初中數(shù)學(xué)動點問題解題技巧-Du

1、動點問題解題技巧以運動的觀點探究幾何圖形部分規(guī)律的問題，稱之為動態(tài)幾何問題。動態(tài)幾何問題充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的“變”與“不變”的和諧統(tǒng)一，其特點是圖形中的某些元素（點、線段、角等）或某部分幾何圖形按一定的規(guī)律運動變化，從而又引起了其它一些元素的數(shù)量、位置關(guān)系、圖形重疊部分的面積或某部分圖形等發(fā)生變化，但是圖形的一些元素數(shù)量和關(guān)系在運動變化的過程中卻互相依存，具有一定的規(guī)律可尋。所謂“動點型問題”是指題設(shè)圖形中存在一個或多個動點,它們在線段、射線或弧線上運動的一類開放性題目，注重對幾何圖形運動變化能力的考查。解決這類問題的關(guān)鍵是動中求靜,靈活運用有關(guān)數(shù)學(xué)知識解決問題. 在變化中找到不變的性質(zhì)是解決數(shù)

2、學(xué)“動點”探究題的基本思路,這也是動態(tài)幾何數(shù)學(xué)問題中最核心的數(shù)學(xué)本質(zhì)。 從變換的角度和運動變化來研究三角形、四邊形、函數(shù)圖像等圖形，通過“對稱、動點的運動”等研究手段和方法，來探索與發(fā)現(xiàn)圖形性質(zhì)及圖形變化，在解題過程中滲透空間觀念和合情推理。這些壓軸題題型繁多、題意創(chuàng)新，目的是考察學(xué)生的分析問題、解決問題的能力，內(nèi)容包括空間觀念、應(yīng)用意識、推理能力等。從數(shù)學(xué)思想的層面上講需要具備以下思想：分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、 轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)思想、方程思想。常見的動點問題1、 數(shù)軸上的動點問題數(shù)軸上的動點問題離不開數(shù)軸上兩點之間的距離。為了便于對這類問題的分析，先明確以下3個問題： 1.數(shù)軸上兩點間的距

3、離，即為這兩點所對應(yīng)的坐標(biāo)差的絕對值，也即用右邊的數(shù)減去左邊的數(shù)的差。即數(shù)軸上兩點間的距離=右邊點表示的數(shù)左邊點表示的數(shù)。 2.點在數(shù)軸上運動時，由于數(shù)軸向右的方向為正方向，因此向右運動的速度看作正速度，而向左運動的速度看作負速度。這樣在起點的基礎(chǔ)上加上點的運動路程就可以直接得到運動后點的坐標(biāo)。即一個點表示的數(shù)為a，向左運動b個單位后表示的數(shù)為ab；向右運動b個單位后所表示的數(shù)為a+b。 3數(shù)軸是數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物，分析數(shù)軸上點的運動要結(jié)合圖形進行分析，點在數(shù)軸上運動形成的路徑可看作數(shù)軸上線段的和差關(guān)系。 例1 如圖A、B、C三點在數(shù)軸上，A表示的數(shù)為-10，B表示的數(shù)為14，點C在點A與點B之間

4、，且AC=BC（1）求A、B兩點間的距離； （2）求C點對應(yīng)的數(shù)；（3）甲、乙分別從A、B兩點同時相向運動，甲的速度是1個單位長度/s，乙的速度是2個單位長度/s，求相遇點D對應(yīng)的數(shù)練習(xí)1 已知數(shù)軸上兩點A、B對應(yīng)的數(shù)分別為1，3，點P為數(shù)軸上一動點，其對應(yīng)的數(shù)為x。 若點P到點A、點B的距離相等，求點P對應(yīng)的數(shù)； 數(shù)軸上是否存在點P，使點P到點A、點B的距離之和為5？若存在，請求出x的值。若不存在，請說明理由？ 當(dāng)點P以每分鐘一個單位長度的速度從O點向左運動時，點A以每分鐘5個單位長度向左運動，點B一每分鐘20個單位長度向左運動，問它們同時出發(fā)，幾分鐘后P點到點A、點B的距離相等？ 二、求最

5、值問題利用軸對稱性質(zhì)實現(xiàn)“搬點移線”求幾何圖形中一些線段和最小值問題。利用軸對稱的性質(zhì)解決幾何圖形中的最值問題借助的主要基本定理有三個： （1）兩點之間線段最短； （2）三角形兩邊之和大于第三邊； （3）垂線段最短。 求線段和最小值問題可以歸結(jié)為：一個動點的最值問題，兩個動點的最值問題。 例2 如圖，正方形ABCD的面積為12，ABE是等邊三角形，點E在正方形內(nèi)，在對角線AC上有一動點P，使PD+PE的值最小，則其最小值是 _ . 特點：已知兩個定點位于一條直線的同一側(cè)，在直線上確定一動點的位置，使動點與兩定點線段和最小，求出最小值。思路：解決這類題目的方法是找出其中一定點關(guān)于直線的對稱點，連

6、結(jié)這個對稱點與另一定點，交直線于一點，交點即為動點滿足最值的位置。練習(xí)2 如圖，等邊ABC的邊長為4，AD是BC邊上的中線，F(xiàn)是AD邊上的動點，E是AC邊上一點，若AE=2，當(dāng)EF+CF取得最小值時，則ECF的度數(shù)為（ ）A15 B.22.5 C.30 D. 45 例3 如圖，AOB=30，內(nèi)有一點P且OP=6，若M、N為邊OA、OB上兩動點，那么PMN的周長最小為（ ）A26 B.6 C. 6/2 D. 6 特點：已知一個定點位于平面內(nèi)兩相交直線之間，分別在兩直線上確定兩個動點使線段和最小。思路：這類問題通過做這一定點關(guān)于兩條線的對稱 點，實現(xiàn)“搬點移線”，把線段“移”到同一直線上來解決。練

7、習(xí)3 如圖，已知AOB的大小為，P是AOB內(nèi)部的一個定點，且OP=2，點E、F分別是OA、OB上的動點，若PEF周長的最小值等于2，則=（ ）A30 B.45 C.60 D.90 例4 在銳角三角形ABC中，AB=4，BAC=60，BAC的平分線BC于D，M、N分別是AD與AB上動點，則BM+MN的最小值是 _ 特點：兩動點在兩條直線上，定點和其中一個動點共 線，求不共線動點分別到定點和另一動點的距 離和最小值。思路：（1）利用軸對稱變換，使不共線動點在另一動點的對稱點與定點的連線段上（兩點之間線段最短）.（2）這條線段垂直于另一動點的對稱點所在直線時，兩線段和最小，最小值等于這條垂線段的長。

8、練習(xí)4 如圖，在ABC中，C=90，CB=CA=4，A的平分線交BC于點D，若點P、Q分別是AC和AD上的動點，則CQ+PQ的最小值是_. 三、動點構(gòu)成特殊圖形問題此類問題背景是特殊圖形,考查問題也是特殊圖形,所以要把握好一般與特殊的關(guān)系;分析過程中,特別要關(guān)注圖形的特性(特殊角、特殊圖形的性質(zhì)、圖形的特殊位置).分析圖形變化過程中變量和其他量之間的關(guān)系，或是找到變化中的不變量，建立方程或函數(shù)關(guān)系解決。1 把握運動變化的形式及過程;思考運動初始狀態(tài)時幾何元素的關(guān)系，以及可求出的量。2 先確定特定圖形中動點的位置,畫出符合題意的圖形化動為靜。3 根據(jù)已知條件，將動點的移動距離以及解決問題時所需要

9、的條件用含t的代數(shù)式表示出來。4 根據(jù)所求,利用特殊圖形的性質(zhì)或相互關(guān)系，找出等量關(guān)系列出方程來解決動點問題。例5 如圖，在RtABC中，B=90，AB=5 ，C=30.點D從點C出發(fā)沿CA方向以每秒2個單位長的速度向點A勻速運動，同時點E從點A出發(fā)沿AB方向以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動，當(dāng)其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動.設(shè)點D、E運動的時間是t秒（t0）.過點D作DFBC于點F，連接DE、EF.（1）求證：AE=DF；（2）當(dāng)t為何值時，DEF為直角三角形？請說明理由. 例6 如圖，點A在Y軸上，點B在X軸上，且OA=OB=1，經(jīng)過原點O的直線L交線段AB于點C，過C作

10、OC的垂線，與直線X=1相交于點P，現(xiàn)將直線L繞O點旋轉(zhuǎn)，使交點C從A向B運動，但C點必須在第一象限內(nèi)，并記AC的長為t，分析此圖后，對下列問題作出探究：（1） 當(dāng)AOC和BCP全等時，求出t的值。 （2）通過動手測量線段OC和CP的長來判斷它們之間的大小關(guān)系？并證明你得到的結(jié)論。鞏固提升1.如圖在銳角ABC中，AB=42,BAC=45，BAC的平分線交BC于點D,M、N分別是AD、AB上的動點，則BM+MN的最小值是 _. 2.已知，數(shù)軸上點A在原點左邊，到原點的距離為8個單位長度，點B在原點的右邊，從點A走到點B，要經(jīng)過32個單位長度（1）求A、B兩點所對應(yīng)的數(shù)；（2）若點C也是數(shù)軸上的點

11、，點C到點B的距離是點C到原點的距離的3倍，求點C對應(yīng)的數(shù)；（3）已知，點M從點A向右出發(fā)，速度為每秒1個單位長度，同時點N從點B向右出發(fā)，速度為每秒2個單位長度，設(shè)線段NO的中點為P，線段PO-AM的值是否變化？若不變求其值3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A(，0)，B(3，2)，C（0，2)動點D以每秒1個單位的速度從點0出發(fā)沿OC向終點C運動，同時動點E以每秒2個單位的速度從點A出發(fā)沿AB向終點B運動過點E作EF上AB，交BC于點F，連結(jié)DA、DF設(shè)運動時間為t秒(1)求ABC的度數(shù)；(2)當(dāng)t為何值時，ABDF； 4. 如圖，ABC是邊長為6的等邊三角形，P是AC邊上一動點，由A向C運動（與A、C不重合），Q是CB延長線上一點，與點P同時以相同 的速度由B向CB延長線方向運動（Q不與B重合），過P作PEAB于E，連接PQ交AB于D （1