功率譜估計模型法

1、功率譜估計 -參數(shù)估計方法,周期圖法的不足,估計方法的方差性能差 在功率譜密度計算中沒有實現(xiàn)求均值的運算 分辨率低 樣本數(shù)據(jù)x(n)是有限長的，相當于在無限長樣本數(shù)據(jù)中加載了窗函數(shù)(矩形窗、Hanning等),參數(shù)模型功率譜估計,MA模型 AR模型 ARMA模型,平穩(wěn)隨機信號的參數(shù)模型,如果一個寬平穩(wěn)隨機信號x(n)通過一個線性時不變系統(tǒng)(LSI)h(n)，則系統(tǒng)輸出y(n)也是寬平穩(wěn)隨機過程，并且y(n)的功率譜密度和x(n)的功率譜密度滿足下式： 其中Pyy、Pxx分別為系統(tǒng)輸出、輸入的功率譜密度，而H(w)為系統(tǒng)脈沖響應的傅立葉變換。,平穩(wěn)隨機信號的參數(shù)模型,如果系統(tǒng)輸入為白噪聲信號u(

2、n)，其功率譜密度為常數(shù)2，則輸出信號功率譜密度Pxx(w)完全由系統(tǒng)傳遞函數(shù)|H(w)|2決定，因此我們通過對H(w)進行建模，從而得到輸出信號的功率譜密度。,平穩(wěn)隨機信號的參數(shù)模型,在上圖中，輸入u(n)為白噪聲信號，其方差為2 ，則系統(tǒng)輸出x(n)的功率譜密度Pxx(w)為：,平穩(wěn)隨機信號的參數(shù)模型,因此我們利用確定性系統(tǒng)傳遞函數(shù)H(z)的特性去表征隨機信號x(n)的功率譜密度，稱為參數(shù)模型功率譜估計。 參數(shù)模型功率譜估計的步驟： 對H(z)選擇合適的模型：MA模型、AR模型、ARMA模型 根據(jù)已知樣本數(shù)據(jù)x(n)，或者x(n)的自相關(guān)函數(shù)，確定H(z)的參數(shù) 利用H(z)估計x(n)的

3、功率譜。,平穩(wěn)隨機信號的參數(shù)模型,H(z)的模型： AR模型：auto-Regressive 此模型只有極點，沒有零點，對應其幅度譜結(jié)構(gòu)存在譜峰,平穩(wěn)隨機信號的參數(shù)模型,MA模型：Moving-Average 此模型只有零點，沒有極點，對應幅度譜結(jié)構(gòu)中存在譜谷點。,平穩(wěn)隨機信號的參數(shù)模型,ARMA模型： 此模型同時有零點、極點，對應幅度譜結(jié)構(gòu)中存在譜峰、譜谷,系統(tǒng)模型,對于一階全極點傳遞函數(shù) 傳遞函數(shù)所對應的幅度響應實際上是：,當a0,當a0,系統(tǒng)模型,對于二階的全極點傳遞函數(shù) 其對應的幅度響應？ 由于傳遞函數(shù)中，a、b均為實數(shù)，且要求極點在單位圓內(nèi)，因此傳遞函數(shù)的極點應該是共軛對稱的。,系統(tǒng)

4、模型,極點位置在0 /2內(nèi)時,系統(tǒng)模型,極點位置在/2 內(nèi)時,系統(tǒng)模型,對于二階的全零點系統(tǒng) 零點的位置沒有限定要求，那么其幅度響應,當零點在0 /2內(nèi)時,在零點在/2 內(nèi)時,AR模型估計功率譜密度,假設(shè)u(n)、x(n)都是寬平穩(wěn)的隨機信號，其中u(n)為白噪聲，方差為2，推導H(z)的模型參數(shù)ai與數(shù)據(jù)x(n)的關(guān)系，即所謂AR模型的正則方程(Normal Equation)。,AR模型估計功率譜密度,根據(jù)輸入、輸出、系統(tǒng)脈沖響應的關(guān)系 等式兩邊同乘以x(n-m)，同時取期望運算,AR模型估計功率譜密度,這里首先考慮rxu(m)的求解 這里h(k)為H(z)的無限長脈沖響應,AR模型估計功

5、率譜密度,由于系統(tǒng)輸入u(n)為白噪聲信號，因此： 這樣rxu(m)為：,AR模型估計功率譜密度,而h(m)為系統(tǒng)H(z)的脈沖響應，由于H(z)為因果系統(tǒng)，因此： 這樣，互相關(guān)函數(shù)rxu(m)為：,AR模型估計功率譜密度,由于h(0)為系統(tǒng)H(z)的脈沖響應，而： 因此有h(0)=1,AR模型估計功率譜密度,根據(jù)上式以及rxu(m)的求解：,AR模型估計功率譜密度,將等式右側(cè)的累加項移到等式左側(cè)，這樣上式就可以寫成方程組的形式：,AR模型估計功率譜密度,在方程組的形式中，由于H(z)模型參數(shù)ai為p個，以及白噪聲方差2，因此需要p+1個方程就可以求解，同時根據(jù)自相關(guān)函數(shù)的對稱性，將方程組展開

6、為矩陣形式：,AR模型估計功率譜密度,這就是AR模型的正則方程，也稱為Yule-Walker方程。,AR模型估計功率譜密度,得到AR模型的參數(shù)，就可以估計功率譜密度：,AR譜估計特點,譜估計的特征 在譜峰值處，AR譜和信號譜很接近 譜谷底位置，則相差比較大。,清音,AR模型與線性預測的關(guān)系,線性預測系數(shù)aj構(gòu)成的全極點濾波器H(z)： 其逆過程為：,AR模型與線性預測的關(guān)系,AR模型： 對應的輸入、輸出關(guān)系：,AR模型與線性預測的關(guān)系,那么：,AR模型與線性預測的關(guān)系,這里我們發(fā)現(xiàn)線性預測過程是AR模型估計功率譜的逆過程。 當預測器的階數(shù)和AR模型的階數(shù)相同時，對應的預測器系數(shù)h和AR模型參數(shù)

7、ai才有一一對應的關(guān)系。,AR模型功率譜估計性能分析,周期圖法中由于自相關(guān)函數(shù)rxx(m)的長度為2N-1，因此相當于對真實的自相關(guān)函數(shù)進行了加窗處理，自相關(guān)函數(shù)的取值范圍在-(N-1) N-1內(nèi)，在此范圍外的值為零值，從而導致了估計的功率譜密度受到窗函數(shù)譜的影響，降低了分辨率。 AR模型對功率譜估計的改進實際上體現(xiàn)在對自相關(guān)函數(shù)的延拓特性上，沒有將估計的自相關(guān)函數(shù)取值限制在-(N-1) N-1的范圍內(nèi)。,AR模型功率譜估計性能分析,根據(jù)Yule-Walker方程可知： 首先估計p+1個自相關(guān)函數(shù)rxx(0)，rxx (1)，rxx (p)后，可以根據(jù)上式得到AR模型參數(shù)ai。 這樣，就根據(jù)a

8、i得到對p之后的自相關(guān)函數(shù)進行拓展：,AR模型功率譜估計性能分析,這里mp，因此我們利用p個估計的自相關(guān)函數(shù)，可以對mp所有的自相關(guān)函數(shù)rxx (m)進行延拓，從而提高了自相關(guān)函數(shù)窗的長度，增加了功率譜估計的頻域分辨率。,AR模型階數(shù)p的選擇,如果模型的階數(shù)過小，則會增加對功率譜的平滑作用，降低譜的分辨率 但如果階數(shù)太高，雖然會降低預測誤差的方差，但會導致譜峰的分裂，增加估計誤差。 這是由于階數(shù)實際上對應于譜結(jié)構(gòu)中的譜峰情況。,AR模型階數(shù)p的選擇,AR模型階數(shù)p的選擇,AR模型階數(shù)p的選擇,在進行AR譜估計時，首先需要確定階數(shù)p。p的選擇可以基于以下三種準則進行。 最終預測誤差準則(FPE)

9、 其中k為階數(shù)，N為樣本數(shù)據(jù)x(n)的長度，而k表示k階AR模型得到的白噪聲方差。 上式最小值對應的階數(shù)為最終選擇的階數(shù)。,AR模型階數(shù)p的選擇,阿凱克信息論準則(AIC) 同樣選擇使上式最小的k值作為模型的階數(shù)。 AIC準測和FPE準則在樣本數(shù)據(jù)x(n)長度較長時，估計得到的模型階數(shù)相似。對于較短的樣本數(shù)據(jù)，建議使用AIC準則。,AR模型階數(shù)p的選擇,自回歸傳遞函數(shù)準則(CAT) 同樣使得上式最小的k為模型階數(shù)。,AR模型參數(shù)的求解,自相關(guān)法 利用Yule-Walker方程得到AR模型參數(shù)ai：,AR模型參數(shù)的求解,Yule-Walker方程中的自相關(guān)函數(shù)rxx(m)為有偏估計值：,AR模型

10、估計功率譜密度,系數(shù)矩陣不僅僅是對稱的，而且沿著和主對角線平行的任意一條對角線上的元素都相等，這樣的矩陣稱為Toeplitz矩陣，可以利用Levinson-Durbin遞推算法得到p個參數(shù)ai以及方差2。,AR模型估計功率譜密度,如果采用有偏估計得到自相關(guān)函數(shù)，就可以利用Levinson-Durbin高效的求解AR模型參數(shù)，并且可以保證求解的系數(shù)ai在單位圓內(nèi)，即保證AR模型的穩(wěn)定性。這種方法稱為自相關(guān)法 同時自相關(guān)法計算的白噪聲信號功率會隨著階數(shù)的增加而減小或者保持不變。,AR模型估計功率譜密度,但自相關(guān)法也存在一定的問題，由于在求解自相關(guān)函數(shù)的時候，進行了矩形加窗處理，降低了分辨率。 同時

11、當樣本數(shù)據(jù)長度較短時，估計誤差會比較大，出現(xiàn)譜峰偏移和譜線分裂。,AR模型估計功率譜密度,協(xié)方差法,AR模型估計功率譜密度,其中的自相關(guān)函數(shù)為： 同時白噪聲的方差為：,AR模型估計功率譜密度,計算自相關(guān)函數(shù)時，樣本數(shù)據(jù)的取值范圍與自相關(guān)法不同，這樣保證了不對樣本數(shù)據(jù)進行矩形窗的截斷，因此如果樣本函數(shù)的長度較短時，可以獲得比自相關(guān)法更好的譜分辨率。如果樣本函數(shù)的長度遠遠大于階數(shù)p時，自相關(guān)法和協(xié)方差法的性能是差不多的。 同時協(xié)方差法求解的是非Toeplitz陣，不能用迭代的方法計算，因此運算復雜度較大。同時也不能像自相關(guān)法一樣保證AR模型的穩(wěn)定性。,AR模型估計功率譜密度,修正的協(xié)方差法 與協(xié)方

12、差法類似，自相關(guān)函數(shù)的求解修正為： 同時估計的白噪聲方差為：,AR模型估計功率譜密度,修正的協(xié)方差法從線性預測的角度分析，實際上是同時進行前向、后向預測，因此其估計譜的分辨率比較高，譜峰的偏移也比較小。 但缺點同樣是需要求解非Toeplitz陣，計算比較復雜。,AR模型估計功率譜密度,Burg遞推法 以上提到的自相關(guān)法、協(xié)方差法和修正的協(xié)方差都要估計樣本數(shù)據(jù)的自相關(guān)函數(shù)，如果能免去自相關(guān)函數(shù)的求解，從而直接根據(jù)樣本函數(shù)得到AR模型參數(shù)ai，從而可以減少中間步驟，提高譜估計的性能。同時采用前向、后向線性預測。 這種算法對短數(shù)據(jù)的功率譜估計比自相關(guān)函數(shù)法要準確。,應用,針對含噪正弦信號 數(shù)據(jù)64點

13、，采用分段平均周期圖法和AR模型,應用,AR模型，周期圖法,應用,數(shù)據(jù)長度為64，采用分段的周期圖法和AR模型,應用,AR模型，周期圖法,應用,數(shù)據(jù)長度為64點，取不同階數(shù)(4、20)的AR模型對譜估計的影響。,應用,MA模型估計功率譜密度,與AR模型一樣，首先推導MA參數(shù)bi與樣本數(shù)據(jù)x(n)的正則方程。 首先，MA模型參數(shù)為：,MA模型估計功率譜密度,輸入白噪聲信號u(n)、MA模型以及輸出x(n)之間為線性卷積的關(guān)系： 與AR模型進行相同的分析，得到：,MA模型估計功率譜密度,MA模型只有q個零點，并且注意MA的正則方程，MA模型計算的自相關(guān)函數(shù)的取值范圍為-q q，并且類似于MA模型參

14、數(shù)bi的自相關(guān)函數(shù) 這樣估計的功率譜密度為：,MA模型估計功率譜密度,注意到，根據(jù)計算的自相關(guān)函數(shù)rxx(m)得到的功率譜為： 因此從譜估計的角度，MA模型譜估計等效于經(jīng)典譜估計中的自相關(guān)法，譜估計的分辨率低。,ARMA模型估計功率譜密度,ARMA模型實際上AR模型和MA模型的綜合，其正則方程為： 其中h(k)為ai和bi的函數(shù)，因此該方程為非線性方程，求解較為復雜。,最大熵譜估計方法,rxx(k)的最大熵外推法 經(jīng)典譜估計中是零值外推，對于窄帶信號是很不精確的，如何對rxx(k)進行外推？ 這里re(k)表示自相關(guān)函數(shù)的外推值,最大熵譜估計方法,對re(k)的約束條件是什么？ 保證得到的功率

15、譜密度是實數(shù)，并且是非負的。 使隨機信號x(n)的熵最大，等價為使得x(n)盡可能的白化，對功率譜而言，使得估計的功率譜Pxx(w)盡可能平坦。,最大熵譜估計方法,對于能量有限的信號，具有高斯分布的隨機信號x(n)具有最大的熵率，并且x(n)是高斯AR過程，即x(n)的功率譜是全極點形式的譜結(jié)構(gòu)。,最大熵譜估計方法,根據(jù)以上要求外推的自相關(guān)函數(shù)rxx(k)： 而ap為自相關(guān)正則方程的解：,最大熵譜估計方法,最大熵譜估計的解釋是：根據(jù)給定隨機信號x(n)，利用對x(n)AR模型的限制，對自相關(guān)函數(shù)進行外推，并且假設(shè)x(n)為高斯分布。 實際上最大熵譜估計與Yule-Walker方法估計功率譜是等

16、價的。,最大熵譜估計方法,這里對最大熵譜估計方法的描述，用于解釋該方法譜估計的實質(zhì)問題。 最大熵估計外推對數(shù)據(jù)強加了一個全極點模型，因此MEM估計是否優(yōu)于傳統(tǒng)方法，取決于所分析的信號類型，以及信號模型逼近AR過程的程度,特征分解法譜估計,對于帶有白噪聲的正弦波組合，由于正弦波之間是非諧波的關(guān)系 ，因此不能用基于傅立葉變換的周期圖法進行分析。而特征分解法可以得到比AR模型更高的分辨率，特別是信噪比比較低的時候，譜估計的效果比較理想。,特征分解法譜估計,一階諧波過程： 其中復指數(shù)A1=|A1|ej1 , 1是均勻分布的隨機變量，w(n)是方差為w2 的白噪聲,特征分解法譜估計,復數(shù)隨機信號的自相關(guān)

17、矩陣定義為：,特征分解法譜估計,Rss的秩為1.,特征分解法譜估計,定義 則Rss可以用e1表示： 因此Rss的非零特征值為M|A1|2,特征分解法譜估計,Rxx和Rss的特征向量是一致的。 Rxx的特征根是Rss的特征根和噪聲方差之和,特征分解法譜估計,根據(jù)Rx 的特征值和特征矢量獲得關(guān)于x(n)的參數(shù)： Rx進行特征值分解，最大的特征值為M|A1|2+w2 ，其它的特征值均為w2 利用Rx 的特征值求信號功率|A1|2和噪聲方差：,特征分解法譜估計,最大特征值對應的特征矢量為e1，則e1第二個系數(shù)為 ejw1, 其頻率即為w1,特征分解法譜估計,基于信號自相關(guān)矩陣分解的頻率估計算法：將樣本

18、空間分為信號子空間和噪聲子空間，然后用頻率估計函數(shù)估計頻率值。 假設(shè)隨機信號x(n)由p個復指數(shù)信號和白噪聲信號組成： 其中s(n)為正弦信號，v(n)為白噪聲,特征分解法譜估計,X(n)信號的自相關(guān)函數(shù)： 其中Pi是功率： Pi =|Ai|2,特征分解法譜估計,則x(n)的自相關(guān)矩陣為：,特征分解法譜估計,其中ei為：,特征分解法譜估計,設(shè)vi是Rss的特征矢量： vi也是Rxx的特征矢量，并且Rxx的特征根是Rss特征根和噪聲方差之和：,特征分解法譜估計,Rss的秩為p，因此Rss有p個非零特征根，因此Rxx特征根分為p個大于w2 的特征根，和M-p個為w2 的特征根。 對應于特征根的分類，特征矢量也分為兩類。實際上，大于w2的特征根和特征矢量對應信號子空間，而等于w2的特征根和特征矢量對應噪聲子空間。 這樣可以根據(jù)自相關(guān)函數(shù)Rxx的特征根求解，最小的特征根就是白噪聲信號的方差。,特征分解法譜估計,如果自相關(guān)矩陣Rxx的維數(shù)M=p+1，則p個大于w2 的特征根，1個等于w2 的特征根，因此信號子空間的特征矢量為p個，噪聲子空間的特征矢量為1個，定義為vmin。 定義信號空間矢量ei，該矢量不是特征矢量，但位于信號子空間中，且與vmin正交：,特征分解法譜