0)， 可設曲線C的方程為y22px(p0)， p2，曲線C的方程為y24x. (2)證明：設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x1，y1) ，x11(x21)， y1y2， 2 . 4x1， 4x2，x12x2. ,代入得2x21

14、x2， x2(1)1. 1，x2 ，x1， (x11，y1) 由知，y1y2， (x21，y2) ， 故 .,(3)由(2)知x2 ，x1，得x1x21， 16x1x216. y1y20，y1y24， 則|PQ|2(x1x2)2(y1y2)2, 2(x1x2y1y2) 16. 2,3， ， |PQ|2 ，得|PQ| .,1若拋物線y22px的焦點與橢圓 1的右焦點 重合，則p的值為 () A2B2 C4 D4,解析：橢圓的右焦點是(2,0)， 2，p4.,答案：D,2若點P到點F(0,2)的距離比它到直線y40的距離小2， 則P的軌跡方程為 () Ay28x By28x Cx28y Dx28y

15、,解析：由題意知，點P到點F(0,2)的距離與它到直線y20的距離相等，由拋物線定義知點P的軌跡是拋物線，其方程為x28y.,答案：C,3若雙曲線 1的左焦點在拋物線y22px的準 線上，則p的值為 () A2 B3 C4 D4,解析：雙曲線的左焦點( ，0)， 拋物線的準線x ， p216， 由題意知p0，p4.,答案：C,4如果直線l過定點M(1,2)，且與拋物線y2x2有且僅有 一個公共點，那么直線l的方程為_,解析：點M在拋物線上，由題意知直線l與拋物線相切于點M(1,2)，y|x14，直線l的方程為y24(x1)，即4xy20.當l與拋物線相交時，l的方程為x1.,答案：4xy20，x1,5已知拋物線C：y28x的焦點為F，準線與x軸的交點為 K，點A在C上且|AK| |AF|，則AFK的面積為 _,解析：拋物線y28x的焦點為 F(2,0)，準線為x2， K(2,0)設A(x0，y0)，過A點 向準線作垂線AB，如圖， 則B(2，y0)， |AK| |AF| |AB| (x02)，,由|BK|2|AK|2|AB|