兩角和與差及二倍角公式.ppt

1、第十八講 兩角和與差及二倍角公式,回歸課本,1.C(-)cos(-)=coscos+sinsin C(+)cos(+)=coscos-sinsin S(+)sin(+)=sincos+cossin S(-)sin(-)=sincos-cossin,T(+)tan(+)= (,+k+ ,kZ) T(-)tan(-)= (,-k+ ,kZ).,注意:(1)注意公式的適用范圍:在T()中,都不等于k+ (kZ).即保證tantantan()都有意義.,(2)對(duì)公式tan(+)= ,下面的四種變式在以后的解題中經(jīng)常用到: =tan(+)(逆用); 1-tantan= tan+tan=tan(+)(1-

2、tantan); tantantan(+)=tan(+)-tan-tan.,2.在和角公式S(+)C(+)T(+)中,當(dāng)=時(shí)就可得到二倍角的三角函數(shù)公式S2C2T2. sin2=2sincos,cos2=cos2-sin2, tan2=,3.余弦二倍角公式有三種形式,即cos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2,由此可得變形公式sin2= ,cos2= ,它的雙向應(yīng)用分別起到縮角升冪和擴(kuò)角降冪的作用.,4.asin+bcos= sin(+),其中cos= ,sin= ,tan= .的終邊所在象限由點(diǎn)(a,b)來確定.,注意:(1)公式成立的條件:在公式中,只有當(dāng)公式的等號(hào)兩端

3、都有意義時(shí),公式才成立. (2)公式應(yīng)用要講究一個(gè)“活”字,即正用逆用變形用,還要?jiǎng)?chuàng)造條件用公式,如拆角配角技巧:=(+)-,2=(+)+(-)等.,注意切化弦通分等方法的使用,充分利用三角函數(shù)值的變式,如1=tan45,-1=tan135, =tan60, =cos60或 =sin30,sinx+ cosx=2sin 學(xué)會(huì)靈活地運(yùn)用公式.,(3)當(dāng)角,中有一個(gè)角為90的整數(shù)倍時(shí),使用誘導(dǎo)公式較為簡便,誘導(dǎo)公式是兩角和與差的三角函數(shù)公式的特例. (4)搞清公式的來龍去脈,C(-)是基礎(chǔ),其他公式都是用代換法及誘導(dǎo)公式得到的推論,即,(5)二倍角公式的正用逆用及變形用是公式的三種主要使用方法,特

4、別是變形用有時(shí)恰是解題思路的關(guān)鍵.如: 2sincos=sin2, sincos= sin2, cos= cos2-sin2=cos2, =tan2,1sin2=sin2+cos22sincos =(sincos)2, 1+cos2=2cos2, 1-cos2=2sin2.,考點(diǎn)陪練,1.sin15cos75+cos15sin105等于( ) 解析:sin15cos75+cos15sin105 =sin15cos75+cos15sin75=sin90=1. 答案:D,答案:A,答案:B,4.下列各式中,值為 的是( ) A.2sin15cos15 B.cos215-sin215 C.2sin2

5、15-1 D.sin215+cos215,答案:B,答案:A,類型一兩角和與差的三角函數(shù) 解題準(zhǔn)備:利用和差公式對(duì)三角函數(shù)式進(jìn)行化簡與求值,是每年高考必考內(nèi)容,縱觀近幾年的高考試題,對(duì)本考點(diǎn)的內(nèi)容一是直接考查,二是以和差公式為角的變換工具,與向量函數(shù)不等式等知識(shí)相結(jié)合的綜合題.,分析 先將條件等式展開,聯(lián)立方程組求得sincos與cossin的值,再將待求式子化簡即可.,反思感悟 已知三角函數(shù)值,求三角函數(shù)式的值,往往要對(duì)待求式進(jìn)行化簡.像本題通過化簡發(fā)現(xiàn)必須先求 的值,而已知條件為正弦函數(shù)值,因此由求 轉(zhuǎn)化為求 的值,從而容易想到將兩個(gè)條件等式展開,再聯(lián)立方程組即可.,類型二二倍角的三角函數(shù)

6、 解題準(zhǔn)備:本考點(diǎn)的考查基本上是以二倍角公式或變形公式為工具,對(duì)角或函數(shù)名稱進(jìn)行恰當(dāng)變換,以化簡求值為主,在具體問題中,必須熟練準(zhǔn)確地運(yùn)用公式.,反思感悟二倍角的余弦公式的正用是化倍角為單角,相應(yīng)三角函數(shù)式項(xiàng)的次數(shù)翻倍(即升冪);其逆用則是化二次式為一次式(即降冪),單角變倍角,求解中注意倍角與單角的相對(duì)性.,類型三輔助角公式的應(yīng)用 解題準(zhǔn)備:1.由S(+),我們可以得出輔助角公式,即asinx+bcosx= sin(x+)(其中角的終邊所在象限由a,b的符號(hào)確定,角滿足cos= ,sin= ,這是經(jīng)常用到的一個(gè)公式,它可把含sinx、cosx的一次式的三角函數(shù)式化為Asin(x+)的形式,從

7、而進(jìn)一步探索三角函數(shù)的性質(zhì).,錯(cuò)源一使用公式時(shí)不注意使用條件,剖析這是一道熱點(diǎn)測試題,上述解法執(zhí)行了“標(biāo)準(zhǔn)”答案選A.題設(shè)條件中的m(0,1),事實(shí)上,如當(dāng)=2k+ (kZ)時(shí),1-2m2=0,tan2失掉意義,若題設(shè)條件中限制m ,則應(yīng)當(dāng)選A. 答案D,錯(cuò)源二求角時(shí)對(duì)角的范圍討論不準(zhǔn)確 【典例2】若tan(-)= ,tan= ,且,(0,),求2-的值.,剖析上述解法就是犯了對(duì)角的討論不正確而錯(cuò)誤確定了所求角的取值范圍.,技法一構(gòu)造斜率 【典例1】求值:,解設(shè)A(cos40,sin40),B(cos20,sin20),于是所求是AB兩點(diǎn)連線的斜率kAB,而AB兩點(diǎn)都在單位圓x2+y2=1上.

8、 設(shè)直線AB與x軸交于C點(diǎn),作ODAB垂足為D.易知xOB=20,xOA=40,BOA=20,BOD=10,于是在RtCOD中,COD=30,DCO=60,于是直線AB的傾斜角xCD=120, 所以kAB= =tan120=,技法二巧用兩角和與差公式解題 一巧變角 1.巧湊角 【典例2】若銳角、滿足cos= ,cos(+)= ,求sin的值.,解注意到=(+)-, sin=sin(+)- =sin(+)cos-cos(+)sin 為銳角且cos= ,sin=,2.巧拆角 【典例3】求 的值. 解題切入點(diǎn)該題為非特殊角三角函數(shù)求值,不能直接進(jìn)行,注意拆角向特殊靠攏易求值.,二巧變公式結(jié)構(gòu) 【典例4】求tan25+tan35+ tan25tan35的值. 解注意到25+35=60,故用兩角和正切變形公式.原式=tan(25+35)(1-tan25tan35)+ tan25tan35= (1-tan25tan35)+ tan25tan35=,三巧引參數(shù) 【典例5】已知銳角、滿足條件 求證+= . 解題切入點(diǎn)若注意到已知條件滿足公式sin2+cos2=1時(shí),可引進(jìn)參數(shù),進(jìn)行三角代換.,證明由已知可設(shè) =cos, =sin,則有 sin