2011年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)初賽試題及解答

1、2011年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)初賽題一、填空題（本題共10小題，滿分70分，每小題7分要求直接將答案寫在橫線上）1 復(fù)數(shù) 2 已知直線是圓的一條對稱軸，則實數(shù) .3 某班共有30名學(xué)生，若隨機(jī)抽查兩位學(xué)生的作業(yè)，則班長或團(tuán)支書的作業(yè)被抽中的概率是 （結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示）4 已知，則 5 已知向量a，b滿足，則以向量與表示的有向線段為鄰邊的平行四邊形的面積為 6 設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn若Sn是首項及公比都為2的等比數(shù)列，則數(shù)列an3的前n項和等于 7 設(shè)函數(shù)若f(a)f(b)，且0ab，則ab的取值范圍是 8 設(shè)f(m)為數(shù)列an中小于m的項的個數(shù)，其中，則 9 一個等腰直角三角形的頂點

2、分別在底邊長為4的正三棱柱的三條側(cè)棱上，則此直角三角形的斜邊長是 10已知m是正整數(shù)，且方程有整數(shù)解，則m所有可能的值是 二、解答題（本大題共4小題，每小題20分，共80分）11已知圓與拋物線有公共點，求實數(shù)h的取值范圍12設(shè)若時，且在區(qū)間上的最大值為1，求的最大值和最小值13如圖，P是內(nèi)一點（1）若P是的內(nèi)心，證明：；（2）若且，證明：P是的內(nèi)心ABCP14已知是實數(shù)，且存在正整數(shù)n0，使得為正有理數(shù)證明：存在無窮多個正整數(shù)n，使得為有理數(shù)2011年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)初賽題 答案及點評一、填空題（本題共10小題，滿分70分，每小題7分要求直接將答案寫在橫線上）1 復(fù)數(shù) 答案：8基礎(chǔ)題，

3、送分題，高考難度2 已知直線是圓的一條對稱軸，則實數(shù) .答案：基礎(chǔ)題，送分題，高考難度3 某班共有30名學(xué)生，若隨機(jī)抽查兩位學(xué)生的作業(yè)，則班長或團(tuán)支書的作業(yè)被抽中的概率是 （結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示）答案：基礎(chǔ)題，送分題，高考難度，但需要認(rèn)真審題，否則很容易有錯4 已知，則 答案：計算量挺大的，要注重計算的方法，對于打醬油的同學(xué)有一定難度5 已知向量a，b滿足，則以向量與表示的有向線段為鄰邊的平行四邊形的面積為 答案：可以用特殊法，把向量放在直角坐標(biāo)系中，很容易可以得出答案6 設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn若Sn是首項及公比都為2的等比數(shù)列，則數(shù)列an3的前n項和等于 答案：高考難度級別，基礎(chǔ)好的同學(xué)可

4、以做出來7 設(shè)函數(shù)若f(a)f(b)，且0ab，則ab的取值范圍是 答案：(0,2)這是一道高考題8 設(shè)f(m)為數(shù)列an中小于m的項的個數(shù)，其中，則 答案：6這也是一道高考題9 一個等腰直角三角形的頂點分別在底邊長為4的正三棱柱的三條側(cè)棱上，則此直角三角形的斜邊長是 答案：4還是一道高考題10已知m是正整數(shù)，且方程有整數(shù)解，則m所有可能的值是 答案：3,14,30這是2011年蘇州市一模的第十四題。二、解答題（本大題共4小題，每小題20分，共80分）11已知圓與拋物線有公共點，求實數(shù)h的取值范圍解：設(shè)公共點（cos，sin），代入拋物線方程，得因為，所以簡單，很簡單12設(shè)若時，且在區(qū)間上的最

5、大值為1，求的最大值和最小值解：由題意函數(shù)圖象為開口向上的拋物線，且在區(qū)間上的最大值只能在閉端點取得，故有，從而且若有實根，則，在區(qū)間有即消去c，解出即，這時，且若無實根，則，將代入解得綜上所以，單調(diào)遞減故注重分類討論13如圖，P是內(nèi)一點（1）若P是的內(nèi)心，證明：；（2）若且，證明：P是的內(nèi)心ABCP證明：（1）這其實是平面幾何一個很重要的結(jié)論，在一般的平面幾何的參考書上都有14已知是實數(shù)，且存在正整數(shù)n0，使得為正有理數(shù)證明：存在無窮多個正整數(shù)n，使得為有理數(shù)證明：設(shè)，其中p，q為互質(zhì)的正整數(shù)，則設(shè)k為任意的正整數(shù)，構(gòu)造，則非常非常常規(guī)的一道數(shù)論題，不需要數(shù)論的預(yù)備知識總結(jié)：這張試卷大約90分以上應(yīng)該可以出線了。一般說來，出線并不算太難，只要平時基礎(chǔ)好，不粗心，填空題應(yīng)該可以做滿分（筆者錯了一個），對于沒有進(jìn)行過競