《三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用》教學(xué)設(shè)計(jì)交流

1、 三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用教學(xué)設(shè)計(jì)交流 鎮(zhèn)海中學(xué)數(shù)學(xué)組 鐘清各位專(zhuān)家，各位老師：大家好！很高興今天有這么一個(gè)機(jī)會(huì)與大家進(jìn)行交流。我們鎮(zhèn)海中學(xué)在每年的12月份都有一個(gè)課堂教學(xué)創(chuàng)新周活動(dòng)，去年的主題是“新課程背景下學(xué)科教學(xué)的探索”，數(shù)學(xué)組由我和沈虎躍老師接受了開(kāi)設(shè)公開(kāi)課的任務(wù)，我們根據(jù)當(dāng)時(shí)高一新課程的進(jìn)度，選擇了新課程新增內(nèi)容三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用開(kāi)設(shè)了兩堂公開(kāi)課，現(xiàn)在我把我們當(dāng)時(shí)的一些想法與做法向大家進(jìn)行簡(jiǎn)單的匯報(bào)。懇請(qǐng)各位老師的批評(píng)指正。新課程專(zhuān)門(mén)設(shè)置“三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用”一節(jié)，目的是加強(qiáng)用三角函數(shù)模型刻畫(huà)周期變化現(xiàn)象的學(xué)習(xí)，這是以往教學(xué)中不太注意的內(nèi)容。書(shū)上選擇了4個(gè)例題，循序漸進(jìn)地從四個(gè)

2、層次來(lái)介紹三角函數(shù)模型的應(yīng)用：例一：根據(jù)圖象建立解析式。（研究溫度隨時(shí)間呈周期性變化的問(wèn)題）；例二：根據(jù)解析式作出圖象。（研究與正弦函數(shù)有關(guān)的簡(jiǎn)單函數(shù)y=|sinx|的圖象及其周期）；例三：將實(shí)際問(wèn)題抽象為與三角函數(shù)有關(guān)的簡(jiǎn)單函數(shù)模型。（研究樓高與樓在地面的投影長(zhǎng)的關(guān)系問(wèn)題）；例四：利用收集到的數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，并根據(jù)散點(diǎn)圖進(jìn)行函數(shù)擬合，從而得到函數(shù)模型。（研究港口海水深度隨時(shí)間呈周期性變化的問(wèn)題）。根據(jù)教材的安排，我們分兩個(gè)課時(shí)完成這部分內(nèi)容：例一、例二、例三為第一課時(shí)，例四為第二課時(shí)。在上第一課時(shí)時(shí)，由于考慮到例二這個(gè)內(nèi)容，在上正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)時(shí)已提前講解過(guò)，學(xué)生也已基本掌握，同時(shí)也考慮

3、到本堂課時(shí)間的限制，在這里就不再重復(fù)。根據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)，我們將第一課時(shí)的教學(xué)目標(biāo)，教學(xué)重難點(diǎn)定為：1、知識(shí)目標(biāo)：a通過(guò)對(duì)三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用的學(xué)習(xí)，使學(xué)生初步學(xué)會(huì)由圖象求解析式的方法；b體驗(yàn)實(shí)際問(wèn)題抽象為三角函數(shù)模型問(wèn)題的過(guò)程；c體會(huì)三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型2、能力目標(biāo)：讓學(xué)生體驗(yàn)一些具有周期性變化規(guī)律的實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)“建?！彼枷?從而培養(yǎng)學(xué)生的建模、分析問(wèn)題、數(shù)形結(jié)合、抽象概括等能力3、情感目標(biāo)：讓學(xué)生切身感受數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問(wèn)題中的價(jià)值和作用，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)鍥而不舍的鉆研精神；培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、勤于思考的精神。教學(xué)重點(diǎn)：根據(jù)已知圖象求的解析式

4、；將實(shí)際問(wèn)題抽象為三角函數(shù)模型。教學(xué)難點(diǎn)：分析、整理、利用信息，從實(shí)際問(wèn)題中抽取基本的數(shù)學(xué)關(guān)系來(lái)建立數(shù)學(xué)模型，并調(diào)動(dòng)相關(guān)學(xué)科的知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題教學(xué)過(guò)程如下：首先從同學(xué)們比較熟悉的“物理中單擺、彈簧振子對(duì)平衡位置的位移與時(shí)間的關(guān)系”引入，說(shuō)明在現(xiàn)實(shí)世界中存在著不少周而復(fù)始，循環(huán)不息的現(xiàn)象，包括有物理，地理方面的，也有心理、生理現(xiàn)象以及日常生活現(xiàn)象等，而這些具有周期性變化的現(xiàn)象在數(shù)學(xué)上有時(shí)就可以借助三角函數(shù)來(lái)描述。這里完全可以讓學(xué)生舉幾個(gè)例子。學(xué)生們的想象是很豐富的，比如說(shuō)這里的峰谷電，自行車(chē)車(chē)輪轉(zhuǎn)動(dòng)，溫度變化等就是由學(xué)生提出來(lái)的。這個(gè)界面（幻燈片5）可以體現(xiàn)三角函數(shù)應(yīng)用的廣泛性。也可以由這個(gè)界面超

5、級(jí)鏈接到各個(gè)例題，起到一個(gè)提綱挈領(lǐng)的作用。接下來(lái)是例一，已知函數(shù)圖象求函數(shù)解析式，這是老教材就有的內(nèi)容，只不過(guò)套了一個(gè)“溫度”的外殼。為了體現(xiàn)數(shù)學(xué)的實(shí)用性，即由圖象求得解析式后，解析式有什么用，在這里我補(bǔ)充了第三小題“求出8時(shí)的近似溫度”。這（藍(lán)線）是為了說(shuō)明如果拿平衡點(diǎn)代入求值時(shí)會(huì)出現(xiàn)增根，需檢驗(yàn)。接下來(lái)是例二（也即書(shū)上的例三），為了增加親切感，我把書(shū)中的“北京地區(qū)”改為了“寧波地區(qū)”，一些數(shù)值也進(jìn)行了相應(yīng)的改動(dòng)。本來(lái)對(duì)這道題我有點(diǎn)擔(dān)心，覺(jué)得“太陽(yáng)高度角”這個(gè)概念自己理解起來(lái)都有點(diǎn)費(fèi)力，學(xué)生能理解嗎？但實(shí)際上我的擔(dān)心是多余的。學(xué)生的地理知識(shí)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)我，他們很快就能反映過(guò)來(lái)，“要使新樓一層正午

6、的太陽(yáng)全年不被前面的樓房遮擋”，只需考慮冬至那天，太陽(yáng)直射南回歸線的情況，因?yàn)槟且惶焯?yáng)高度角最小，物體的影子最長(zhǎng)。而他們也很快反應(yīng)到：地球表面某地正午太陽(yáng)高度角為900減去太陽(yáng)直射緯度與該地緯度差的絕對(duì)值（即）。因此解這道題并不是特別困難。我們只需通過(guò)這幾張幻燈片幫同學(xué)們理解一下這個(gè)公式的由來(lái)，這道題便迎刃而解。為了進(jìn)一步拉近數(shù)學(xué)與我們生活的距離，讓學(xué)生真實(shí)感受到數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，生活中就有數(shù)學(xué)，我們還可以在這里補(bǔ)充這樣的反面問(wèn)題：比如有一天你想買(mǎi)房，某住宅小區(qū)樓與樓之間相距15米，你要使所買(mǎi)的樓房一年四季正午的太陽(yáng)不被前面樓房遮擋，應(yīng)選擇哪幾層的房子？其實(shí)我們接觸到的三角函數(shù)模型的應(yīng)用有兩類(lèi)

7、：一類(lèi)是已知模型將其具體化，如例1；另一類(lèi)是模型未知，需要你根據(jù)題目情況選擇合適的數(shù)學(xué)模型加以解決，如例二。當(dāng)然第二類(lèi)難度更大。因此為了更好地突破難點(diǎn)，也根據(jù)我校學(xué)生的實(shí)際情況，在做了簡(jiǎn)單歸納總結(jié)后，我補(bǔ)充了例三。例三的數(shù)學(xué)模型是未知的，要學(xué)生自己尋找合適的數(shù)學(xué)模型，它對(duì)學(xué)生思維層次的要求比較高，學(xué)生可能會(huì)感到困難。因此我借助幾何畫(huà)板加以不停的水輪旋轉(zhuǎn)演示，使學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)角與高度的關(guān)系，幫助學(xué)生理解題意。經(jīng)過(guò)討論探究，學(xué)生結(jié)合正弦函數(shù)的定義，給出正確解答。至于本課的課后體驗(yàn)探究是希望進(jìn)一步拉近三角函數(shù)與學(xué)生的距離，激發(fā)學(xué)生的興趣。這是可以證明的，留給有興趣的學(xué)生完成。也可以試著讓學(xué)生自編題目。

8、以上是第一課時(shí)，這堂課通過(guò)已知三角函數(shù)圖象求三角函數(shù)解析式，構(gòu)建三角函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)原來(lái)就來(lái)自身邊的現(xiàn)實(shí)世界，它是認(rèn)識(shí)和解決我們生活工作中問(wèn)題的有力武器。同時(shí)也獲得了進(jìn)行數(shù)學(xué)探究的切身體驗(yàn)和能力，增強(qiáng)了他們對(duì)數(shù)學(xué)的理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)的信心。三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用的第二課時(shí)便是書(shū)上的例四“港口海水深度隨時(shí)間呈周期性變化的問(wèn)題”，這是繼必修1函數(shù)這一章節(jié)以后，第二次出現(xiàn)的函數(shù)擬合問(wèn)題。但由于陌生的背景，復(fù)雜的數(shù)據(jù)處理，函數(shù)思想運(yùn)用等學(xué)生還是會(huì)感到困難，我們對(duì)它的教學(xué)目標(biāo)定位是：知識(shí)目標(biāo)：能正確分析收集到的數(shù)據(jù)，選擇恰當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)模型刻畫(huà)數(shù)據(jù)所蘊(yùn)涵的規(guī)律，能根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義，利用

9、模型解釋有關(guān)實(shí)際問(wèn)題，為決策提供依據(jù)。能力目標(biāo)：體會(huì)由現(xiàn)實(shí)問(wèn)題選擇數(shù)學(xué)模型、研究數(shù)學(xué)模型、解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)過(guò)程，使學(xué)生逐步養(yǎng)成運(yùn)用信息技術(shù)工具解決實(shí)際問(wèn)題的意識(shí)和習(xí)慣； 使學(xué)生進(jìn)一步提升對(duì)函數(shù)概念的完整認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)用函數(shù)觀點(diǎn)綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生理論與實(shí)踐相結(jié)合，用科學(xué)、辯證的眼光觀察事物，進(jìn)而抓住事物的本質(zhì)。情感目標(biāo)：體驗(yàn)探索和創(chuàng)造過(guò)程，從中獲得成功的快樂(lè)，體會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的重要性，激發(fā)對(duì)數(shù)學(xué)的興趣和樹(shù)立自信心，滲透數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)統(tǒng)一和諧之美。教學(xué)重點(diǎn)：用三角函數(shù)模型刻畫(huà)潮汐變化的規(guī)律，用函數(shù)思想解決具有周期變化規(guī)律的實(shí)際問(wèn)題。教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)問(wèn)題實(shí)際意義的數(shù)學(xué)解釋?zhuān)瑥膶?shí)際問(wèn)題

10、中抽象出三角函數(shù)模型，并綜合運(yùn)用相關(guān)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。由于這堂課當(dāng)時(shí)是沈虎躍老師開(kāi)的公開(kāi)課，因此在這里我給大家演示的絕大部分也是沈老師的課件，稍做改動(dòng)。我覺(jué)得他是從五個(gè)步驟來(lái)實(shí)現(xiàn)教學(xué)過(guò)程的。（一）設(shè)置情境，呈現(xiàn)問(wèn)題為了增加趣味性，從法國(guó)圣米切爾山的漲潮、落潮引入。圣米切爾山是繼巴黎鐵塔同凡爾賽宮之后，法國(guó)第三大景點(diǎn)。它的最大特點(diǎn)是在水中央，潮漲時(shí)整座山幾乎四面環(huán)海，潮退時(shí)則一片荒漠。 這個(gè)引入大受學(xué)生歡迎，激發(fā)了他們學(xué)習(xí)的興趣。另外也可以這樣引入：這是沖浪，依據(jù)規(guī)定，當(dāng)海浪高度高于1米時(shí)，才對(duì)沖浪者開(kāi)放；這是我們的寧波港。、隨后提出問(wèn)題（幻燈片23）。這兩個(gè)問(wèn)題實(shí)質(zhì)上就是本堂課要研究的重點(diǎn)問(wèn)題

11、，在這里先給學(xué)生一個(gè)直觀感覺(jué)，為接下來(lái)的例題出現(xiàn)提供背景。（二）探索實(shí)踐，尋找模型(1)初步認(rèn)識(shí)更進(jìn)一步地提出具體問(wèn)題（幻燈片24）。作散點(diǎn)圖時(shí)，注意引導(dǎo)學(xué)生與“五點(diǎn)法”相聯(lián)系，這樣很容易聯(lián)想到三角函數(shù)。我們也完全可以借助計(jì)算機(jī)exsel來(lái)完成作圖，由于考慮到潮水漲落的實(shí)際情況，我們考慮采用平滑線散點(diǎn)圖，而不是折線散點(diǎn)圖.根據(jù)圖象可以考慮用函數(shù)來(lái)刻畫(huà)水深與時(shí)間的關(guān)系.由圖象求出解析式。求出解析式后便可依賴計(jì)算器或計(jì)算機(jī)求得各整點(diǎn)時(shí)的水深的近似值。(2)深入探索（幻燈片2730）。問(wèn)題二也就是說(shuō)只有當(dāng)海水深度超過(guò)5.5米時(shí)，貨船才能夠安全進(jìn)出港口，并在港口停留。它的求解如果只利用表格或圖象，只能

12、看個(gè)大概。要想得到相對(duì)精確的數(shù)值必須如書(shū)上寫(xiě)的依靠計(jì)算機(jī)或計(jì)算器通過(guò)函數(shù)解析式結(jié)合函數(shù)周期進(jìn)行數(shù)據(jù)運(yùn)算。“試試看”是問(wèn)題二的反面問(wèn)題，可以借助圖象解決，但最快的是利用表格里面的數(shù)據(jù)。問(wèn)題三貨船的安全水深由一個(gè)常量改為了變量，把它抽象為關(guān)于時(shí)刻x的一個(gè)一次函數(shù)。我們?cè)诹谐龊瘮?shù)表達(dá)式后，也采用數(shù)形結(jié)合的方法加以解決?？梢钥吹皆赑點(diǎn)之前必須將船駛向較深水域。書(shū)上結(jié)合圖象用兩頭逼近的方法非常近似地求得在6點(diǎn)半前駛向較深水域，那么如何比較精確地求得P點(diǎn)的時(shí)間值呢？書(shū)上注解說(shuō)用二分法求解，但課堂時(shí)間有限，用二分法求解會(huì)化費(fèi)太多的時(shí)間，這時(shí)我們可以用計(jì)算機(jī)excel的單變量求解功能來(lái)快速求解，以節(jié)省時(shí)間。(

13、三)回歸現(xiàn)實(shí).提出問(wèn)題考慮到問(wèn)題的實(shí)際意義，待問(wèn)題解決以后，我們要回歸現(xiàn)實(shí)提問(wèn)學(xué)生：“在貨艙的安全水深正好與港口水深相等時(shí)停止卸貨，行嗎？”。事實(shí)上這是不行的，因?yàn)檫@樣不能保證貨船有足夠的時(shí)間發(fā)動(dòng)螺旋槳。因此雖然我們得出比較精確的時(shí)間6.715,但最后我們?nèi)耘f要答“為了安全貨船最好在6點(diǎn)半之前停止卸貨，將船駛向較深水域?！币虼藭?shū)上只求近似值，未求精確解的做法是完全可行。但我們這種求精確點(diǎn)，答近似值的做法可以向?qū)W生更好地說(shuō)明建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題所得的模型是近似的并且得到的解也是近似的，這就需要根據(jù)實(shí)際背景對(duì)問(wèn)題的解進(jìn)行具體分析，得出合乎實(shí)際的回答。其實(shí)剛才的問(wèn)題二也有同樣的情況。(四) 練習(xí)反饋,提高能力在解決好上述問(wèn)題之后，如時(shí)間允許，可進(jìn)行一些練習(xí)，一則可以改編一些問(wèn)題讓學(xué)生試著解決；二則也可以讓學(xué)生就此模型再提出一些其它問(wèn)題，并加以解決。這里