四川省2020中考數(shù)學(xué)專題突破復(fù)習(xí)題型專項十二二次函數(shù)與幾何圖形的綜合題試題

1、專項(十二)二次函數(shù)與幾何圖形的綜合題類型1探究圖形面積的數(shù)量關(guān)系及最值問題1(2016安徽)如圖，二次函數(shù)yax2bx的圖象經(jīng)過點a(2，4)與b(6，0)(1)求a，b的值；(2)點c是該二次函數(shù)圖象上a，b兩點之間的一動點，橫坐標(biāo)為x(2x6)寫出四邊形oacb的面積s關(guān)于點c的橫坐標(biāo)x的函數(shù)解析式，并求s的最大值解：(1)將a(2，4)與b(6，0)代入yax2bx.得解得(2)過點a作x軸的垂線，垂足為d(2，0)，連接cd，過點c作cead，cfx軸，垂足分別為點e，f.soadodad244，sacdadce4(x2)2x4，sbcdbdcf4(x23x)x26x，則ssoads

2、acdsbcd4(2x4)(x26x)x28x.s關(guān)于x的函數(shù)解析式為sx28x(2x6)s(x4)216.當(dāng)x4時，四邊形oacb的面積s取最大值，最大值為16.2(2016雅安中學(xué)一診)如圖，已知拋物線yax2xc與x軸相交于a，b兩點，并與直線yx2交于b，c兩點，其中點c是直線yx2與y軸的交點，連接ac.(1)求拋物線解析式；(2)求證：abc為直角三角形；(3)在拋物線cb段上存在點p使得以a，c，p，b為頂點的四邊形面積最大，請求出點p的坐標(biāo)以及此時以a，c，p，b為頂點的四邊形面積解：(1)直線yx2交x軸，y軸于b，c兩點，b(4，0)，c(0，2)yax2xc經(jīng)過點b，c，

3、解得yx2x2.(2)令x2x20，解得x11，x24.oa1，ob4.ab5.ac2oa2oc25，bc2oc2ob220，ab225.ac2bc2ab2.abc為直角三角形(3)連接cd，bd，過點p作peab，垂足為點e，直線ep交線段bc于點d.設(shè)直線bc的解析式為ykxb.將b(4，0)，c(0，2)代入，得解得直線bc的解析式為yx2.設(shè)點d(a，a2)，則點p(a，a2a2)pdpedea2a2(a2)a22a，當(dāng)a2時，pd有最大值，pd的最大值為2.s四邊形acpbsacbscbpabocobdp524dp52pd.當(dāng)pd最大時，四邊形acpb的面積最大當(dāng)點p的坐標(biāo)為(2，3

4、)時，四邊形acpb的面積的最大值為5229.3(2015攀枝花)如圖，已知拋物線yx2bxc與x軸交于a(1，0)，b(3，0)兩點，與y軸交于點c，拋物線的對稱軸與拋物線交于點p，與直線bc相交于點m，連接pb.(1)求拋物線的解析式；(2)在(1)中位于第一象限內(nèi)的拋物線上是否存在點d，使得bcd的面積最大？若存在，求出點d坐標(biāo)及bcd面積的最大值；若不存在，請說明理由；(3)在(1)中的拋物線上是否存在點q，使得qmb與pmb的面積相等？若存在，求出點q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由解：(1)把a，b兩點坐標(biāo)代入拋物線解析式，得解得拋物線解析式為yx22x3.(2)設(shè)d(t，t22t3)

5、，過點d作dhx軸于點h，連接dc，db.令x0，則y3，c(0，3)sbcds梯形dcohsbdhsboc(t22t33)t(3t)(t22t3)33t2t.0，當(dāng)t時，即點d坐標(biāo)為(，)時，sbcd有最大值，且最大面積為.(3)存在p(1，4)，過點p且與bc平行的直線與拋物線的交點即為所求q點之一，直線bc解析式為為yx3，過點p且與bc平行的直線為yx5.由解得q1(2，3)直線pm的解析式為x1，直線bc的解析式y(tǒng)x3，m(1，2)設(shè)pm與x軸交于點e，pmem2，過點e且與bc平行的直線為yx1.從而過點e且與bc平行的直線與拋物線的交點也為所求q點之一聯(lián)立解得q2(，)，q3(，

6、)滿足條件的q點坐標(biāo)為(2，3)，(，)或(，)類型2探究線段的數(shù)量關(guān)系及最值問題4(2016成都青羊區(qū)二診改編)已知拋物線yx2(1)x2(a0)與x軸交于a，b兩點，與y軸相交于點c，且點a在點b的左側(cè)(1)若拋物線過點d(2，2)，求實數(shù)a的值；(2)在(1)的條件下，在拋物線的對稱軸上找一點e，使aece最小，求出點e的坐標(biāo)解：(1)拋物線過點d(2，2)，4(1)222，解得a4.(2)點a，b是拋物線與x軸的交點，點b是點a關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點連接bc交對稱軸于點e，則點e即為使aece最小的點a4，拋物線解析式為yx2x2.令y0，則x2x20，解得x12，x24.令x0，則

7、y2.a(2，0)，b(4，0)，c(0，2)，對稱軸為直線x1.直線bc解析式為yx2.當(dāng)x1時，y，e(1，)5(2015南充)已知拋物線yx2bxc與x軸交于點a(m2，0)和b(2m1，0)(點a在點b的左側(cè))，與y軸相交于點c，頂點為p，對稱軸為l：x1.(1)求拋物線解析式；(2)直線ykx2(k0)與拋物線相交于兩點m(x1，y1)，n(x2，y2)(x1x2)，當(dāng)|x1x2|最小時，求拋物線與直線的交點m和n的坐標(biāo)；(3)首尾順次連接點o，b，p，c構(gòu)成多邊形的周長為l.若線段ob在x軸上移動，求l最小時點o，b移動后的坐標(biāo)及l(fā)的最小值解：(1)由題意，得1，b2.拋物線yx2

8、bxc與x軸交于點a(m2，0)和b(2m1，0)，x2bxc0的解為m2和2m1.(m2)(2m1)b，(m2)(2m1)c.m1，c3.拋物線解析式為yx22x3.(2)聯(lián)立得x2(k2)x10.x1x2(k2)，x1x21，(x1x2)2(x1x2)24x1x2(k2)24.當(dāng)k2時，(x1x2)2的最小值為4，即|x1x2|的最小值為2.解得x11，x21，則y10，y24.當(dāng)|x1x2|最小時，拋物線與直線的交點為m(1，0)，n(1，4)(3)由(1)得o(0，0)，b(3，0)，p(1，4)，c(0，3)lobbppcco，又線段ob平移過程中，ob，pc的長度不變，要使l最小，

9、只需bpco最短如圖，平移線段oc到bc，四邊形obcc是矩形c(3，3)作點p關(guān)于x軸(或ob)的對稱點p(1，4)，連接cp與x軸交于點b.設(shè)cp解析式為yaxn.解得yx.當(dāng)y0時，x，b(，0)又3，故點b向左平移個單位，平移到b.同時，點o向左平移個單位，平移到o(，0)，即線段ob向左平移個單位時，周長l最短此時，線段bp，co之和最短為pc，obob3，cp.當(dāng)線段ob向左平移個單位，即點o平移到o(，0)，點b平移到b(，0)時，周長l最短為3.類型3探究特殊三角形的存在性問題6如圖，已知拋物線e1：yx2經(jīng)過點a(1，m)，以原點為頂點的拋物線e2經(jīng)過點b(2，2)，點a，b

10、關(guān)于y軸的對稱點分別為點a，b.(1)求m的值；(2)求拋物線e2的函數(shù)解析式；(3)在第一象限內(nèi)，拋物線e1上是否存在點q，使得以點q，b，b為頂點的三角形為直角三角形？若存在，求出點q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由解：(1)拋物線e1經(jīng)過點a(1，m)，m121.(2)拋物線e2的頂點在原點，可設(shè)它對應(yīng)的函數(shù)解析式為yax2(a0)，又點b(2，2)在拋物線e2上，2a22.解得a.拋物線e2的函數(shù)解析式為yx2.(3)假設(shè)在拋物線e1上存在點q，使得以點q，b，b為頂點的三角形為直角三角形當(dāng)點b為直角頂點時，過點b作q1bbb交拋物線e1于點q1，則點q1與b的橫坐標(biāo)相等且為2.將x2代入

11、yx2，得y4.點q1(2，4)；當(dāng)點q2為直角頂點時，則有q2b2q2b2bb2，過點q2作q2gbb于點g.設(shè)點q2的坐標(biāo)為(t，t2)(t0)，則有(t2)2(t22)2(2t)2(t22)242，整理得t43t20.t0，t230，解得t1，t2(舍去)點q2(，3)綜上所述，存在符合條件的點q坐標(biāo)為(2，4)與(，3)7(2016雅安中學(xué)二診)如圖，已知拋物線與y軸交于點c(0，4)，與x軸交于a(x1，0)，b(x2，0)兩點，其中x1，x2為方程x22x80的兩個根(1)求該拋物線的解析式；(2)點q是線段ab上的動點，過點q作qeac，交bc于點e，連接cq，設(shè)q(x，0)，c

12、qe的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及cqe的面積的最大值；(3)點m的坐標(biāo)為(2，0)，問：在直線ac上，是否存在點f，使得omf是等腰三角形？若存在，請求出點f的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由解：(1)解方程x22x80，得x14，x22.a(4，0)，b(2，0)設(shè)拋物線解析式為ya(x4)(x2)將c(0，4)代入，解得a.拋物線解析式為yx2x4.(2)由q(x，0)，可得bqx2，aq4x，過點e作ehab于點h.ehco.又qeac，.，即eh(x2)scqescbqsebq(x2)4(x2)(x2)，y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為yx2x(x1)23(2x4)cqe的面積的最大值為3.(

13、3)存在點f使得omf是等腰三角形設(shè)ac的解析式為ykxb.直線ac過點a(4，0)和c(0，4)，解得直線ac的解析式為yx4.點f在ac上，設(shè)f(x，x4)，of，mf，om2.若omf是等腰三角形，則可能有三種情況：如圖1，當(dāng)offm時，f的橫坐標(biāo)應(yīng)為1，f(1，3)；當(dāng)omof2時，2，化簡得x24x60.80這種情況不存在；如圖2，當(dāng)ommf時，4，化簡得x26x80，解得x12，x24(舍去)f(2，2)綜上所述，當(dāng)omf是等腰三角形時，f(1，3)或(2，2)8(2016涼山模擬)如圖，已知正方形oabc的邊長為2，頂點a，c分別在x軸，y軸的正半軸上，點e是bc的中點，f是ab

14、延長線上一點且fb1.(1)求經(jīng)過點o，a，e三點的拋物線解析式；(2)點p在拋物線上運動，當(dāng)點p運動到什么位置時oap的面積為2，請求出點p的坐標(biāo)；(3)在拋物線上是否存在一點q，使afq是等腰直角三角形？若存在直接寫出點q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由解：(1)點a的坐標(biāo)是(2，0)，點e的坐標(biāo)是(1，2)設(shè)拋物線的解析式是yax2bxc，根據(jù)題意，得解得拋物線的解析式是y2x24x.(2)當(dāng)oap的面積是2時，點p的縱坐標(biāo)是2或2.當(dāng)2x24x2時，解得x1，點p的坐標(biāo)是(1，2)；當(dāng)2x24x2時，解得x1，此時點p的坐標(biāo)是(1，2)或(1，2)綜上，點p的坐標(biāo)為(1，2)，(1，2)或

15、(1，2)(3)afabbf213，oa2.則點a是直角頂點時，q不可能在拋物線上；當(dāng)點f是直角頂點時，q不可能在拋物線上；當(dāng)點q是直角頂點時，q到af的距離是af，若點q存在，則q的坐標(biāo)是(，)將q(，)代入拋物線解析式成立拋物線上存在點q(，)使afq是等腰直角三角形類型4探究特殊四邊形的存在性問題9(2016雅安中學(xué)三診)如圖，已知二次函數(shù)yx2bxc的圖象經(jīng)過a(2，1)，b(0，7)兩點(1)求該拋物線的解析式及對稱軸；(2)當(dāng)x為何值時，y0?(3)在x軸上方作平行于x軸的直線l，與拋物線交于c，d兩點(點c在對稱軸的左側(cè))，過點c，d作x軸的垂線，垂足分別為點f，e.當(dāng)矩形cde

16、f為正方形時，求點c的坐標(biāo)解：(1)把a(2，1)，b(0，7)兩點的坐標(biāo)代入yx2bxc，得解得該拋物線的解析式為yx22x7.yx22x7(x1)28，對稱軸為直線x1.(2)當(dāng)y0時，x22x70，解得x12，由圖象知12x12時，y0.(3)設(shè)c點的坐標(biāo)為(m，n)，矩形cdef為正方形，nm22m7，即cfm22m7.c，d兩點的縱坐標(biāo)相等，c，d兩點關(guān)于對稱軸x1對稱設(shè)點d的橫坐標(biāo)為p，則1mp1，p2m，cd(2m)m22m.cdcf，22mm22m7.解得m11，m25.點c在對稱軸的左側(cè)，m只能取1.當(dāng)m1時，nm22m7(1)22(1)74.點c的坐標(biāo)為(1，4)10(20

17、16德陽旌陽區(qū)一模)如圖，矩形oabc在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點a在x軸的正半軸上，點c在y軸的正半軸上，oa4，oc3，若拋物線的頂點在bc邊上，且拋物線經(jīng)過o，a兩點，直線ac交拋物線于點d.(1)求拋物線的解析式；(2)求點d的坐標(biāo)；(3)若點m在拋物線上，點n在x軸上，是否存在以a，d，m，n為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點n的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由解：(1)設(shè)拋物線頂點為e，根據(jù)題意oa4，oc3，得e(2，3)設(shè)拋物線解析式為ya(x2)23.將a(4，0)代入，得04a3，解得a.拋物線解析式為y(x2)23x23x.(2)設(shè)直線ac解析式為ykxb(k0)將a(

18、4，0)與c(0，3)代入，得解得直線ac解析式為yx3.與拋物線解析式聯(lián)立，得解得點d坐標(biāo)為(1，)(3)假設(shè)存在以a，d，m，n為頂點的四邊形是平行四邊形，分兩種情況考慮：當(dāng)點m在x軸上方時，如圖1所示四邊形admn為平行四邊形，dman，dman，由對稱性得到m(3，)，即dm2，故an2，n1(2，0)，n2(6，0)；當(dāng)點m在x軸下方時，如圖2所示過點d作dqx軸于點q，過點m作mpx軸于點p，可得adqnmp，mpdq，npaq3，將ym代入拋物線解析式得x23x，解得xm2或xm2，xnxm31或1，n3(1，0)，n4(1，0)假設(shè)成立綜上所述，滿足條件的點n有4個：n1(2，

19、0)，n2(6，0)，n3(1，0)，n4(1，0)11(2016成都)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，拋物線ya(x1)23與x軸交于a，b兩點(點a在點b左側(cè))，與y軸交于點c(0，)，頂點為d，對稱軸與x軸交于點h.過點h的直線l交拋物線于p，q兩點，點q在y軸右側(cè)(1)求a的值及點a，b的坐標(biāo)；(2)當(dāng)直線l將四邊形abcd分為面積比為37的兩部分時，求直線l的函數(shù)解析式；(3)當(dāng)點p位于第二象限時，設(shè)pq的中點為m，點n在拋物線上，則以dp為對角線的四邊形dmpn能否成為菱形？若能，求出點n的坐標(biāo)；若不能，請說明理由解：(1)拋物線ya(x1)23與y軸交于點c(0，)a3，解得a.

20、y(x1)23.當(dāng)y0時，有(x1)230，x12，x24.a(4，0)，b(2，0)(2)a(4，0)，b(2，0)，c(0，)，d(1，3)，s四邊形abcdsahds梯形ocdhsboc33(3)1210.從面積分析知，直線l只能與邊ad或bc相交，所以有兩種情況：當(dāng)直線l與邊ad相交于點m1時，則sahm1103，3(ym1)3.ym12，點m1(2，2)，過點h(1，0)和m1(2，2)的直線l的解析式為y2x2；當(dāng)直線l與邊bc相交于點m2時，同理可得點m2(，2)，過點h(1，0)和m2(，2)的直線l的解析式為yx.綜上：直線l的函數(shù)解析式為y2x2或yx.(3)假設(shè)以dp為對

21、角線的四邊形dmpn能成為菱形設(shè)p(x1，y1)，q(x2，y2)且過點h(1，0)的直線pq的解析式為ykxb.kb0，ykxk.聯(lián)立得x2(k)xk0.x1x223k，y1y2kx1kkx2k3k2.點m是線段pq的中點，由中點坐標(biāo)公式得點m(k1，k2)假設(shè)存在這樣的n點如圖所示，直線dnpq.設(shè)直線dn的解析式為ykxk3.聯(lián)立解得x11，x23k1.n(3k1，3k23)四邊形dmpn是菱形，dndm.(3k)2(3k2)2()2(k23)2.整理得3k4k240，(k21)(3k24)0.k210，3k240.解得k.k0，k.p(31，6)，m(1，2)，n(21，1)pmdn2

22、.pmdn，四邊形dmpn為菱形假設(shè)成立，即以dp為對角線的四邊形dmpn能成為菱形，此時點n的坐標(biāo)為(21，1)類型5探究三角形相似問題12已知直線yx1與x軸交于點a，與y軸交于點b，將aob繞點o順時針旋轉(zhuǎn)90，使點a落在點c，點b落在點d，拋物線yax2bxc過點a，d，c，其對稱軸與直線ab交于點p，(1)求拋物線的解析式；(2)求poc的正切值；(3)若點m在x軸上，且abm與apd相似，求點m的坐標(biāo)解：(1)當(dāng)y0時，x10，解得x2.當(dāng)x0時，y1，a(2，0)，b(0，1)aob順時針旋轉(zhuǎn)90得到cod，c(0，2)，d(1，0)拋物線yax2bxc過點a，d，c，解得拋物線

23、解析式為yx2x2.(2)根據(jù)(1)，拋物線對稱軸為x，()1，點p的坐標(biāo)為(，)過點p作pqx軸于點q，則pqy軸，pocopq.tanopq，tanpoc.(3)點m在x軸上，且abm與apd相似，點m必在點a的右側(cè)，ap2，ab，ad1(2)123.aa，ap和ab是對應(yīng)邊時，即，解得am4.設(shè)點m坐標(biāo)為(x，0)，則x(2)4，解得x2.點m的坐標(biāo)為(2，0)；ap和am是對應(yīng)邊時，即，解得am.設(shè)點m坐標(biāo)為(x，0)，則x(2)，解得x.點m的坐標(biāo)為(，0)綜上所述，當(dāng)點m(2，0)或(，0)時，abm與apd相似13(2016大邑縣一診改編)如圖，二次函數(shù)yax24ax的圖象c交x

24、軸于a，b兩點(a在b的左側(cè))，過點a的直線ykx3k(k)交c于另一點c(x1，y1)，交y軸于點m.(1)求點a的坐標(biāo)，并求二次函數(shù)的解析式；(2)過點b作bdac交ac于點d，若m(0，3)且q點是直線ac上的一個動點求出當(dāng)dbq與aom相似時點q的坐標(biāo)解：(1)設(shè)y0，即kx3k0，解得x3.a(3，0)a(3，0)在yax24ax的圖象上，09a12a，解得a.該二次函數(shù)的解析式為yx2x.(2)在rtaom中，oa3，om3tanoam，oam60.如圖1中，當(dāng)q在da的延長線上時，bqd30，bqdaom，在rtabd中，bdbasin60.在rtbqd中，bdbqsin30，解

25、得bq2.過點q作qqx軸于點q.bad60bqaqba，bqd30，qbq30.在rtbqq中，qbq30，bq2，qq，bq3.q(4，)；當(dāng)點q與點a重合時，bqd60，dqboam，此時點q(3，0)；如圖2中，當(dāng)點q在線段dc上時，bqd60，dqboam，在aqb中，baqaqb60，得bqab2.q(2，)；如圖3中，當(dāng)bqd30時，dqboma，此時bqom.設(shè)q(1，y)在直線yx3上，解得y2.q(1，2)綜上所述，q(4，)或q(3，0)或q(2，)或q(1，2)14(2016攀枝花)如圖，拋物線yx2bxc與x軸交于a，b兩點，點b坐標(biāo)為(3，0)，與y軸交于點c(0，

26、3)的三角形相似？若存在，求出直線m的解析式，若不存在，請說明理由解：(1)把b，c兩點坐標(biāo)代入拋物線解析式，得解得拋物線解析式為yx22x3.(2)連接bc，過點p作y軸的平行線，交bc于點m，交x軸于點h.在yx22x3中，令y0，則0x22x3，解得x1或x3.a點坐標(biāo)為(1，0)ab3(1)4，且oc3.sabcaboc436.b(3，0)，c(0，3)，直線bc解析式為yx3.設(shè)p點坐標(biāo)為(x，x22x3)，則m點坐標(biāo)為(x，x3)p點在第四象限，pmx3(x22x3)x23x.spbcpmohpmhbpm(ohhb)pmobpm.當(dāng)pm有最大值時，pbc的面積最大，則四邊形abpc

27、的面積最大pmx23x(x)2，當(dāng)x時，pmmax，則spbc.此時p點坐標(biāo)為(，)，s四邊形abpcsabcspbc6.即當(dāng)p點坐標(biāo)為(，)時，四邊形abpc的面積最大，最大面積為.(3)設(shè)直線m交y軸于點n，交直線l于點g，則agpgncgcn.當(dāng)agb和ngc相似時，必有agbcgb.又agbcgb180，agbcgb90.acoobn.在aoc和nob中，aocnob(asa)onoa1.n點坐標(biāo)為(0，1)設(shè)直線m解析式為ykxd.把b，n兩點坐標(biāo)代入，得解得直線m解析式為yx1.故存在滿足條件的直線m，其解析式為yx1.拓展類型其他問題1(2016巴中)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋

28、物線ymx24mx5m(m0)與x軸交于點a，b(點a在點b的左側(cè))，該拋物線的對稱軸與直線yx相交于點e，與x軸相交于點d，點p在直線yx上(不與原點重合)，連接pd，過點p作pfpd交y軸于點f，連接df.(1)如圖所示，若拋物線頂點的縱坐標(biāo)為6，求拋物線的解析式；(2)求a，b兩點的坐標(biāo)；(3)如圖所示，小紅在探究點p的位置時發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點p與點e重合時，pdf的大小為定值，進(jìn)而猜想：對于直線yx上任意一點p(不與原點重合)，pdf的大小為定值請你判斷該猜想是否正確，并說明理由解：(1)ymx24mx5m，ym(x24x5)m(x5)(x1)令y0，則m(x5)(x1)0.m0，x5或x1.

29、a(5，0)，b(1，0)拋物線的對稱軸為x2.拋物線的頂點坐標(biāo)為(2，6)，9m6，即m.拋物線的解析式為yx2x.(2)由(1)可知：a(5，0)，b(1，0)(3)如圖所示，op的解析式為yx，aop30.pbf60.pdpf，food，dpffod90.dpffod180.點o，d，p，f共圓pdfpbf.pdf60.2如圖，拋物線yax2bxc的頂點為d，與y軸交于點c，直線cd的解析式為yx2.(1)求b，c的值；(2)過點c作cex軸交拋物線于點e，直線de交x軸于點f，且f(4，0)，求拋物線的解析式；(3)在(2)條件下，拋物線上是否存在點m，使得cdmcea？若存在，求出點m的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由解：(1)直線cd的解析式為yx2，c(0，2)c2.設(shè)直線cd交x軸于點a，a(2，0).oca30，過點d作dmy軸于點m，dcm30，cmdm，設(shè)拋物線的頂點橫坐標(biāo)為h，則cmh，d(h，2h)ya(xh)22h.c(0，2)，2ah22h.解得h10(舍)，h2.ya(x)22hax22x2h.b2.(2)作拋物線的對稱軸交x軸于點b(如圖)，dcm30，cdb30，由