高等數(shù)學(xué)課后習(xí)題及參考答案第八章

1、高等數(shù)學(xué)課后習(xí)題及參考答案（第八章）習(xí)題8-1 1. 判定下列平面點(diǎn)集中哪些是開集、閉集、區(qū)域、有界集、無(wú)界集？并分別指出它們的聚點(diǎn)所成的點(diǎn)集(稱為導(dǎo)集)和邊界. (1)(x, y)|x0, y0; 解 開集, 無(wú)界集, 導(dǎo)集為R2, 邊界為 (x, y)|x=0或y=0. (2)(x, y)|1x2; 解 開集, 區(qū)域, 無(wú)界集, 導(dǎo)集為 (x, y)| yx2, 邊界為 (x, y)| y=x2. (4)(x, y)|x2+(y-1)21(x, y)|x2+(y-2)24. 解 閉集, 有界集, 導(dǎo)集與集合本身相同, 邊界為 (x, y)|x2+(y-1)2=1(x, y)|x2+(y-2

2、)2=4. 2. 已知函數(shù), 試求f(tx, ty). 解 . 3. 試證函數(shù)F(x, y)=ln xln y滿足關(guān)系式: F(xy, uv)=F(x, u)+F(x, v)+F(y, u)+F(y, v). 證明 F(xy, uv)=ln(x, y)ln(uv) =(ln x+ln y)(ln u+ln v) =ln xln u+ln xln v+ln yln u+ln yln v =F(x, u)+F(x, v)+F(y, u)+F(y, v). 4. 已知函數(shù)f(u, v, w)=uw+wu+v, 試求f(x+y, x-y, xy). 解 f(x+y, x-y, xy)=(x+y)xy+

3、(xy)(x+y)+(x-y)=(x+y)xy+(xy)2x. 5. 求下列各函數(shù)的定義域: (1)z =ln(y2-2x+1); 解 要使函數(shù)有意義, 必須 y2-2x+10, 故函數(shù)的定義域?yàn)?D=(x, y)|y2-2x+10. (2); 解 要使函數(shù)有意義, 必須 x+y0, x-y0, 故函數(shù)的定義域?yàn)?D=(x, y)|x+y0, x-y0. (3); 解 要使函數(shù)有意義, 必須 y0,即, 于是有 x0且x2y,故函數(shù)定義域?yàn)?D=(x, y)| x0, y0, x2y. (4); 解 要使函數(shù)有意義, 必須 y-x0, x0, 1-x2-y20, 故函數(shù)的定義域?yàn)?D=(x,

4、y)| y-x0, x0, x2+y2r0); 解 要使函數(shù)有意義, 必須 R2-x2-y2-z20且x2+y2+z2-r20, 故函數(shù)的定義域?yàn)?D=(x, y, z)| r20, 取d=2e, 當(dāng)時(shí)恒有 , 所以 . 10. 設(shè)F(x, y)=f(x), f(x)在x0處連續(xù), 證明: 對(duì)任意y0R, F(x, y)在(x0, y0)處連續(xù). 證明 由題設(shè)知, f(x)在x0處連續(xù), 故對(duì)于任意給定的e0, 取d0, 當(dāng)|x-x0|d時(shí), 有|f(x)-f(x0)|e. 作(x0, y0)的鄰域U(x0, y0), d), 顯然當(dāng)(x, y)U(x0, y0), d)時(shí), |x-x0|d,

5、 從而 |F(x, y)-F(x0, y0)|=|f(x)-f(x0)|0)上任何點(diǎn)處的切平面在各坐標(biāo)軸上的截距之和等于a. 證明 設(shè), 則.在曲面上任取一點(diǎn)M(x0, y0, z0), 則在點(diǎn)M處的切平面方程為 , 即 . 化為截距式, 得, 所以截距之和為 . 習(xí)題8-7 1. 求函數(shù)z=x2+y2在點(diǎn)(1, 2)處沿從點(diǎn)(1, 2)到點(diǎn)的方向的方向?qū)?shù). 解 因?yàn)閺狞c(diǎn)(1, 2)到點(diǎn)的向量為, 故 . 又因?yàn)?, , 故所求方向?qū)?shù)為 . 2. 求函數(shù)z=ln(x+y)在拋物線y2=4x上點(diǎn)(1, 2)處, 沿這拋物線在該點(diǎn)處偏向x軸正向的切線方向的方向?qū)?shù). 解 方程y2=4x兩邊對(duì)x

6、求導(dǎo)得2yy=4, 解得. 在拋物線y2=4x上點(diǎn)(1, 2)處, 切線的斜率為y(1)=1, 切向量為l=(1, 1), 單位切向量為. 又因?yàn)?, , 故所求方向?qū)?shù)為 . 3. 求函數(shù)在點(diǎn)處沿曲線在這點(diǎn)的內(nèi)法線方向的方向?qū)?shù). 解 令, 則, . 從而點(diǎn)(x, y)處的法向量為 . 在處的內(nèi)法向量為 , 單位內(nèi)法向量為 . 又因?yàn)?, , 所以 . 4. 求函數(shù)u=xy2+z3-xyz在點(diǎn)(1, 1, 2)處沿方向角為, , 的方向的方向?qū)?shù). 解 因?yàn)榉较蛳蛄繛?, 又因?yàn)?, , , 所以 . 5. 求函數(shù)u=xyz在點(diǎn)(5,1,2)處沿從點(diǎn)(5, 1, 2)到點(diǎn)(9, 4, 14)

7、的方向的方向?qū)?shù). 解 因?yàn)?l=(9-5, 4-1, 14-2)=(4, 3, 12), , 并且 , , , 所以 . 6. 求函數(shù)u=x2+y2+z2在曲線x=t, y=t2, z=t3上點(diǎn)(1, 1, 1)處, 沿曲線在該點(diǎn)的切線正方向(對(duì)應(yīng)于t增大的方向)的方向?qū)? 解 曲線x=t, y=t2, z=t3上點(diǎn)(1, 1, 1)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t=1, 在點(diǎn)(1, 1, 1)的切線正向?yàn)?, , 又 , , , 所以 . 7. 求函數(shù)u=x+y+z在球面x2+y2+z2=1上點(diǎn)(x0, y0, z0)處, 沿球面在該點(diǎn)的外法線方向的方向?qū)?shù). 解 令F(x, y, z)=x2+y2+z2-

8、1, 則球面x2+y2+z2=1在點(diǎn)(x0, y0, z0)處的外法向量為 , , 又 , 所以 . 8. 設(shè)f(x, y, z)=x2+2y2+3z2+xy+3x-2y-6z, 求grad f(0, 0, 0)及grad f(1, 1, 1). 解 , , . 因?yàn)?, , , , , , 所以 grad f(0, 0, 0)=3i-2j-6k, grad f(1, 1, 1)=6i+3j. 9. 設(shè)u, v都是 x, y, z的函數(shù), u, v的各偏導(dǎo)數(shù)都存在且連續(xù), 證明 (1) grad(u+v)=grad u+ grad v; 解 . (2) grad (uv)=vgrad u+ug

9、rad v; 解 =vgrad u +ugrad v. (3) grad (u2)=2ugrad u. 解 . 10. 問(wèn)函數(shù)u=xy2z在點(diǎn)p(1, -1, 2)處沿什么方向的方向?qū)?shù)最大? 并求此方向?qū)?shù)的最大值. 解 , . grad u(1, -1, 2)為方向?qū)?shù)最大的方向, 最大方向?qū)?shù)為 . 習(xí)題8-8 1. 求函數(shù)f(x, y)=4(x-y)-x2-y2的極值. 解 解方程組, 求得駐點(diǎn)為(2,-2). fxx=-2, fxy=0, fyy=-2, 在駐點(diǎn)(2,-2)處, 因?yàn)?fxx fyy-fxy2=(-2)(-2)-0=40, fxx=-20, 所以在點(diǎn)(2, -2)處,

10、 函數(shù)取得極大值, 極大值為f(2, -2)=8. 2. 求函數(shù)f(x, y)=(6x-x2)(4y-y2)的極值. 解 解方程組, 得駐點(diǎn)(0, 0), (0, 4), (3, 2), (6, 0), (6,4). 函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)為 fxx(x, y)=-2(4y-y2), fxy(x, y)=4(3-x)(2-y), fyy(x, y)=-2(6x-x2). 在點(diǎn)(0, 0)處, 因?yàn)?fxxfyy-fxy2=00-242=-2420, 所以f(0, 0)不是極值; 在點(diǎn)(0, 4)處, 因?yàn)?fxxfyy-fxy2=00-(-24)2=-2420, fxx=-80, 所以f(6, 0)

11、不是極值. 在點(diǎn)(6, 4)處, 因?yàn)?fxxfyy-fxy2=00-242=-2420, 所以f(6, 4)不是極值. 綜上所述, 函數(shù)只有一個(gè)極值, 這個(gè)極值是極大值f(3, 2)=36. 3. 求函數(shù)f(x, y)=e2x(x+y2+2y)的極值. 解 解方程組, 得駐點(diǎn). fxx(x, y)=4e2x(x+y 2+2y+1), fxy(x, y)=4e2x(y+1), fyy(x, y)=2e2x. 在駐點(diǎn)處, 因?yàn)?fxxfyy-fxy2=2e2e-02=4e20, fxx=2e0, 所以是函數(shù)的極小值. 4. 求函數(shù)z=xy在適合附加條件x+y=1下的極大值. 解 由x+y=1得y

12、=1-x, 代入z=xy, 則問(wèn)題化為求z=x(1-x)的無(wú)條件極值. , . 令 得駐點(diǎn). 因?yàn)? 所以為極大值點(diǎn), 極大值為. 5. 從斜邊之長(zhǎng)為l的一切直角三角形中, 求有最大周界的直角三角形. 解 設(shè)直角三角形的兩直角邊之長(zhǎng)分別為x, y, 則周長(zhǎng) S=x+y+l(0xl , 0y0, y0, z0). 本題是在條件xyz=k下, 求S的最大值. 作函數(shù) F(x, y, z)=xy+2xz+2yz+l(xyz-k). 解方程組 , 得唯一可能的極值點(diǎn). 由問(wèn)題本身可知S一定有最小值, 所以表面積最小的水池的長(zhǎng)和寬都應(yīng)為高為. 7. 在平面xOy 上求一點(diǎn), 使它到x=0, y=0及x+

13、2y-16=0三直線距離平方之和為最小. 解 設(shè)所求點(diǎn)為(x, y), 則此點(diǎn)到x=0的距離為|y|, 到y(tǒng)=0的距離為|x|, 到x+2y-16=0的距離為, 而距離平方之和為 .解方程組 , 即. 得唯一的駐點(diǎn), 根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)可知, 到三直線的距離平方之和最小的點(diǎn)一定存在, 故即為所求. 8. 將周長(zhǎng)為2p的矩形繞它的一邊旋轉(zhuǎn)而構(gòu)成一個(gè)圓柱體, 問(wèn)矩形的邊長(zhǎng)各為多少時(shí), 才可使圓柱體的體積為最大？ 解 設(shè)矩形的一邊為x, 則另一邊為(p-x), 假設(shè)矩形繞p-x旋轉(zhuǎn), 則旋轉(zhuǎn)所成圓柱體的體積為V=px2(p-x). 由, 求得唯一駐點(diǎn). 由于駐點(diǎn)唯一, 由題意又可知這種圓柱體一定有最大值

14、, 所以當(dāng)矩形的邊長(zhǎng)為和時(shí), 繞短邊旋轉(zhuǎn)所得圓柱體體積最大. 9. 求內(nèi)接于半徑為a的球且有最大體積的長(zhǎng)方體. 解 設(shè)球面方程為x2+y2+z2=a2, (x, y, z)是它的各面平行于坐標(biāo)面的內(nèi)接長(zhǎng)方體在第一卦限內(nèi)的一個(gè)頂點(diǎn), 則此長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為2x, 2y, 2z, 體積為 V=2x2y2z=8xyz. 令 F(x, y, z)=8xyz+l(x2+y2+z2-a2) . 解方程組 , 即, 得唯一駐點(diǎn). 由題意可知這種長(zhǎng)方體必有最大體積, 所以當(dāng)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高都為時(shí)其體積最大. 10. 拋物面z=x2+y2被平面x+y+z=1截成一橢圓, 求原點(diǎn)到這橢圓的最長(zhǎng)與最短距離. 解

15、 設(shè)橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)(x, y, z), 則原點(diǎn)到橢圓上這一點(diǎn)的距離平方為d2=x2+y2+z2, 其中x, y, z要同時(shí)滿足z=x2+y2和x+y+z=1. 令 F(x, y, z)=x2+y2+z2+l1(z-x2-y2)+l2(x+y+z-1). 解方程組 , 得駐點(diǎn), . 它們是可能的兩個(gè)極值點(diǎn), 由題意這種距離的最大值和最小值一定存在, 所以距離的最大值和最小值在兩點(diǎn)處取得, 因?yàn)樵隈v點(diǎn)處 , 所以為最長(zhǎng)距離;為最短距離. 總習(xí)題八 1. 在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中選擇一個(gè)正確的填入下列空格內(nèi): (1)f(x, y)在(x, y)可微分是f(x, y)在該點(diǎn)連續(xù)的_條件

16、, f(x, y)在點(diǎn)連續(xù)是f(x, y)在該點(diǎn)可微分的_條件. 解 充分; 必要. (2)z=f(x, y)在點(diǎn)(x, y)的偏導(dǎo)數(shù)及存在是f(x, y)在該點(diǎn)可微分的_條件, z= f(x, y)在點(diǎn)(x, y)可微分是函數(shù)在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)及存在的_條件. 解 必要; 充分. (3)z=f(x, y)的偏導(dǎo)數(shù)及在(x, y)存在且連續(xù)是f(x, y)在該點(diǎn)可微分的_條件. 解 充分. (4)函數(shù)z=f(x, y)的兩個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)及在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)是這兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)在D內(nèi)相等的_條件. 解 充分. 2. 選擇下述題中給出的四個(gè)結(jié)論中一個(gè)正確的結(jié)論: 設(shè)函數(shù)f(x, y)在點(diǎn)(0, 0)的某鄰

17、域內(nèi)有定義, 且f x(0, 0)=3, f y(0, 0)=-1, 則有_. (A)dz|(0, 0)=3dx-dy . (B)曲面z=f(x, y)在點(diǎn)(0, 0, f(0, 0)的一個(gè)法向量為(3, -1, 1). (C)曲線在點(diǎn)(0, 0, f(0, 0)的一個(gè)切向量為(1, 0, 3). (D)曲線在點(diǎn)(0, 0, f(0, 0)的一個(gè)切向量為(3, 0, 1). 解 (C). 3. 求函數(shù)的定義域, 并求. 解 函數(shù)的定義域?yàn)?x, y )| 0x2+y21, y 24x 因?yàn)? 故由初等函數(shù)在定義域內(nèi)的連續(xù)性有 . 4. 證明極限不存在. 解 因?yàn)? , 所以不存在. 5. 設(shè),

18、 求f x(x, y), f y(x, y). 解 當(dāng)x2+y20時(shí) , . 當(dāng)x2+y2=0時(shí) , . 因此 , . 6. 求下列函數(shù)的一階和二階偏導(dǎo)數(shù): (1)z=ln(x+y2); 解 , , , , (2)z=xy. 解 , , , , . 7. 求函數(shù)當(dāng)x=2, y=1, Dx=0.001, Dy=0.03時(shí)的全增量和全微分. 解 . 因?yàn)? , , , 所以 . 8. 設(shè), 證明f(x, y)在點(diǎn)(0, 0)處連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在, 但不可微分. 證明 因?yàn)? 且, 所以, 即f(x, y)在點(diǎn)(0, 0)處連續(xù). 因?yàn)? , 所以f(x, y)在點(diǎn)(0, 0)處的偏導(dǎo)數(shù)存在. 因?yàn)? , 所以f(x, y)在點(diǎn)(0, 0)處不可微分. 9. 設(shè)u=x y, 而x=j(t), y=y(t)都是可微函數(shù), 求. 解 . 10. 設(shè)z=f(u, v, w)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 而u=h-x , v=z-x , w=x-h, 求, , . 解 , , . 11. 設(shè)z=f(u, x, y), u=xey, 其中f具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù), 求. 解 , . 12. 設(shè)x=eu cos v, y=eu sin v, z=uv, 試求和.