九上 一元二次方程(講義)

1、第二章 一元二次方程1.認(rèn)識(shí)一元二次方程概念：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且可以化為 (為常數(shù)，)的整式方程叫一元二次方程。構(gòu)成一元二次方程的三個(gè)重要條件：、方程必須是整式方程(分母不含未知數(shù)的方程)。如：是分式方程，所以不是一元二次方程。、只含有一個(gè)未知數(shù)。、未知數(shù)的最高次數(shù)是2次。例1 下列關(guān)于的方程，哪些是一元二次方程？；（3）；（4）；（5）例2 已知關(guān)于的方程是一元二次方程時(shí)，則 2.一元二次方程的一般形式一般形式： ()，系數(shù)中，一定不能為0，、則可以為0，所以以下幾種情形都是一元二次方程：、如果，則得，例如：；、如果，則得，例如：；、如果，則得，例如：；、如果，則得，例如：。其中，叫做二

2、次項(xiàng)，叫做二次項(xiàng)系數(shù)；叫做一次項(xiàng)，叫做一次項(xiàng)系數(shù)；叫做常數(shù)項(xiàng)。任何一個(gè)一元二次方程經(jīng)過(guò)整理(去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng))都可以化為一般形式。3.一元二次方程的解法(1)、直接開(kāi)方法：若，則叫做a的平方根，表示為，這種解一元二次方程的方法叫做直接開(kāi)平方法。（1）的解是；（2）的解是；（3）的解是 (2)、配方法：解一元二次方程時(shí)，在方程的左邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，再減去這個(gè)數(shù)，使得含未知數(shù)的項(xiàng)在一個(gè)完全平方式里，這種方法叫做配方。用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程的步驟：1. 在方程的左邊加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，再減去這個(gè)數(shù)；2. 把原方程變?yōu)榈男?/p>

3、式。3. 若，用直接開(kāi)平方法求出的值，若n0，原方程無(wú)解。例 解下列方程： 用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)不是1的一元二次方程當(dāng)一元二次方程的形式為時(shí)，用配方法解一元二次方程的步驟：（1）先把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1：方程的左、右兩邊同時(shí)除以二項(xiàng)的系數(shù)；(2) 移項(xiàng)：在方程的左邊加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，再減去這個(gè)數(shù)，把原方程化為的形式；（3）若，用直接開(kāi)平方法或因式分解法解變形后的方程。例 用配方法解下列方程：（1）； （2）(3)、公式法：一元二次方程的求根公式是：用求根公式法解一元二次方程的步驟是：（1）把方程化為的形式，確定的值（注意符號(hào)）；（2）求出=的值；（3）若=，則把及的值代人求根公式，求出

4、和，若=，則方程無(wú)解。例 用公式法解下列方程（1）； （2）； （3）(4)、分解因式法：【1】提公因式分解因式法：解方程：【2】運(yùn)用公式分解因式法：解方程：【3】十字相乘分解因式法(簡(jiǎn)單、常用、重要的一元二次方程解法)：注意：在解方程時(shí)，千萬(wàn)注意不能把方程兩邊都同時(shí)除以一個(gè)含有未知數(shù)的式子，否則可能丟失原方程的根。用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝幸辉畏匠蹋海?）；（2）；（3）【4】其它常見(jiàn)類型舉例：4.一元二次方程的應(yīng)用數(shù)字問(wèn)題1一個(gè)兩位數(shù)字，十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字大3，而這兩個(gè)數(shù)字之積等于這個(gè)兩位數(shù)字的，若設(shè)個(gè)位數(shù)字為x，則可列出方程_2、兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的積是255，則這兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)為_(kāi)。3、一個(gè)兩位數(shù)

5、，兩個(gè)數(shù)字之和是9，如果把個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字互換后，再與原數(shù)字相乘得1458，設(shè)十位數(shù)字為X，那么可列出方程_ 面積問(wèn)題(牢記有關(guān)面積的公式，熟練計(jì)算組合圖形的面積、面積的轉(zhuǎn)化)圖51m1m30m20m1、如圖5，在寬為20m，長(zhǎng)為30m的矩形地面上修建兩條同樣寬的道路，余下部分作為耕地. 根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，計(jì)算耕地的面積為（A） 600m2（B） 551m2（C） 550 m 2 （D） 500m22、如圖6是用4個(gè)相同的小矩形與1個(gè)小正方形鑲嵌而成的正方形圖案，已知該圖案的xy面積為49，小正方形的面積為4，若用x、y表示小矩形的兩邊長(zhǎng)（xy），請(qǐng)觀察圖案，指出以下關(guān)系式中不正確的是 （ ）A

6、、x+y=7 B、x-y=2 C、4xy+4=49 D、x2+y2=25 3、利用13m的鐵絲和一面墻，圍成一個(gè)面積為20m2的長(zhǎng)方形，墻作為長(zhǎng)方形的長(zhǎng)邊，求這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬。設(shè)長(zhǎng)為xm，可得方程 （ ）A、 B、 C、 D、4.兩個(gè)正方形，小正方形的邊長(zhǎng)比大正方形的邊長(zhǎng)的一半多4cm，大正方形的面積比小正方形的面積的2倍少32cm2，求大小兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)。5、如圖某農(nóng)場(chǎng)要建一個(gè)長(zhǎng)方形的養(yǎng)雞場(chǎng)，雞場(chǎng)的一邊靠墻（墻長(zhǎng)18m），另三邊用木欄圍成，木欄長(zhǎng)35m。雞場(chǎng)的面積能達(dá)到150m2嗎？雞場(chǎng)的面積能達(dá)到180m2嗎？如果能，請(qǐng)你給出設(shè)計(jì)方案；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。（3）若墻長(zhǎng)為m,另三邊用竹

7、籬笆圍成，題中的墻長(zhǎng)度m對(duì)題目的解起著怎樣的作用?平均增長(zhǎng)率(或降低率)問(wèn)題.其基本關(guān)系式：，其中是增長(zhǎng)(或降低)的基礎(chǔ)量，是平均增長(zhǎng)(或降低)率，是增長(zhǎng)(或降低)的次數(shù)（?？嫉氖莾赡昶?，即，），是增長(zhǎng)(或降低)后的數(shù)量(總量)，增長(zhǎng)為“+”，降低為“-”1.為了讓江西的山更綠、水更清，2008年省委、省政府提出了確保到2010年實(shí)現(xiàn)全省森林覆蓋率達(dá)到63%的目標(biāo)，已知2008年我省森林覆蓋率為60.05%，設(shè)從2008年起我省森林覆蓋率的年平均增長(zhǎng)率為，則可列方程（ ）A B CD2、黨的十六大提出全面建設(shè)小康社會(huì)，加快推進(jìn)社會(huì)主義現(xiàn)代化，力爭(zhēng)國(guó)民生產(chǎn)總值到2020年比2000年翻兩番。在本

8、世紀(jì)的頭二十年（2001年2020年），要實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，以十年為單位計(jì)算，設(shè)每個(gè)十年的國(guó)民生產(chǎn)總值的增長(zhǎng)率都是x，那么x滿足的方程為（ ）A、(1+x)2=2 B、(1+x)2=4 C、1+2x=2 D、(1+x)+2(1+x)=43、某商店第四季度營(yíng)業(yè)額共計(jì)36.4萬(wàn)元，已知10月份營(yíng)業(yè)額10萬(wàn)元，求后兩個(gè)月的平均增長(zhǎng)率。若設(shè)后兩個(gè)月的平均增長(zhǎng)率為X，則可列出方程_。4、美化城市，改善人們的居住環(huán)境已成為城市建設(shè)的一項(xiàng)重要內(nèi)容。我市近幾年來(lái)，通過(guò)拆遷舊房，植草，栽樹，修公園等措施，使城區(qū)綠地面積不斷增加（如圖所示）。（1）根據(jù)圖中所提供的信息回答下列問(wèn)題：2003年底的綠地面積為 公頃，比2

9、002年底增加了 公頃；在2001年，2002年，2003年這三年中，綠地面積增加最多的是 _年；（2）為滿足城市發(fā)展的需要，計(jì)劃到2005年底使城區(qū)綠地面積達(dá)到72.6公頃，試求今明兩綠地面積的年平均增長(zhǎng)率。5.王紅梅同學(xué)將1000元壓歲錢第一次按一年定期含蓄存入“少兒銀行”，到期后將本金和利息取出，并將其中的500元捐給“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，這時(shí)存款的年利率已下調(diào)到第一次存款時(shí)年利率的90%，這樣到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款時(shí)的年利率.（假設(shè)不計(jì)利息稅）6.一個(gè)同學(xué)經(jīng)過(guò)培訓(xùn)后學(xué)會(huì)做某項(xiàng)實(shí)驗(yàn)，回校后第一節(jié)課他教會(huì)了若干同學(xué)，第二節(jié)課會(huì)做的同學(xué)每人又教會(huì)了

10、同樣多的同學(xué)，這樣全班共有36人會(huì)做這個(gè)實(shí)驗(yàn)，求平均每節(jié)課每人教會(huì)多少人做實(shí)驗(yàn)？【傳播問(wèn)題：公式】、商品利潤(rùn)問(wèn)題(重點(diǎn)).基本公式： 1、單件利潤(rùn)=單 2、總利潤(rùn)=單件利潤(rùn)銷售量例題：將進(jìn)貨單價(jià)為40元的商品按50元售出時(shí)，能賣出500個(gè)，已知這種商品每個(gè)漲價(jià)1元，其銷售量就減少10個(gè)。問(wèn)：為了賺得8000元的利潤(rùn)，售價(jià)應(yīng)定為多少？這時(shí)應(yīng)進(jìn)貨多少個(gè)？解法一：設(shè)售價(jià)定為元，依題意可得： 整理得： 解得： 售價(jià)應(yīng)定為60元或80元.當(dāng)定為60元時(shí)，應(yīng)進(jìn)貨個(gè)；當(dāng)定為80元時(shí)，應(yīng)進(jìn)貨個(gè)；解法二：設(shè)上漲元，依題意可得： 整理得： 解得： 售價(jià)應(yīng)定為10+50=60元或30+50=80元.當(dāng)定為60元時(shí)，

11、應(yīng)進(jìn)貨個(gè)；當(dāng)定為80元時(shí)，應(yīng)進(jìn)貨個(gè)；1.某商店如果將進(jìn)價(jià)為8元的商品按10元售出，每天可銷售200件，現(xiàn)采用提高售價(jià)，減少進(jìn)貨量的方法增加利潤(rùn)。已知這種商品每漲價(jià)0.5元，其銷售量就減少10件，問(wèn)應(yīng)將售價(jià)定為多少元時(shí)，才能使每天所獲利潤(rùn)為640元？2.某超市經(jīng)銷一種成本為40元/kg的水產(chǎn)品，市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，按50元/kg銷售，一個(gè)月能售出500kg，銷售單位每漲1元，月銷售量就減少10kg，針對(duì)這種水產(chǎn)品的銷售情況，超市在月成本不超過(guò)10000元的情況下，使得月銷售利潤(rùn)達(dá)到8000元，請(qǐng)你幫忙算算，銷售單價(jià)定為多少？如果人數(shù)超過(guò)25人，每增加1人，人均旅游費(fèi)用降低20元，但人均旅游費(fèi)用不得低7

12、00元.如果人數(shù)不超過(guò)25人，人均旅游費(fèi)用為1000元.3.春秋旅行社為吸引市民組團(tuán)去天水灣風(fēng)景區(qū)旅游，推出了如圖1對(duì)話中收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn).某單位組織員工去天水灣風(fēng)景區(qū)旅游，共支付給春秋旅行社旅游費(fèi)用27000元.請(qǐng)問(wèn)該單位這次共有多少員工去天水灣風(fēng)景區(qū)旅游？4.益群精品店以每件21元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批商品，該商品可以自行定價(jià)，若每件商品售價(jià)元，則可賣出（35010）件，但物價(jià)局限定每件商品的利潤(rùn)不得超過(guò)20%，商店計(jì)劃要盈利400元，需要進(jìn)貨多少件？每件商品應(yīng)定價(jià)多少？5.某西瓜經(jīng)營(yíng)戶以2元/千克的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批小型西瓜，以3元/千克的價(jià)格出售，每天可售出200千克。為了促銷，該經(jīng)營(yíng)戶決定降價(jià)銷售。經(jīng)調(diào)查

13、發(fā)現(xiàn)，這種小西瓜每降價(jià)0.1元/千克，每天可多售出40千克。另外，每天的房租等固定成本共24元。該經(jīng)營(yíng)戶要想每天盈利200元，則應(yīng)將每千克的小型西瓜的售價(jià)降低多少元？握手、比賽，互贈(zèng)問(wèn)題【握手、比賽問(wèn)題，不能相互，公式為，互贈(zèng)問(wèn)題，可以相互，公式為】1.參加一次商品交易會(huì)的每?jī)杉夜局g都簽訂了一份合同，所有公司共簽訂了45份合同，共有多少家公司參加商品交易會(huì)？2.元旦送賀卡，一個(gè)小組若干人，新年互送賀卡，若全組共送卡72張，則這小組有多少人？運(yùn)動(dòng)問(wèn)題、動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題1.已知：如圖3-9-3所示，在中，.點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始沿邊向點(diǎn)以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始沿邊向點(diǎn)以2cm/s的速度移動(dòng).（1）如果分

14、別從同時(shí)出發(fā)，那么幾秒后，的面積等于4cm2？5.?？碱}型及其相應(yīng)的知識(shí)點(diǎn)：(1)利用一元二次方程的一個(gè)已知根求系數(shù)及求另一個(gè)根問(wèn)題：例1：關(guān)于的一元二次方程有一根為0，則的值為例2：一元二次方程 的一個(gè)根為，則另一個(gè)根為_(kāi).(2)判別式：，方程根的情況：判別式與一元二次方程根的情況：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根(或說(shuō)方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根).方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.例1：關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是_.例2：方程的根的情況是( ).A、只有一個(gè)實(shí)數(shù)根. B、有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根. C、有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根. D、沒(méi)有實(shí)數(shù)根(3)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，韋達(dá)定理：如果是一元二次方程 ()的兩根，根據(jù)韋達(dá)定理，則有：另外：利用韋達(dá)定理求一些重要代數(shù)式(、)的值：例2：若方程的兩根為，則的值為_(kāi).例3：已知關(guān)于的一元二次