文科數(shù)學第六章第五節(jié).ppt

1、第五節(jié)合情推理與演繹推理,第六章不等式、推理與證明,考 綱 要 求,1了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進行簡單的推理，了解合情推理在數(shù)學發(fā)現(xiàn)中的作用 2了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并 能運用它們進行一些簡單推理 3了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異,課 前 自 修,知識梳理,一、 推理的概念 根據(jù)一個或幾個已知事實(或假設(shè))得出一個判斷，這種思維方式叫做推理從結(jié)構(gòu)上說，推理一般由兩部分組成，一部分是已知的事實(或假設(shè))，叫做前提，一部分是由已知推出的判斷，叫做結(jié)論,二、合情推理 根據(jù)已有的事實，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進行歸納、類比，然后提出猜想的推理稱為合情

2、推理 合情推理又具體分為歸納推理和類比推理兩類 1歸納推理：由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結(jié)論的推理簡言之，歸納推理是由部分到整體、個別到一般的推理，歸納推理簡稱歸納,2類比推理：由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理，類比推理簡稱類比 三、演繹推理 從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論簡言之，演繹推理是由一般到特殊的推理 三段論是演繹推理的一般模式，它包括：(1)大前提已知的一般原理；(2)小前提所研究的特殊情況；(3)結(jié)論根據(jù)

3、一般原理，對特殊情況作出的判斷,基礎(chǔ)自測,1(2012江門市調(diào)研)定義A*B，B*C，C*D，D*A的運算結(jié)果分別對應(yīng)下圖中的(1)，(2)，(3)，(4)，那么下圖中的(M)，(N)所對應(yīng)的運算結(jié)果可能是() AB*D，A*D BB*D，A*C CB*C，A*D DC*D，A*D,解析：根據(jù)圖(1)、(2)、(3)、(4)和定義的運算知，A對應(yīng)豎線，B對應(yīng)正方形，C對應(yīng)橫線，D對應(yīng)圓，(M)對應(yīng)B*D，(N)對應(yīng)A*C.故選B. 答案：B,2(2011巢湖市模擬)給出下面類比推理命題(其中Q為有理數(shù)集，R為實數(shù)集，C為復(fù)數(shù)集)： “若a，bR，則ab0ab”類比推出“若a，bC，則ab0ab

4、”； “若a，b，c，dR，則復(fù)數(shù)abicdiac，bd”類比推出“若a，b，c，dQ，則ab cd ac，bd”； “若a，bR，則ab0ab” 類比推出“若a，bC，則ab0ab” 其中類比結(jié)論正確的個數(shù)是() A0 B1 C2 D3,答案：C,4(2011合肥市調(diào)研)圖(1)，(2)，(3)，(4)分別包含1個，5個，13個，25個第二十九屆北京奧運會吉祥物“福娃迎迎”，按同樣的方式構(gòu)造圖形，設(shè)第n個圖形包含f(n)個“福娃迎迎”，則f(5)_，f(n)f(n1)_(答案用數(shù)字或n的解析式表示),41,4(n1),考 點 探 究,考點一,歸納推理,【例1】(2012湖北荊門、天門等八市聯(lián)

5、考)如圖所示，有三根針和套在一根針上的n個金屬片，按下列規(guī)則，把金屬片從一根針上全部移到另一根針上：(1)每次只能移動一個金屬片；(2)在每次移動過程中，每根針上較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面將n個金屬片從1號針移動到3號針最少需要移動的次數(shù)記為f(n)，則f(3)_，f(n)_.,思路點撥：通過具體操作，先求f(1)，f(2)再求f(3)，從中找到規(guī)律,解析：n1時，直接由1號針移到3號針，f(1)1；n2時，先把較小的移到2號針，把較大的移到3號針，再把較小的移到3號針，f(2)3；n3時，按照13,12,32,13，21，23,13的順序移動，f(3)7.歸納可得f(n)2n1.

6、答案：72n1,點評：應(yīng)用歸納推理解題時：一是要通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì)；二是要從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表述的一般性命題(猜想),變式探究,1. (2011上海市奉賢區(qū)調(diào)研)下圖都是由棱長為1的正方體疊成的圖形 例如，第(1)個圖形的表面積為6個平方單位長度，第(2)個圖形的表面積為18個平方單位長度，第(3)個圖形的表面積是36個平方單位長度依此規(guī)律，則第n個圖形的表面積是_個平方單位長度,解析：設(shè)第n個圖的表面積記為f(n)，則f(1)6，f(2)18f(1)62，f(3)36f(2)63，f(n)f(n1)6n， f(n)f(n1)6n，n2,3,4， f(n)66263

7、6n6(123n)3n(n1) 答案：3n(n1),【例2】(2011汕頭市期末)設(shè)直角三角形的兩條直角邊的長分別為a，b，斜邊長為c，斜邊上的高為h，則有 a2b2c2h2a3b3c4h4a5b5c5h5 其中正確結(jié)論的序號是_；進一步得到的一般結(jié)論是_,解析：在直角三角形中，acsin A，bccos A，abch，故hcsin Acos A. anbncn(sinnAcosnA)，anbncnhncn(sinnAcosnA1sinnAcosnA)cn(sinnA1)(1cosnA)0，所以anbncnhn.故填. 答案：anbncnhn(nN*),變式探究,解析： 觀察1,3,7,15，

8、與對應(yīng)項的關(guān)系，顯然滿足2n1，觀察2,4,8,16，與對應(yīng)項的關(guān)系，顯然滿足2n，故fn(x) . 答案：,考點二,類比推理,【例3】已知命題：若數(shù)列an為等差數(shù)列，且ama，anb(mn，m，nN*)，則amn ；現(xiàn)已知等比數(shù)列bn(bn0，nN*)，bma，bnb(mn，m，nN*)，若類比上述結(jié)論，則可得到bmn_.,解析：等差數(shù)列中的bn和am可以類比等比數(shù)列中的bn和am，等差數(shù)列中的bnam可以類比等比數(shù)的 ，等差數(shù)列中 的可以類比等比數(shù)列中 的.故bmn . 答案：,變式探究,【例4】若三角形的內(nèi)切圓半徑為r，三邊的長分別為a，b，c，則三角形的面積S r(abc)，根據(jù)類比思

9、想，若四面體的內(nèi)切球半徑為R，四個面的面積分別為S1，S2，S3，S4，則此四面體的體積V_.,解析：設(shè)四面體的內(nèi)切球的球心為O，則球心O到四個面的距離都是R，所以四面體的體積等于以O(shè)為頂點，分別以四個面為底面的4個三棱錐體積的和 答案： R(S1S2S3S4),點評：關(guān)于空間問題與平面問題的類比，通?？勺プ缀我氐娜缦聦?yīng)關(guān)系作對比： 多面體 多邊形；線點；面 邊；體積面；二面角平面角；面積線段長,變式探究,4(2012常德市模擬)在ABC中，若BCAC，ACb，BCa，則ABC的外接圓半徑r .將此結(jié)論拓展到空間，可得出的正確結(jié)論是：在四面體SABC中，若SA，SB，SC兩兩垂直，SAa

10、，SBb，SCc，則四面體S-ABC的外接球半徑R_.,考點三,演繹推理,【例5】證明：函數(shù)f(x)x22x在1，)上是減函數(shù),思路點撥：證明本題的大前提是減函數(shù)的定義，即函數(shù)f(x)x22x滿足：在給定的區(qū)間內(nèi)任取自變量的兩個值x1，x2(x1f(x2)，小前提是函數(shù)f(x)x22x，x1，)滿足減函數(shù)的定義,證明：任取x1，x21，)，且x11，x2x1，x2x10，x1x220， f(x1)f(x2)(x2x1)(x1x22)0， 函數(shù)f(x)x22x在1，)上是減函數(shù),點評：演繹推理是證明數(shù)學問題的基本推理形式，因此在高考中經(jīng)常出現(xiàn)，“三段論”推理是演繹推理的一種重要的推理形式，是由一

11、般到特殊的推理，在前提真實并且推理形式正確的前提下，其結(jié)論就必然真實,變式探究,5(2012江蘇卷)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1A1C1，D，E分別是棱BC，CC1上的點(點D不同于點C)，且ADDE，F(xiàn)為B1C1的中點求證： (1)平面ADE平面BCC1B1； (2)直線A1F平面ADE.,證明：(1)ABC-A1B1C1是直三棱柱， CC1平面ABC. 又AD平面ABC，CC1AD. 又ADDE，CC1，DE平面BCC1B1，CC1DEE，AD平面BCC1B1. 又AD平面ADE， 平面ADE平面BCC1B1.,(2)A1B1A1C1，F(xiàn)為B1C1的中點， A1FB1C

12、1. 又CC1平面A1B1C1，且A1F平面A1B1C1，CC1A1F. 又CC1，B1C1平面BCC1B1，CC1B1C1C1， A1F平面BCC1B1. 由(1)知AD平面BCC1B1， A1FAD. 又AD平面ADE，A1F平面ADE， 直線A1F平面ADE.,1歸納推理的幾個特點： (1)歸納是依據(jù)特殊現(xiàn)象推斷一般現(xiàn)象，因而，由歸納所得的結(jié)論超越了前提所包容的范圍 (2)歸納是依據(jù)若干已知的、沒有窮盡的現(xiàn)象推斷尚屬未知的現(xiàn)象，因而結(jié)論具有猜測性 (3)歸納的前提是特殊的情況，因而歸納是立足于觀察、經(jīng)驗、實驗和對有限資料分析的基礎(chǔ)之上，提出帶有規(guī)律性的結(jié)論,2歸納推理的一般步驟： (1)

13、對有限的資料進行觀察、分析、歸納整理； (2)提出帶有規(guī)律性的結(jié)論，即猜想； (3)檢驗猜想 3類比推理的幾個特點： (1)類比是從人們已經(jīng)掌握了的事物的屬性，推測正在研究的事物的屬性，是以舊有的認識為基礎(chǔ)，類比出新的結(jié)果 (2)類比是從一種事物的特殊屬性推測另一種事物的特殊屬性 (3)類比的結(jié)果是猜測性的，不一定可靠，但它卻有發(fā)現(xiàn)的功能,4類比推理的一般步驟： (1)找出兩類對象之間可以確切表述的相似特征； (2)用一類對象的已知特征去推測另一類對象的特征，從而得出一個猜想； (3)檢驗猜想 5合情推理與演繹推理的區(qū)別： (1)歸納是由特殊到一般的推理； (2)類比是由特殊到特殊的推理； (

14、3)演繹推理是由一般到特殊的推理,從推理的結(jié)論來看，合情推理的結(jié)論不一定正確，有待證明；演繹推理得到的結(jié)論一定正確 演繹推理是證明數(shù)學結(jié)論、建立數(shù)學體系的重要思維過程，是證明數(shù)學問題的基本推理形式 數(shù)學結(jié)論、證明思路的發(fā)現(xiàn)，主要靠合情推理也就是說，在具體問題中，常用合情推理猜測發(fā)現(xiàn)結(jié)論，而利用演繹推理去驗證或證明發(fā)現(xiàn)的結(jié)論 6“三段論”推理的依據(jù)，可用集合的觀點來理解：若集合M的所有元素都具有性質(zhì)P，S是M的一個子集，那么S中所有元素也都具有性質(zhì)P.,感 悟 高 考,品味高考,1(2012江西卷)觀察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，則a10b10 () A2

15、8 B76 C123 D199,解析：觀察各等式的右邊，它們分別為1,3,4,7, 11，發(fā)現(xiàn)從第3項開始，每一項就是它的前兩項之和，故等式的右邊依次為1,3,4,7,11,18,29,47,76,123，故a10b10123.故選C. 答案：C,2在平面上，若兩個正三角形的邊長的比為12 ，則它們的面積比為1 4，類似地，在空間內(nèi)，若兩個正四面體的棱長的比為12，則它們的體積比為_,解析：兩個正四面體的體積比應(yīng)等于它們的棱長比的立方，故應(yīng)為18. 答案：18,高考預(yù)測,1(2012廣東執(zhí)信中學測試)觀察下列等式： (1xx2)11xx2， (1xx2)212x3x22x3x4， (1xx2)313x6x27x36x43x5x6， (1xx2)414x10 x216x319x416