【培優(yōu)提高訓練】浙教版九年級數學下冊 第一章 解直角三角形 典型例題解析(教師用)

1、【培優(yōu)提高訓練】浙教版九年級數學下冊 第一章 解直角三角形 典型例題解析一、解答題1.甲、乙兩船同時從港口A出發(fā)，甲船以12海里/時的速度向 北偏東35航行，乙船向南偏東55航行，2小時后，甲船到達C島，乙船到達B島，若C、B兩船相距30海里，問乙船的速度是每小時多少海里？【答案】解：根據題意得：AC=122=24，BC=30，BAC=90AC2+AB2=BC2 AB2=BC2-AC2=302-242=324AB=18乙船的航速是：182=9海里/時. 【考點】解直角三角形的應用方向角問題 【解析】【分析】根據已知判定CAB為直角，根據路程公式求得AC的長再根據勾股定理求得AB的長，從而根據公

2、式求得其速度.此題考查了直角三角形的判定及方向角的掌握情況，比較簡單.2.如圖為護城河改造前后河床的橫斷面示意圖，將河床原豎直迎水面BC改建為坡度1：05的迎水坡AB，已知AB=45米，則河床面的寬減少了多少米(即求AC的長)【答案】解：設AC的長為x，那么BC的長就為2xx2+（2x）2=AB2 ， x2+（2x）2=（45）2 ， x=4答：河床面的寬減少了4米 【考點】解直角三角形的應用坡度坡角問題 【解析】【分析】因為坡度為1：0.5，可知道 = ， 設AC的長為x，那么BC的長就為2x，根據勾股定理可列出方程求解3.如圖，小明在操場上放風箏，已知風箏線AB長100 米，風箏線與水平線

3、的夾角=37，小王拿風箏線的手離地面的高AD為1.5米，求風箏離地面的高度BE（精確到0.1米）【答案】解：AB=100米，=37，BC=ABsin=100sin37，AD=CE=1.5米，BE=BC+CE=100sin37+1.51000.60+1.5=61.5（米），答：風箏離地面的高度BE為：61.5米 【考點】銳角三角函數的定義 【解析】【分析】根據正弦函數的定義，由BC=ABsin得出BC的長，根據矩形的性質得出AD=CE，根據線段的和差即可得出答案。4.一輪船在P處測得燈塔A在正北方向，燈塔B在南偏東30方向，輪船向正東航行了900m，到達Q處，測得A位于北偏西60方向，B位于南偏

4、西30方向.（1）線段BQ與PQ是否相等？請說明理由； （2）求A、B間的距離（結果保留根號）. 【答案】（1）相等，理由如下：由圖易知，QPB60，PQB60BPQ是等邊三角形，BQPQ.（2）由（1）得PQBQ900m在RtAPQ中，AQ PQcosAQP=90032=6003（m），又AQB180（60+30）90，在RtAQB中，AB AQ2+BQ2 (6003)2+9002 300 21 （m）.答：A、B間的距離是300 21 m. 【考點】等邊三角形的判定與性質，解直角三角形的應用方向角問題 【解析】【解答】【分析】（1）由題意及圖形可得QPB90-30=60，PQB90-30=

5、60，根據三角形內角有兩個角是60度的是等邊三角形，可得BPQ是等邊三角形，由等邊三角形的性質可得BQ=PQ；（2）AB是AQP的邊，而AQB180（60+30）90，則AQP是直角三角形，所以可以根據勾股定理，只要求出BQ，AQ的值即可；由（1）中BPQ是等邊三角形，可得PQBQ900m，在RtAPQ中，AQP=30，由三角函數即可解出AQ，所以可解得。5.如圖，在一次軍事演習中，藍方在一條東西走向的公路上的A處朝正南方向撤退，公路上距A處45千米的紅方在B處沿南偏西67方向前進實施攔截紅方行駛26千米到達C處后，因前方無法通行，紅方決定調整方向，再朝南偏西37方向前進，剛好在D處成功攔截藍

6、方求攔截點D處到公路的距離AD（參考數據：sin67 1213 ，cos67 513 ，tan67 125 ，sin37 35 ，cos37 45 ，tan37 34 ）【答案】解：在RtBCF中，BF=BCcosFBC10，CF=BCsinFBC24，DE=4524=21，在RtDCE中，CE= DEtanDCE 28，AD=BG=BF+CE38答：點D處到公路的距離AD約為38千米 【考點】銳角三角函數的定義，解直角三角形 【解析】【分析】在RtBCF中，解直角三角形得BF,CF的長，進而得出DE的長，在RtDCE中利用正切函數的定義得出CE的長，進而得出答案。6.阜陽文峰塔，位于安徽阜陽

7、城中心干道潁州路附近，于康熙三十五年（1796）建文峰塔，以振興阜陽文風，小王在A處測得塔頂D的仰角為60，在B處測得塔頂D的仰角為45，其中A、C兩點分別位于B、D兩點正下方，且A、C兩點在同一水平線上，已知AB高為13.5米，求中江塔CD的高度（結果精確到個位） 【答案】解：作BECD于E， 可得RtBED和矩形ACEB，則有CE=AB=16，AC=BE，在RtBED中，DBE=45，DE=BE=AC，在RtDAC中，DAC=60，DC=ACtan60= AC，13.5+DE=DC，13.5+AC= AC，解得：AC18，所以塔CD的高度為約為18米【考點】解直角三角形的應用仰角俯角問題

8、【解析】【分析】首先分析圖形，根據題意構造直角三角形本題涉及兩個直角三角形，即RtBED和RtDAC，利用已知角的正切分別計算，可得到一個關于AC的方程，從而求出DC7.我校的北大門是由相同菱形框架組成的伸縮電動推拉門，如圖是大門關閉時的示意圖，此時 菱形的邊長為0.5m，銳角都是50.求大門的寬（結果精確到0.01，參考數據：sin250.422 6，cos250.906 3）.【答案】解：如圖，取其中一個菱形ABCD 根據題意，得BAD=50，AB=0.5米在菱形ABCD中，ACBD ， BAO=25，在RtABO中，BO=sinBAOAB=sin250.5 =0.2113（米）大門的寬是

9、：0.2113306.34（米）答：大門的寬大約是6.34米 【考點】菱形的性質，解直角三角形的應用 【解析】【分析】由菱形對角線的性質知ACBD，從而在RtABO中根據三角函數知識求出BO的長，大門的長也就得以求出。8.（2017荊州）如圖，某數學活動小組為測量學校旗桿AB的高度，沿旗桿正前方2 3 米處的點C出發(fā)，沿斜面坡度i=1： 3 的斜坡CD前進4米到達點D，在點D處安置測角儀，測得旗桿頂部A的仰角為37，量得儀器的高DE為1.5米已知A、B、C、D、E在同一平面內，ABBC，ABDE求旗桿AB的高度（參考數據：sin37 35 ，cos37 45 ，tan37 34 計算結果保留根

10、號）【答案】解：如圖，延長ED交BC延長線于點F，則CFD=90，tanDCF=i= 13 = 33 ，DCF=30，CD=4，DF= 12 CD=2，CF=CDcosDCF=4 32 =2 3 ，BF=BC+CF=2 3 +2 3 =4 3 ，過點E作EGAB于點G，則GE=BF=4 3 ，GB=EF=ED+DF=1.5+2=3.5，又AED=37，AG=GEtanAEG=4 3 tan37，則AB=AG+BG=4 3 tan37+3.5=3 3 +3.5，故旗桿AB的高度為（3 3 +3.5）米【考點】解直角三角形的應用方向角問題 【解析】【分析】延長ED交BC延長線于點F，則CFD=90

11、，RtCDF中求得CF=CDcosDCF=2 3 、DF= 12 CD=2，作EGAB，可得GE=BF=4 3 、GB=EF=3.5，再求出AG=GEtanAEG=4 3 tan37可得答案9.小亮在某橋附近試飛無人機，如圖，為了測量無人機飛行的高度AD，小亮通過操控器指令無人機測得橋頭B，C的俯角分別為EAB=60，EAC=30，且D，B，C在同一水平線上已知橋BC=30米，求無人機飛行的高度AD（精確到0.01米參考數據： 2 1.414， 3 1.732）【答案】解：EAB=60，EAC=30，CAD=60，BAD=30，CD=ADtanCAD= 3 AD，BD=ADtanBAD= 33

12、 AD，BC=CDBD= 233 AD=30，AD=15 3 25.98，答：無人機飛行的高度AD為25.98米 【考點】解直角三角形的應用仰角俯角問題 【解析】【分析】根據題意，利用解直角三角形分別用含AD的代數式表示出CD、BD的長，再由BC=CDBD=30，建立關于AD的方程，求解即可。10.如圖，一漁船由西往東航行，在A點測得海島C位于北偏東60的方向，前進20海里到達B點，此時，測得海島C位于北偏東30的方向，則海島C到航線AB的距離CD長多少海里？【答案】解：根據題意可知CAD=30，CBD=60，CBD=CAD+ACB，CAD=30=ACB，AB=BC=20海里，在RtCBD中，

13、BDC=90，DBC=60，sinDBC=DCBC，sin60=DCBC，CD=12sin60=2032=103（海里）答：海島C到航線AB的距離CD長為103海里【考點】解直角三角形的應用方向角問題 【解析】【分析】根據方向角的定義及余角的性質求出CAD=30，CBD=60，再由三角形外角的性質得到CAD=30=ACB，根據等角對等邊得出AB=BC=20，然后解RtBCD，求出CD即可11.如圖，某天然氣公司的主輸氣管道從A市的北偏東60方向直線延伸，測繪員在A處測得要安裝天然氣的M小區(qū)在A市北偏東30方向，測繪員沿主輸氣管道步行2000米到達C處，測得小區(qū)M位于C的北偏西75方向，請你在主

14、輸氣管道上尋找支管道連接點N，使到該小區(qū)鋪設的管道最短，并求出管道MN的長度（精確到0.1米）【答案】解：如圖，作MNAC，垂足為N設MN=x由題意得：MAC=30，MCA=45在RtANM中，MAN=30，MN=x，AN= 3 x在RtNCM中，MCN=45，CN=MN=xAC=2000， 3 x+x=2000，解得x=1000 3 1000732.1答：管道MN的長度約為732.1米 【考點】勾股定理的應用，解直角三角形的應用 【解析】【分析】由于支管道連接點N在AC上，根據垂線段最短，過點M作MNAC于點N，即MN最短。根據題意求出MAC，MCA的度數，設MN=x，可以用含x的代數式分別

15、表示出AN、CN，根據AC=AN+CN=2000建立方程，解方程即可。12.某班學生利用周末到唐塔廣場游玩，下面是兩位同學的一段對話： 甲：我站在此處看塔頂仰角為60乙：我站在此處看塔頂仰角為30甲：我們的身高都是1.5m乙：我們相距20m請你根據兩位同學的對話，計算此塔的高度（結果可含根號）【答案】解：由題意得：CAB=30，CBD=60，AB=20m，AM=BN=DP=1.5m； 在ABC中，CBD=ACB+CAB，ACB=6030=30，ACB=CAB，BC=AB=20m；在RtCBD中，BC=20m，CBD=60，sinCBD= ，即sin60= ；CD=20sin60=20 =10

16、m；CP=CD+DP=（10 +1.5）m答：此塔的高度約為（10 +1.5）m【考點】解直角三角形的應用仰角俯角問題 【解析】【分析】根據三角形外角和定理，可求得CAB=ACB，等角對等邊，得出AB=BC=20，在RtCBD中，根據60角的正弦值可求出CD，再加上同學自身的身高1.5m即可解答13.如圖，小明想測山高度，他在B處仰望山頂A，測得仰角B=31，再往山的方向（水平方向）前進80m至索道口C處，沿索道方向仰望山頂，測得仰角ACE=39求這座山的高度（小明的身高忽略不計）【參考數據：tan31 35 ，sin31 12 ，tan39 911 ，sin39 711 】【答案】解：過點A

17、作ADBE于D，設山AD的高度為（x）m，在RtABD中，ADB=90，tan31= ADBD ，BD= BDtan31 x35 = 53 x，在RtACD中，ADC=90，tan39= ADCD ，CD= ADtan39 x911 = 119 x，BC=BDCD， 53 x 119 x=80，解得：x=180即山的高度為180米 【考點】解直角三角形的應用仰角俯角問題 【解析】【解答】【分析】過點A作ADBE于D，設山AD的高度為（x）m，在RtABD和RtACD中分別表示出BD和CD的長度，然后根據BDCD=80m，列出方程，求出x的值14.如圖，在一次軍事演習中，藍方在一條東西走向的公路

18、上的A處朝正南方向撤退，紅方在公路上的B處沿南偏西60方向前進實施攔截，紅方行駛1000米到達C處后，因前方無法通行，紅方決定調整方向，再朝南偏西45方向前進了相同的距離，剛好在D處成功攔截藍方，求攔截點D處到公路的距離（結果不取近似值） 【答案】解：如圖，過B作AB的垂線，過C作AB的平行線，兩線交于點E；過C作AB的垂線，過D作AB的平行線，兩線交于點F ， 則E=F=90，攔截點D處到公路的距離DA=BE+CF 在RtBCE中，E=90，CBE=60，BCE=30，BE= BC= 1000=500米；在RtCDF中，F=90，DCF=45，CD=AB=1000米，CF= CD=500 米

19、，DA=BE+CF=（500+500 ）米，故攔截點D處到公路的距離是（500+500 ）米 【考點】解直角三角形的應用方向角問題 【解析】過B作AB的垂線，過C作AB的平行線，兩線交于點E；過C作AB的垂線，過D作AB的平行線，兩線交于點F ， 則E=F=90，攔截點D處到公路的距離DA=BE+CF 解RtBCE ， 求出BE= BC= 1000=500米；解RtCDF ， 求出CF= CD=500 米，則DA=BE+CF=（500+500 ）米 15.小宇想測量位于池塘兩端的A、B兩點的距離他沿著與直線AB平行的道路EF行走，當行走到點C處，測得ACF=45，再向前行走100米到點D處，測

20、得BDF=60若直線AB與EF之間的距離為60米，求A、B兩點的距離 【答案】解：作AMEF于點M，作BNEF于點N，如圖所示， 由題意可得，AM=BN=60米，CD=100米，ACF=45，BDF=60，CM= 米，DN= 米，AB=CD+DNCM=100+20 60=（40+20 ）米，即A、B兩點的距離是（40+20 ）米 【考點】解直角三角形的應用 【解析】【分析】根據題意作出合適的輔助線，畫出相應的圖形，可以分別求得CM、DN的長，由于AB=CNCM，從而可以求得AB的長16.如圖，港口B位于港口A的南偏東 37 方向，燈塔C恰好在AB的中點處，一艘海輪位于港口A的正南方向，港口B的

21、正西方向的D處，它沿正北方向航行 5 km，到達E處，測得燈塔C在北偏東 45 方向上這時，E處距離港口A有多遠？（參考數據： sin370.60,cos370.80,tan370.75 ）【答案】解：如圖，作CHAD于H設CH=xkm，在RtACH中，A=37，tan37= CHAH ，AH= CHtan37=xtan37 ，在RtCEH中，CEH=45，CH=EH=x，CHAD，BDAD，CHBD， AHHD=ACCB ，AC=CB，AH=HD， xtan37 =x+5，x= 5tan371-tan37 15，AE=AH+HE= 15tan37 +1535km，E處距離港口A有35km 【

22、考點】解直角三角形的應用方向角問題 【解析】【分析】圖作CHAD于H設CH=xkm，在RtACH中，可用含x的代數式及三角函數來表示AH，在RtCEH中，可得CH=EH=x，由CHBD，根據對應線段成比例，由AC=CB，推出AH=HD，可得xtan37=x+5，求出x即可解決問題二、綜合題（共8題；共85分）17.如圖，一艘漁船位于碼頭M的南偏東45方向，距離碼頭120海里的B處，漁船從B處沿正北方向航行一段距離后，到達位于碼頭北偏東60方向的A處（1）求漁船從B到A的航行過程中與碼頭M之間的最小距離 （2）若漁船以20海里/小時的速度從A沿AM方向行駛，求漁船從A到達碼頭M的航行時間 【答案

23、】（1）解：作ACAB于C， 則MC=BMcos45=60 2 海里，答：漁船從B到A的航行過程中與碼頭M之間的最小距離為60 2 海里（2）解：在RtACM中，AM= MCcos30 =40 6 ，40 6 20=2 6 ，答：漁船從A到達碼頭M的航行時間為2 6 小時 【考點】解直角三角形的應用方向角問題 【解析】【分析】（1）作ACAB于C， 在RtMBC中利用余弦定義得出MC=BMcos45即可；（2）在RtACM中，利用利用余弦定義得出AM的長度，再用AM的長度除以漁船的航行速度即可。18.如圖，在水平地面上豎立著一面墻AB，墻外有一盞路燈D光線DC恰好通過墻的最高點B，且與地面形成

24、37角墻在燈光下的影子為線段AC，并測得AC=5.5米（1）求墻AB的高度（結果精確到0.1米）；（參考數據：tan370.75，sin370.60，cos370.80） （2）如果要縮短影子AC的長度，同時不能改變墻的高度和位置，請你寫出兩種不同的方法 【答案】（1）在RtABC中，AC=5.5，C=37，tanC=ABAC，AB=ACtanC=5.50.754.1；（2）要縮短影子AC的長度，增大C的度數即可，即第一種方法：增加路燈D的高度，第二種方法：使路燈D向墻靠近 【考點】解直角三角形的應用 【解析】【分析】（1）由AC=5.5，C=37根據正切的概念求出AB的長；（2）從邊和角的角

25、度進行分析即可19.如圖，在ABC中，ACB=90，O、D分別是邊AC、AB的中點，過點C作CEAB交DO的延長線于點E，連接AE（1）求證：四邊形AECD是菱形； （2）若四邊形AECD的面積為24，tanBAC= 34 ，求BC的長 【答案】（1）解：證明：點O是AC中點，OA=OC，CEAB，DAO=ECO，在AOD和COE中，DAO=ECOOA=OCAOD=COE AODCOE（ASA），AD=CE，CEAB，四邊形AECD是平行四邊形，又CD是RtABC斜邊AB上的中線，CD=AD，四邊形AECD是菱形（2）解：由（1）知，四邊形AECD是菱形，ACED，在RtAOD中，tanDAO

26、= ODOA=tanBAC=34 ，設OD=3x，OA=4x，則ED=2OD=6x，AC=2OA=8x，由題意可得： 126x8x=24 ，解得：x=1，OD=3，O，D分別是AC，AB的中點，OD是ABC的中位線，BC=2OD=6 【考點】全等三角形的判定與性質，菱形的判定與性質，銳角三角函數的定義 【解析】【分析】（1）利用中點的定義可得出OA=OC，根據平行線的性質可證得DAO=ECO，就可證得AODCOE，得出AD=CE，再證明四邊形AECD是平行四邊形，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得出CD=AD，從而可證得結論。（2）利用菱形對角線互相垂直，可得出ACED，根據銳角三

27、角形函數的定義，可求出OD:OA=3:4，設OD=3x，OA=4x，利用菱形的面積等于兩對角線之積的一半，建立方程求出x的值，就可得出OD的長，然后證明OD是ABC的中位線，就可求出BC的長。20.如圖，從A地到B地的公路需經過C地，圖中AC=10千米，CAB=25，CBA=37，因城市規(guī)劃的需要，將在A、B兩地之間修建一條筆直的公路 （1）求改直的公路AB的長； （2）問公路改直后比原來縮短了多少千米？（sin250.42，cos250.91，sin370.60，tan370.75） 【答案】（1）解：作CHAB于H 在RtACH中，CH=ACsinCAB=ACsin25100.42=4.2

28、（千米），AH=ACcosCAB=ACcos25100.91=9.1（千米），在RtBCH中，BH=CHtanCBA=4.2tan374.20.75=5.6（千米），AB=AH+BH=9.1+5.6=14.7（千米）故改直的公路AB的長14.7千米（2）解：在RtBCH中，BC=CHsinCBA=4.2sin374.20.6=7（千米）， 則AC+BCAB=10+714.7=2.3（千米）答：公路改直后比原來縮短了2.3千米【考點】解直角三角形的應用 【解析】【分析】（1）作CHAB于H在RtACH中，根據三角函數求得CH，AH，在RtBCH中，根據三角函數求得BH，再根據AB=AH+BH即可

29、求解；（2）在RtBCH中，根據三角函數求得BC，再根據AC+BCAB列式計算即可求解21.如圖，已知等腰梯形ABCD中，ADBC，AD=1，BC=3，AB=CD=2，點E在BC邊上，AE與BD交于點F，BAE=DBC （1）求證：ABEBCD； （2）求tanDBC的值； （3）求線段BF的長 【答案】（1）證明：四邊形ABCD為等腰梯形， ABE=C，且BAE=DBC，ABEBCD（2）解：過D作DGBC于點G， AD=1，BC=3，CG= （BCAD）=1，BG=2，又在RtDGC中，CD=2，CG=1，DG= ，在RtBDG中，tanDBC= = （3）解：由（2）在RtBGD中，由勾

30、股定理可求得BD= ， 由（1）ABEBCD可得 = ，即= = ，解得BE= ，又ADBC， ，且DF=BDBF， = ，解得BF= 【考點】等腰梯形的性質，相似三角形的判定與性質 【解析】【分析】（1）根據等腰梯形可得到ABE=C，結合條件可證得結論；（2）過D作DGBC，則可求得BG、CG，在RtDCG中可求得DG，在RtBGD中由正切函數的定義可求得tanDBC；（3）由（2）可求得BD，結合（1）中的相似可求得BE，再利用平行線分線段成比例得到 ADBE=DFBF ，代入可求得BF22.（2016海南）如圖，在大樓AB的正前方有一斜坡CD，CD=4米，坡角DCE=30，小紅在斜坡下的

31、點C處測得樓頂B的仰角為60，在斜坡上的點D處測得樓頂B的仰角為45，其中點A、C、E在同一直線上（1）求斜坡CD的高度DE； （2）求大樓AB的高度（結果保留根號） 【答案】（1）解：在RtDCE中，DC=4米，DCE=30，DEC=90，DE= 12 DC=2米；（2）解： 過D作DFAB，交AB于點F，BFD=90，BDF=45，BFD=45，即BFD為等腰直角三角形，設BF=DF=x米，四邊形DEAF為矩形，AF=DE=2米，即AB=（x+2）米，在RtABC中，ABC=30，BC= ABcos30=x+232 = 2x+43=3(2x+4)3 米，BD= 2 BF= 2 x米，DC=

32、4米，DCE=30，ACB=60，DCB=90，在RtBCD中，根據勾股定理得：2x2= (2x+4)23 +16，解得：x=4+ 3 或x=4 3 ，則AB=（6+ 3 ）米或（6 3 ）米 【考點】解直角三角形的應用坡度坡角問題，解直角三角形的應用仰角俯角問題 【解析】【分析】（1）在直角三角形DCE中，利用銳角三角函數定義求出DE的長即可；（2）過D作DF垂直于AB，交AB于點F，可得出三角形BDF為等腰直角三角形，設BF=DF=x，表示出BC，BD，DC，由題意得到三角形BCD為直角三角形，利用勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可確定出AB的長此題考查了解直角三角形仰

33、角俯角問題，坡度坡角問題，熟練掌握勾股定理是解本題的關鍵23.據調查，超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因之一，所以規(guī)定以下情境中的速度不得超過15m/s，在一條筆直公路BD的上方A處有一探測儀如圖，AD=24m，D=90，第一次探測到一輛轎車從B點勻速向D點行駛，測得ABD=31，2秒后到達C點，測得ACD=50（1）求B，C的距離 （2）通過計算，判斷此轎車是否超速（tan310.6，tan501.2，結果精確到1m） 【答案】（1）解：在RtABD中，AD=24m，B=31，tan31= ADBD ，即BD= 240.6 =40m，在RtACD中，AD=24m，ACD=50，tan50= ADCD ，即CD= 241.2 =20m，BC=BDCD=4020=20m，則B，C的距離為20m；（2）解：根據題意得：202=10m/s15