立體幾何-空間距離與角(高一)

1、空間距離與角空間角1、異面直線所成角2、斜線與平面所成的角 （1）求作法（即射影轉(zhuǎn)化法）：找出斜線在平面上的射影，關(guān)鍵是作垂線，找垂足.（2）向量法：（3）兩個重要結(jié)論 最小角定理： 空間距離1、求距離的一般方法和步驟（1）找出或作出有關(guān)的距離；（2）證明它符合定義；（3）在平面圖形內(nèi)計(jì)算（通常是解三角形）2、求點(diǎn)到面的距離常用的兩種方法（1）等體積法構(gòu)造恰當(dāng)?shù)娜忮F；（2）向量法3、直線到平面的距離，兩個平行平面的距離通常都可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到面的距離求解4、異面直線的距離定義：和兩異面直線都垂直相交且夾在異面直線間的部分（公垂線段）題型一：點(diǎn)面距離方法一：利用定義作垂線，解三角形例1：在棱長為1

2、的正方體中,點(diǎn)P在棱上，且=4,求點(diǎn)到平面的距離方法二：轉(zhuǎn)化成其它點(diǎn)到面的距離例2：在邊長為2的菱形ABCD中，PC面ABCD，E是PA的中點(diǎn)，求點(diǎn)E到平面PBC的距離. 方法三：利用三棱錐等體積法例3: 點(diǎn)P為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)，PA面ABCD，Q為線段AP的中點(diǎn)，AB3，BC4，PA2，求點(diǎn)P到面BQD的距離.練習(xí)題：1.如圖，正三棱柱中，是的中點(diǎn)，求點(diǎn)到平面的距離；（兩種方法求解） 題型二：線面角1.如圖，四棱錐的底面是正方形，且E為PB的中點(diǎn)時，求AE與平面PDB所成角的大小.2.如圖，平面，分別為的中點(diǎn)求與平面所成角的正弦值3.如圖3，在正三棱柱中，AB=4, ,點(diǎn)D是BC的

3、中點(diǎn)，點(diǎn)E在AC上，且DEE.（）證明：平面平面; （）求直線AD和平面所成角的正弦值。4.如圖，在四棱錐中，側(cè)面底面，側(cè)棱,底面為直角梯形，其中，. () 求異面直線與所成角；() 求與平面所成的角； ()求點(diǎn)到平面的距離.5.如圖，在正三棱柱中，D是的中點(diǎn)，點(diǎn)E在上，且。（1）證明平面平面； （2）求直線和平面ABC所成的角。 題型三：二面角方法一：定義法 從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角, 這條直線叫做二面角的棱, 這兩個半平面叫做二面角的面，在棱上取點(diǎn)，分別在兩面內(nèi)引兩條射線與棱垂直，這兩條垂線所成的角的大小就是二面角的平面角。例1：如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面A

4、BCD為菱形，PA平面ABCD，,E，F(xiàn)分別是BC, PC的中點(diǎn).（）證明：AEPD; （）若H為PD上的動點(diǎn)，且AB2，EH與平面PAD所成最大角的正切值為，求二面角EAFC的余弦值.（）練習(xí)1.如圖，三棱錐P-ABC中，PB底面ABC，ACBC，PB=BC=AC，點(diǎn)E、F分別是PC、PA的中點(diǎn)（）求證：PC平面BEF；（）求二面角A-EB-F的大小 2.如圖，在三棱錐中，側(cè)面、是全等的直角三角形，是公共的斜邊，且 ，另一個側(cè)面是正三角形. （1）求證：；（2）求二面角的大??；方法二補(bǔ)棱法本法是針對在解構(gòu)成二面角的兩個半平面沒有明確交線的求二面角題目時，要將兩平面的圖形補(bǔ)充完整，使之有明確的

5、交線（稱為補(bǔ)棱），然后借助前述的定義法與三垂線法解題。即當(dāng)二平面沒有明確的交線時，一般用補(bǔ)棱法解決例2：如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，BCD60，E是CD的中點(diǎn)，PA底面ABCD，PA2.（）證明：平面PBE平面PAB;（）求平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的正弦值.（） 練習(xí)：四棱錐P-ABCD中，E是CD中點(diǎn)，PA底面ABCD，PA2.（）若底面ABCD是邊長為1的正方形，求平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小.（）若底面ABCD是邊長為1的菱形，BCD60，求平面PAD和平面PBE 所成二面角（銳角）的大小.方法三、射影面積法（）凡二面角的

6、圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個半平面上的射影圖形面積的都可利用射影面積公式（cos）求出二面角的大小。例3：如圖，E為正方體ABCDA1B1C1D1的棱CC1的中點(diǎn)，求平面AB1E和底面A1B1C1D1所成銳角的余弦值.（）A1D1B1C1EDBCA方法四：三垂線法三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直通常當(dāng)點(diǎn)P在一個半平面上則通常用三垂線定理法求二面角的大小。策略一：過其中一平面已知點(diǎn)A，作AB垂直另一平面，垂足為點(diǎn)B，再過點(diǎn)B作BC垂直公共棱于點(diǎn)C，連接AC，則為二面角的平面角.策略二：過其中一平面已知點(diǎn)A，作AB垂直另一平面，垂足為點(diǎn)B，再過點(diǎn)A作AC垂直公共棱于點(diǎn)C，連接BC，則為二面角的平面角例4.直三棱柱中，分別是的中點(diǎn)，平面，求二面角的大小。練習(xí)1.如圖，直三棱柱中， AB=1，ABC=60.()證明：；（）求二面角AB。 2.直三棱柱中，分別是的中點(diǎn)，平面，求二面角的大小。3.如圖，在四棱錐中，為等邊三角形，四邊形為正方形，為中點(diǎn)，.（1）求與面所成角大??；（2）求二面角大小；4.如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A 平面ABCD, AD/BC/FE，ABAD，M為EC的中點(diǎn)，AF=AB=BC=FE=AD (I) 求異面直線BF與DE所成的角的大?。?II) 證明平面AMD平面CDE；（III）求二面