高等數(shù)學(同濟大學)課件下第10_1對弧長和曲線積分

1、,第十章,積分學 定積分二重積分三重積分,積分域 區(qū)間域 平面域 空間域,曲線積分,曲線域,曲面域,曲線積分,曲面積分,對弧長的曲線積分,對坐標的曲線積分,對面積的曲面積分,對坐標的曲面積分,曲面積分,曲線積分與曲面積分,第一節(jié),一、對弧長的曲線積分的概念與性質,二、對弧長的曲線積分的計算法,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,對弧長的曲線積分,第十章,一、對弧長的曲線積分的概念與性質,假設曲線形細長構件在空間所占,其線密度為,“大化小, 常代變, 近似和, 求極限”,可得,為計算此構件的質量,1.引例: 曲線形構件的質量,采用,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,設 是空間中一條有限長的光滑

2、曲線,義在 上的一個有界函數(shù),都存在,上對弧長的曲線積分,記作,若通過對 的任意分割,局部的任意取點,2.定義,下列“乘積和式極限”,則稱此極限為函數(shù),在曲線,或第一類曲線積分.,稱為被積函數(shù)，, 稱為積分弧段 .,曲線形構件的質量,和對,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,如果 L 是 xoy 面上的曲線弧 ,如果 L 是閉曲線 , 則記為,則定義對弧長的曲線積,分為,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,思考:,(1) 若在 L 上 f (x, y)1,(2) 定積分是否可看作對弧長曲線積分的特例 ?,否!,對弧長的曲線積分要求 ds 0 ,但定積分中,dx 可能為負.,3. 性質,（k 為

3、常數(shù)),( 由 組成),( l 為曲線弧 的長度),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,二、對弧長的曲線積分的計算法,基本思路:,計算定積分,定理:,且,上的連續(xù)函數(shù),證:,是定義在光滑曲線弧,則曲線積分,求曲線積分,根據(jù)定義,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,點,設各分點對應參數(shù)為,對應參數(shù)為,則,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,說明:,因此積分限必須滿足,(2) 注意到,因此上述計算公式相當于“換元法”.,因此,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,如果曲線 L 的方程為,則有,如果方程為極坐標形式:,則,推廣: 設空間曲線弧的參數(shù)方程為,則,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例1.

4、 計算,其中 L 是拋物線,與點 B (1,1) 之間的一段弧 .,解:,上點 O (0,0),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例2. 計算半徑為 R ,中心角為,的圓弧 L 對于它的對,稱軸的轉動慣量I (設線密度 = 1).,解: 建立坐標系如圖,則,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例3. 計算,其中L為雙紐線,解: 在極坐標系下,它在第一象限部分為,利用對稱性 , 得,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例4. 計算曲線積分,其中為螺旋,的一段弧.,解:,線,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例5. 計算,其中為球面,被平面 所截的圓周.,解: 由對稱性可知,機動 目錄 上頁

5、下頁 返回 結束,思考: 例5中 改為,計算,解: 令, 則,圓的形心在原點, 故, 如何,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例6. 計算,其中為球面,解:,化為參數(shù)方程,則,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例7. 有一半圓弧,其線密度,解:,故所求引力為,求它對原點處單位質量質點的引力.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,內容小結,1. 定義,2. 性質,( l 曲線弧 的長度),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,3. 計算, 對光滑曲線弧, 對光滑曲線弧, 對光滑曲線弧,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,思考與練習,1. 已知橢圓,周長為a , 求,提示:,原式 =,利用對稱性,分析:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,2. 設均勻螺旋形彈簧L的方程為,(1) 求它關于 z 軸的轉動慣量,(2) 求它的質心 .,解: 設其密度為 (常數(shù)).,(2) L的質量,而,(1),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,故重心坐標為,作業(yè) P131 3 (3) , (4) , (6) , (7) 5,第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結束,備用題,1. 設 C 是由極坐標系下曲線,及,所圍區(qū)域的邊界, 求,提示: 分段積分,機動 目錄 上頁