測量誤差的基本知識new

1、5 測量誤差的基本知識5-1 測量誤差及其分類研究測量誤差的來源、性質(zhì)及其產(chǎn)生和傳播的規(guī)律，解決測量工作中遇到的實際問題而建立起來的概念和原理的體系，稱為測量誤差理論。在實際的測量工作中發(fā)現(xiàn)：當(dāng)對某個確定的量進行多次觀測時，所得到的各個結(jié)果之間往往存在著一些差異，例如重復(fù)觀測兩點的高差，或者是多次觀測一個角或丈量若干次一段距離，其結(jié)果都互有差異。另一種情況是，當(dāng)對若干個量進行觀測時，如果已經(jīng)知道在這幾個量之間應(yīng)該滿足某一理論值，實際觀測結(jié)果往往不等于其理論上的應(yīng)有值。例如，一個平面三角形的內(nèi)角和等于180，但三個實測內(nèi)角的結(jié)果之和并不等于180，而是有一差異。這些差異稱為不符值。這種差異是測量

2、工作中經(jīng)常而又普遍發(fā)生的現(xiàn)象，這是由于觀測值中包含有各種誤差的緣故。任何的測量都是利用特制的儀器、工具進行的，由于每一種儀器只具有一定限度的精密度，因此測量結(jié)果的精確度受到了一定的限制。且各個儀器本身也有一定的誤差，使測量結(jié)果產(chǎn)生誤差。測量是在一定的外界環(huán)境條件下進行的，客觀環(huán)境包括溫度、濕度、風(fēng)力、大氣折光等因素?？陀^環(huán)境的差異和變化也使測量的結(jié)果產(chǎn)生誤差。測量是由觀測者完成的，人的感覺器官的鑒別能力有一定的限度，人們在儀器的安置、照準(zhǔn)、讀數(shù)等等方面都會產(chǎn)生誤差。此外，觀測者的工作態(tài)度、操作技能也會對測量結(jié)果的質(zhì)量(精度)產(chǎn)生影響。一觀測值與誤差1觀測值：測量的結(jié)果（l）2誤差：測量（儀器、

3、過程、方法），人，自然條件。l與觀測值的差值3真值：也叫理論值（找不到的測量對象理論值）【X】4觀測：測量的過程5觀測條件：觀測者、測量儀器和觀測時的外界條件是引起觀測誤差的主要因素（觀測條件相同的各次觀測，稱為等精度觀測。觀測條件不同的各次觀測，稱為非等精度觀測）二誤差來源：觀測值中存在觀測誤差有下列三方面原因：1、觀測者 由于觀測者的感覺器官的鑒別能力的局限性，在儀器安置、照準(zhǔn)、讀數(shù)等工作中都會產(chǎn)生誤差。同時，觀測者的技術(shù)水平及工作態(tài)度也會對觀測結(jié)果產(chǎn)生影響。2、測量儀器 測量工作所使用的測量儀器都具有一定的精密度，從而使觀測結(jié)果的精度受到限制。另外，儀器本身構(gòu)造上的缺陷，也會使觀測結(jié)果產(chǎn)

4、生誤差。3、外界觀測條件 外界觀測條件是指野外觀測過程中，外界條件的因素，如天氣的變化、植被的不同、地面土質(zhì)松緊的差異、地形的起伏、周圍建筑物的狀況，以及太陽光線的強弱、照射的角度大小等。觀測誤差按其性質(zhì)，可分為系統(tǒng)誤差、偶然誤差和粗差。(1)系統(tǒng)誤差。由儀器制造或校正不完善、觀測員生理習(xí)性、測量時外界條件、儀器檢定時不一致等原因引起。在同一條件下獲得的觀測列中，其數(shù)據(jù)、符號或保持不變，或按一定的規(guī)律變化。在觀測成果中具有累計性，對成果質(zhì)量影響顯著，應(yīng)在觀測中采取相應(yīng)措施予以消除。(2) 偶然誤差。它的產(chǎn)生取決于觀測進行中的一系列不可能嚴(yán)格控制的因素（如濕度、溫度、空氣振動等）的隨機擾動。在同

5、一條件下獲得的觀測列中，其數(shù)值、符號不定，表面看沒有規(guī)律性，實際上是服從一定的統(tǒng)計規(guī)律的。隨機誤差又可分兩種：一種是誤差的數(shù)學(xué)期望不為零稱為“隨機性系統(tǒng)誤差”；另一種是誤差的數(shù)學(xué)期望為零稱為偶然誤差。這兩種隨機誤差經(jīng)常同時發(fā)生，須根據(jù)最小二乘法原理加以處理。(3)粗差。是一些不確定因素引起的誤差，國內(nèi)外學(xué)者在粗差的認(rèn)識上還未有統(tǒng)一的看法，目前的觀點主要有幾類：一類是將粗差看用與偶然誤差具有相同的方差，但期望值不同；另一類是將粗差看作與偶然誤差具有相同的期望值，但其方差十分巨大；還有一類是認(rèn)為偶然誤差與粗差具有相同的統(tǒng)計性質(zhì)，但有正態(tài)與病態(tài)的不同。以上的理論均是建立在把偶然誤差和粗差均為屬于連續(xù)

6、型隨機變量的范疇。還有一些學(xué)者認(rèn)為粗差屬于離散型隨機變量。當(dāng)觀測值中剔除了粗差，排除了系統(tǒng)誤差的影響，或者與偶然誤差相比系統(tǒng)誤差處于次要地位后，占主導(dǎo)地位的偶然誤差就成了我們研究的主要對象。從單個偶然誤差來看，其出現(xiàn)的符號和大小沒有一定的規(guī)律性，但對大量的偶然誤差進行統(tǒng)計分析，就能發(fā)現(xiàn)其規(guī)律性，誤差個數(shù)愈多，規(guī)律性愈明顯。三 偶然誤差的特征從單個偶然誤差而言，它的大小和符號均沒有規(guī)律性，但就總體而言，卻呈現(xiàn)出一定的統(tǒng)計規(guī)律性。真誤差：觀測值和真值之間的差值。例：書P67：表51。通過大量實驗統(tǒng)計結(jié)果證明了偶然誤差具有如下特性：（1）有限性 在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限度

7、，（2）俱中性 絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的可能性大，（3）對稱性 絕對值相等的正誤差與負(fù)誤差出現(xiàn)的機會相等，（4）抵消性 當(dāng)觀測次數(shù)無限增多時，偶然誤差的算術(shù)平均值趨近于零。即上述第四個特性說明，偶然誤差具有抵償性，它是由第三個特性導(dǎo)出的。從左圖就可以看出偶然誤差的分布情況。圖中橫坐標(biāo)表示誤差的大小，縱坐標(biāo)表示各區(qū)間誤差出現(xiàn)的頻率除以區(qū)間的間隔值。當(dāng)誤差個數(shù)足夠多時，如果將誤差的區(qū)間間隔無限縮小，則圖中各長方形頂邊所形成的折線將變成一條光滑的曲線，稱為誤差分布曲線。在概率論中，把這種誤差分布稱為正態(tài)分布。掌握了偶然誤差的特性，就能根據(jù)帶有偶然誤差的觀測值求出未知量的最可靠值，并衡量其

8、精度。同時，也可應(yīng)用誤差理論來研究最合理的測量工作方案和觀測方法。52 衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)衡量觀測值精度的常用標(biāo)準(zhǔn)有以下幾種一、中誤差在等精度觀測列中，各真誤差平方的平均數(shù)的平方根，稱為中誤差，也稱均方誤差，即【例】 設(shè)有兩組等精度觀測列，其真誤差分別為第一組-3、+3、-1、-3、+4、+2、-1、-4；第二組+1、-5、-1、+6、-4、0、+3、-1。試求這兩組觀測值的中誤差。解：比較m1和m2可知，第一組觀測值的精度要比第二組高。必須指出，在相同的觀測條件下所進行的一組觀測，由于它們對應(yīng)著同一種誤差分布，因此，對于這一組中的每一個觀測值，雖然各真誤差彼此并不相等，有的甚至相差很大，但它們的

9、精度均相同，即都為同精度觀測值。二、容許誤差由偶然誤差的第一特性可知，在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值。這個限值就是容許誤差或稱極限誤差。此限值有多大呢？根據(jù)誤差理論和大量的實踐證明，在一系列的同精度觀測誤差中，真誤差絕對值大于中誤差的概率約為32%；大于2倍中誤差的概率約為5%；大于3倍中誤差的概率約為0.3%。也就是說，大于3倍中誤差的真誤差實際上是不可能出現(xiàn)的。因此，通常以3倍中誤差作為偶然誤差的極限值。在測量工作中一般取2倍中誤差作為觀測值的容許誤差，即容=2m（6-4）當(dāng)某觀測值的誤差超過了容許的2倍中誤差時，將認(rèn)為該觀測值含有粗差，而應(yīng)舍去不用或重測。三、相對

10、誤差對于某些觀測結(jié)果，有時單靠中誤差還不能完全反映觀測精度的高低。例如，分別丈量了100m和200m兩段距離，中誤差均為0.02m。雖然兩者的中誤差相同，但就單位長度而言，兩者精度并不相同，后者顯然優(yōu)于前者。為了客觀反映實際精度，常采用相對誤差。觀測值中誤差m的絕對值與相應(yīng)觀測值S的比值稱為相對中誤差。它是一個無名數(shù)，常用分子為1的分?jǐn)?shù)表示，即 |1|mDDmK= 上例中前者的相對中誤差為，后者為，表明后者精度高于前者。對于真誤差或容許誤差，有時也用相對誤差來表示。例如，距離測量中的往返測較差與距離值之比就是所謂的相對真誤差，即 與相對誤差對應(yīng)，真誤差、中誤差、容許誤差都是絕對誤差。53 誤差

11、傳播定律當(dāng)對某量進行了一系列的觀測后，觀測值的精度可用中誤差來衡量。但在實際工作中，往往會遇到某些量的大小并不是直接測定的，而是由觀測值通過一定的函數(shù)關(guān)系間接計算出來的。例如，水準(zhǔn)測量中，在一測站上測得后、前視讀數(shù)分別為a、b，則高差h=a-b，這時高差h就是直接觀測值a、b的函數(shù)。當(dāng)a、b存在誤差時，h也受其影響而產(chǎn)生誤差，這就是所謂的誤差傳播。闡述觀測值中誤差與觀測值函數(shù)中誤差之間關(guān)系的定律稱為誤差傳播定律。本節(jié)就以下四種常見的函數(shù)來討論誤差傳播的情況。一線性函數(shù)1倍數(shù)函數(shù)設(shè)有函數(shù)式中k為常數(shù)，x為直接觀測值，其中誤差為mx，現(xiàn)在求觀測值函數(shù)Z的中誤差mZ。設(shè)x和Z的真誤差分別為x和Z，由

12、上式知它們之間的關(guān)系為Z=kx若對x共觀測了n次，則 （i=1,2,n）將上式兩端平方后相加，并除以n，得按中誤差定義可知所以上式可寫成或即觀測值倍數(shù)函數(shù)的中誤差，等于觀測值中誤差乘倍數(shù)（常數(shù)）。【例】 用水平視距公式D=kl求平距，已知觀測視距間隔的中誤差ml=1cm，k=100，則平距的中誤差mD=100ml=1 m。2和差函數(shù)設(shè)有函數(shù) 式中x、y為獨立觀測值，它們的中誤差分別為mx和my，設(shè)真誤差分別為x和y，由上式可得若對x、y均觀測了n次，則 將上式兩端平方后相加，并除以n得上式中各項均為偶然誤差。根據(jù)偶然誤差的特性，當(dāng)n愈大時，式中最后一項將趨近于零，于是上式可寫成根據(jù)中誤差定義，

13、可得即觀測值和差函數(shù)的中誤差平方，等于兩觀測值中誤差的平方之和?！纠?在ABC中，C=180AB，A和B的觀測中誤差分別為3和4，則C的中誤差。3一般線性函數(shù)設(shè)有線性函數(shù)z=k1x1k2x2knxn式中x1、 x2、xn為獨立觀測值，k1、 k2、kn為常數(shù)，則mz2=(k1m1)2(k2m2)2+ (knmn)2【例】 有一函數(shù)，其中x1、x2、x3的中誤差分別為3mm、2mm、1mm，則。二非線性函數(shù)設(shè)有一般函數(shù)式中x1、x2、xn為獨立觀測值，已知其中誤差為mi (i=1,2, ,n)。當(dāng)xi具有真誤差i時，函數(shù)Z則產(chǎn)生相應(yīng)的真誤差z, 因為真誤差是一微小量，故將（6-15）取全微分，

14、將其化為線性函數(shù)，并以真誤差符號“”代替微分符號“d”,得式中是函數(shù)對xi取的偏導(dǎo)數(shù)并用觀測值代入算出的數(shù)值，它們是常數(shù)，因此，上式變成了線性函數(shù)，按式得上式是誤差傳播定律的一般形式。前述的（6-9）、（6-12）、（6-14）式都可看著上式的特例?！纠?某一斜距S=106.28m，斜距的豎角，中誤差、，求改算后的平距的中誤差。解：全微分化成線性函數(shù)，用“”代替“d”，得應(yīng)用公式后，得 cm在上式計算中，單位統(tǒng)一為厘米，是將角值的單位由秒化為弧度。54 等精度直接觀測平差一 算術(shù)平均值和觀測值的中誤差設(shè)在相同的觀測條件下對某量進行了n次等精度觀測，觀測值為L1、L2、Ln，其真值為X，真誤差

15、為1、2、n。觀測值的真誤差公式為 （i=1,2,n）將上式相加后，得故若以x表示上式中右邊第一項的觀測值的算術(shù)平均值，即則 上式右邊第二項是真誤差的算術(shù)平均值。由偶然誤差的第四特性可知，當(dāng)觀測次數(shù)n無限增多時，則，即算術(shù)平均值就是觀測量的真值。在實際測量中，觀測次數(shù)總是有限的。根據(jù)有限個觀測值求出的算術(shù)平均值x與其真值X僅差一微小量。故算術(shù)平均值是觀測量的最可靠值，通常也稱為最或是值(most probable value)。由于觀測值的真值X一般無法知道，故真誤差也無法求得。所以不能直接求觀測值的中誤差，而是利用觀測值的最或是值x與各觀測值之差V來計算中誤差，V被稱為改正數(shù)，即V=x-L實際工作中利用改正數(shù)計算觀測值中誤差的實用公式稱為白塞爾公式。即二 算術(shù)平均值中誤差的計算公式在求出觀測值的中誤差m后，就可應(yīng)用誤差傳播定律求觀測值算術(shù)平均值的中誤差M，推導(dǎo)如下：應(yīng)用誤差傳播定律有由上式可知，增加觀測次數(shù)能削弱偶然誤差對算術(shù)平均值的影響，提高其精度。但因觀測次數(shù)與算術(shù)平均值中誤差并不是線性比例關(guān)系，所以，當(dāng)觀測次數(shù)達到一定數(shù)目后，即使再增加觀測次數(shù)，精度卻提高得很少。因此，除適當(dāng)增加觀測次數(shù)外，還應(yīng)選用適當(dāng)?shù)挠^測儀器和觀測方法，選擇良好的外界環(huán)境，才能有效地提高精度。5-5 不等精度直接觀測平差1概念：觀測條件不同的觀測結(jié)果2計算：例：4個測回：3271.