吉林大學_陳殿友線性代數(shù)全集.ppt

1、線性代數(shù),（第三版） 同濟大學數(shù)學教研室 編,課程的性質(zhì),線性代數(shù)是數(shù)學的一個分支，是數(shù)學的基礎理論課之一。它既是學習數(shù)學的必修課，也是學習其他專業(yè)課的必修課。,內(nèi)容與任務,線性代數(shù)是研究有限維線性空間及其線性變換的基本理論，包括行列式、矩陣及矩陣的初等變換、線性方程組、向量組的線性相關性、相似矩陣及二次型等內(nèi)容。 既有一定的理論推導、又有大量的繁雜運算。有利于培養(yǎng)學生邏輯思維能力、分析問題和動手解決問題的能力。,用途與特點,線性代數(shù)理論不僅為學習后續(xù)課程奠定必要的數(shù)學基礎，而且在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)如國防技術中有著廣泛的應用，是理工科大學生的一門重要的數(shù)學基礎課。該課程的特點是：公式多，式子大，符號繁

2、，但規(guī)律性強，課程內(nèi)容比較抽象，需要學生具備一定的抽象思維能力，邏輯推理能力，分析問題能力和動手解決實際問題的能力。,第一章行列式,本章主要介紹n階行列式的定義， 性質(zhì)及其計算方法。此外還要介紹用 n階行列式求解n元線性方程組的克拉 默（Cramer）法則。,1 階行列式的定義,1、二元線性方程組,一、n階行列式的引出,用消元法求解，得：,當 時， 求得方程組有唯一解：,引入二階行列式,方程組的解可以寫成：,二階行列式的計算,例如,例 解二元線性方程組,求解方程,2. 三元線性方程組,用消元法可求得，當,時，,三元線性方程組有唯一解：,其中：,三階行列式的定義,例如 三階行列式的計算,-357

3、-249-168,例 解 三元線性方程組,3. n元線性方程組,構造：,提出三個問題,（1）D=？（怎么算）？,（2）當D0時，方程組是否有唯一解？,（3）若D0 時，方程組有唯一解，解的 形式是否是,二、全排列及其逆序數(shù),1、全排列 用1，2，3三個數(shù)字可以排6個不重復三位數(shù)即： 123，231，312，132，213，321,一般地，把n個不同的元素排成一列，共有幾種不同的排法？ 這是一個全排列問題。從n個元素中任取一個放在第一個位置上，有n種取法； 在從剩下的n-1個元素中任取一個元素，放在的第二個位置上有n-1種取法;依此類推，直到最后剩下一個元素放在最后位置上，只有一種取法； 于是：

4、,2. 逆序數(shù),對于n個不同的元素，可規(guī)定各元素之間有一個標準次序（例如，n個不同的自然數(shù)，規(guī)定由小到大為標準次序）。于是，在這n個元素的任意排列中，當某兩個元素的前后次序與標準次序不同時，就說產(chǎn)生了一個逆序，一個排列中所有逆序的和叫做這個排列的逆序數(shù)。逆序數(shù)是奇數(shù)的排列叫做奇排列，逆序數(shù)是偶數(shù)的排列叫做偶排列。,3. 逆序數(shù)的計算方法,例如，設排列3 2 5 1 4,其逆序數(shù)為： t=1+3+0+1+0=5 當我們把上面排列改為 3 1 5 2 4，相當于把3 2 5 1 4 這個排列的第2、4兩個數(shù)碼對換（將一個排列中任意兩個元素對調(diào)，其余的元素不動，這種作出新排列的手續(xù)叫做對換）。通過計

5、算可知 3 1 5 2 4 的逆序數(shù)為 t=1+2+0+1+0=4 可見排列 3 2 5 1 4 為奇排列，而 3 1 5 2 4 為偶排列，可見一個排列中的任意兩個元素對換，排列改變奇偶性。,定義1 設有n2個數(shù)，排成n行n列的數(shù)表,三、n階行列式的定義,作出表中位于不同行不同列的n個數(shù)的 乘積，并冠以符號(-1)t，得到形如 的項，其中 為自然數(shù)1，2，n， 的一個排列，t 為這個排列的逆序數(shù)。,這樣的排列共有n!個，所有這些項的代數(shù) 和稱為n階行列式。記為:,也可記為:,行列式的其他定義,另一種定義形式為:,同理，也可以定義為:,四、幾種特殊的行列式,（1） 對角行列式,（2） 下（上）

6、三角行列式,（3）,其中 ，,第二講,2.行列式的性質(zhì) 有了n階行列式的定義，我們就可以計算n階行列式，在計算幾種特殊行列式的過程中，發(fā)現(xiàn)直接用定義計算是非常麻煩。 當行列式的階數(shù)較高時，計算是十分困難的，為了簡化n階行列式的計算，我們這一節(jié)主要研究行列式的性質(zhì)。,一. 轉(zhuǎn)置行列式,把行列式的行換成同序數(shù)的列而得到的行列式稱為原行列式的轉(zhuǎn)置行列式。即,稱DT為D的轉(zhuǎn)置行列式,二行列式的性質(zhì),性質(zhì)1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等. 證 設,由此性質(zhì)可知，行列式的行與列具有相同的地位，行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立，反之亦然。,性質(zhì)2 互換行列式的兩行（列），行列式變號。,證設行列式,于是

7、,推論 如果行列式有兩行（列）完全相同,則此行列式等于零. 證 把這兩行互換，有 D=D，故 D=0.,證 設 D=,性質(zhì)3 行列式的某一行（列）中所有的 元素都乘以同一數(shù)，等于用數(shù)乘此行列式。,故,推論 行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式的外面. 例如,性質(zhì)4 行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式等于零. 例如,性質(zhì)5 若行列式的某一列（行）的元素 都是兩數(shù)之和，則D 等于下列兩個行列式之 和：即,例如 計算,例如,性質(zhì)6 把行列式的某一列（行）的 各元素乘以同一個數(shù)然后加另一列（行） 對應的元素上去，行列式不變.,三、用行列式的性質(zhì)計算行列式,例1 計算,例2.

8、計算,解：,例3 計算,解： 從倒數(shù)的二行開始，把前一行的（-1）倍加到后一行上去。,同理，可得：,例4 計算,解：把所有列都加到第一列上去，然后，從第一列提取公因子，再把第二、三、四行都減去第一行。,3 行列式按行（列）展開,余子式和代數(shù)余子式 在n階行列式中，把元素 所在第i行和第j列劃去后，留下來的n1階行列式叫做元素 的余子式.記作 .即 的余子式記作 . 的代數(shù)余子式,第三講,中元素 的余子式和代數(shù)余子式分別為,二.行列式按行（列）展開定理,引理 設D為n階行列式，如果D的第i行所有 元素除 外，其余元素均為零，那么行列式D等 于 與其代數(shù)余子式的乘積，即,證：設,定理1 行列式等于

9、它的任一 行（列）的各元素與其對 應的代數(shù)余子式乘積之和,即,證：,類似地.若按列證明，可得,例1.計算,例2 計算,解: 按第一行展開,以此作遞推公式，即可得,例3 證明范蒙得（Vandermonde）行列式,其中記號“”表示全體同類因子的乘積.,所以當n=2時（1）成立. 現(xiàn)在假設（1）對于n1階Vandermonde行列式，即,證: 用數(shù)學歸納法.因為,我們來證明對n階Vandermonde行列式也成立.,例4.計算,三、行列式展開定理的推論,推論 行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對應元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零.即,或,證: 設,把D按第j行展開,有,在上式兩端用 代替,得,

10、同理可證,顯然,等式左端行列式有兩行相同,故行列式等于零,即.,綜合定理1和推論有,其中,例5已知行列式 求 , 其中 是D 的第4行元素的代數(shù)余子式. 解：,第一章 第四節(jié),4.克拉默法則 一.非齊次線性方程組的克拉默法則,(1),設非齊次線性方程組,(3),則線性方程組(1)有唯一解,若(1)的系數(shù)行列式,(2),即證明：,等式成立,證明： 先證 是（1）的解，,要證 是（1）的解，只須證 明（3）滿足（1）即可，為此把（1）改寫成：,做n+1階行列式,顯然 . 把 按第一行展開.需要求出第一行 每個元素的代數(shù)余子式.第一行元素 的代數(shù)余子式為:,所以,即,再證唯一性.假設 也是(1)的解

11、.在(2)兩端同時乘以,由于 , 所以,故線性方程組(1)有唯一解(3).,例1.解方程組,解:,定理2.如果線性方程組（1）的系數(shù)行列式D不等于0, 則(1)有唯一的解.,定理 .如果線性方程組(1)無解或有多個解，則它的 系數(shù)行列式必為0.,于是得原方程組的解為,二.齊次線性方程組的克拉默法則,設齊次線性方程組,(4),若(4)的系數(shù)行列式,(5),則(4)沒有非零解.,. 定理 .如果齊次線性方程組(4) 有非零解,則它的系數(shù)行列式必為0。,定理3.如果齊次線性方程組(4) 的系數(shù)行列式D不等于0,則齊次線性 方程組(4)沒有非零解.,例2. 問 在什么條件下,方程組,有非零解？,解：由

12、定理 知，若方程組 有非零解，則其系數(shù)行列式必為零。,所以，當 或 時，上面方程組有非零解。,例3 設非齊次線性方程組,問 為何值時，該方程組有唯一解，并求其解。,解：方程組的系數(shù)行列式為,（ +2）,顯然當 2， 1時，方程組有唯一解。,D=,行列式主要知識點網(wǎng)絡圖,概念,排列,行列式,逆序，奇排列，偶排列,一般項是不同行不同列元素乘積的代數(shù)和., 互換行列式的兩行(列)，行列式變號。 某行有公因子可以提到行列式的外面。 若行列式中某一行(列)的所有元素均為兩元素之和，則 該行列式可拆成兩個行列式. 某行(列)的k倍加到另一行(列)，行列式不變。,行列式知識點,性質(zhì),展開,計算,行展開,列展

13、開,定義法 遞推法 加邊法 數(shù)學歸納法 公式法 拆項法 乘積法 析因子法,齊次線性方程組有非零解的充要條件,克拉默法則,應用,第二章 矩陣及其運算,1 矩陣,一、矩陣概念,定義1.,為表示它是一個整體 , 在這數(shù) 表的兩邊用大圓括 弧把它范圍起來， 并用大寫黑體字母表示:,例1.某廠向三個商店發(fā)送四種 產(chǎn)品，其發(fā)送的數(shù)量和單價及單件 的重量都可用矩陣來刻劃.,若用 表示為工廠向第 i 店發(fā) 送第 j 種產(chǎn)品數(shù)量，則矩陣,表示了工廠向三個商店發(fā)送四種產(chǎn)品的數(shù)量.,表示了這四種產(chǎn)品的單價及單件重量.,4,2,1,3,例2. 四個城市間的單向 航線如下圖所示.,若令 從i市到j市有一條單向航線 從

14、i 市到 j 市沒有單向航線 則圖中的航線用矩陣表示為,例3.,二、矩陣的表示方法,三.幾種特殊的矩陣,1.方陣,2.上三角矩陣,3.下三角矩陣,4.對角矩陣,5.單位矩陣,6.行矩陣,7.列矩陣,8.零矩陣,9.負矩陣,10.同型矩陣,兩個矩陣的行數(shù)和列數(shù)分別相同的矩陣稱為同型矩陣.,11.對稱矩陣,12.反對稱矩陣,2.矩陣的運算,一、矩陣的加法,1、定義,定義2 設有兩個mn矩陣 A B 那末矩陣 A 與 B 的和記作 A + B , 規(guī)定為,A + B =,矩陣的 減法：A B = A + (B ),2、運算律,矩陣的加法滿足下列運算規(guī)律設 A、B、C 都是 mn 矩陣:,1） A +

15、 B = B + A,2）（A + B）+ C = A +（ B + C ）,3） A +（A）= A A = 0,二、數(shù)與矩陣相乘,1、定義,定義3 數(shù) 與矩陣的乘積,記作 A 或A,規(guī)定為,A = A =,2、運算律,數(shù)乘矩陣滿足下列運算規(guī)律 設 A、B 為 mn 矩陣，、為數(shù)：,2） （ ) A = A + A；,1） （）A = ( A ),3） ( A + B ) = A + B,這樣定義矩陣加法和數(shù)乘矩陣的運算，統(tǒng)稱為 矩陣的線性運算.,三、矩陣與矩陣相乘,1、定義,定義4 設 A =（aij)ms , B = ( bij )sn 矩陣， 那末規(guī)定矩陣 A與矩 B 的乘積是一個mn

16、矩陣 C = ( c ij )mn 。其中,即 A B = C.,注意：,例1.求矩陣,A =,B =,與,的乘積AB,C AB,解：,例2. 設矩陣,A =,B =,求AB與BA。,AB =,解：,BA=,2. 運算律,1) 矩陣的乘法一般不 滿足交換律,2) （AB）C = A（BC）,3) (AB) = (A) B = A( B), ( 其中為數(shù) );,4) A ( B + C ) = AB + AC ( B + C ) A = BA + CA,3. 設E為單位矩陣,EA = AE = A,或簡寫成,4、方陣的冪運算,設 A為 n 階方陣. k , l 為正整數(shù),如,AB,其中 是向第

17、i 店所發(fā)產(chǎn)品的總值 , 是向第 i 店所發(fā)產(chǎn)品的總重量。C 表示為向三個商店所發(fā)產(chǎn)品的總值及總重量所構成的矩陣。,則 A2 表示從 i 市經(jīng)一次中轉(zhuǎn)到 j 市的單向航線的條數(shù)構成的矩陣。,又如,1,2,4,3,四、矩陣的轉(zhuǎn)置,1、定義,定義5 把矩陣 A 的行換成同序數(shù)的列得到的矩陣, 叫做 A 的轉(zhuǎn)置矩陣,記作 AT。,例如,2.運算律,這里僅證明4）,設 A = ( aij )ms , B = ( bij )sn 。,AB = C = ( cij )mn ， BTAT = D = ( dij )nm。,顯然，要證明（ AB )T = BTAT, 只須證明 cji = dij 即可。,因為

18、,例3.已知,求 ( AB )T。,解法1：因為,AB =,解法2：,有了轉(zhuǎn)置矩陣的定義 后，顯然有,A為對稱矩陣， A為反對稱矩陣，,例4 試證任意n階方陣都可分解為 一個對稱矩陣和一個反對稱矩陣之和。,證 由于,A = (A + A + ATAT ),= (A + AT + AAT ),故A等于對稱矩陣 與反對稱矩陣 之和。,例5：設列矩陣,X =,滿足XTX = 1，E為 n 階的單位矩陣，H = E 2XXT, 證明 H 是對稱矩陣，且 HHT = E 。,證明:,所以H是對稱矩陣.,五、方陣的 行列式,1、定義,定義6 由n階方陣A的元素所構成的行列式 （各元素的位置不變），稱為方陣

19、A的行列式， 記作 |A| 或 detA 。,2、運算律,我們僅證明3），設A = (aij), B = (bij)。 記 2n 階行列式,D =,顯然，D = |A|B| ,而在 D 中以 b1j 乘第 1 列，b2j 乘第 2 列 ， ， bnj 乘第 n 列 , 都加到第 n + j 列上 （ j = 1 , 2 , , n ) , 有,D=,其中 C = ( cil ) , cij = ai1b1j+ai2b2j+ainbnj , 故 C = AB。,再對 D 的行作 rj rn+j （j = 1, 2, , n ），有,從而有,D = ( 1 )n|E|C| = ( 1 )n( 1

20、)n| C | = | C | = | AB |。,于是 | AB | = | A | | B |,例6：設A , B 均為 n 階方陣,且,證,例7 設 A 是 n 階反對稱矩陣， B 是 n 階對稱矩陣，則 AB + BA 是 n 階反對稱矩陣。,證 ( AB + BA )T = (AB)T + (BA)T,= BTAT + ATBT,= BAAB,= （ AB + BA ）,所以， AB + BA 為 n 階反對稱矩陣。,例 8 設,令 A = T, 求 An 及| An|。,解,An = ( T )n = TTT T,= 3n-1A,| An | = | 3n-1A | = (3n-1

21、)n| A |,= 0,六、共軛矩陣,1、定義,定義7 設A= 為復矩陣， 表示 的共軛復數(shù)，記,則 稱為A的共軛矩陣。,2.運算律,設 A 、B 為復矩陣， 為復數(shù).,七、 可換矩陣及方陣多項式,1、可換矩陣,設 A、B 均為n階方陣，若 AB = BA ，則稱是可換的。,例 9 設,若矩陣 A與 B 可交換，求 a ,b 的值 。,解 由于 AB = BA ，即,故 a = 8 , b = 6 。,例10 設,求與 A 可交換的所有矩陣。,解 設,于是,從而 x2 = 2x2 , x3 = 3x3 , 2y1 = y1 , 2y3 = 3y3 , 3z1 = z1 , 3z2 = 2z2

22、,即 x2 = x3 = y1 = y3 = z1 = z2= 0 ,所以，與可交換的任一矩陣是,其中 a ，b，c 為任意實數(shù)。,2、方陣多項式,設有 n 階矩陣 A 和多項式 f ( ) = amm + am-1m-1 + + a1 + a0 規(guī)定 f ( A ) = am Am + am-1 Am-1 + + a1A + a0 稱 f ( A ) 為方陣 A 的矩陣多項式。,例11 設有多項式 f () = 2 3 + 2和矩陣,求矩陣多項式 f (A) 。,解 因為,則,f (A) = A2 3A + 2E,練習：,1.計算下列矩陣的乘積.,2.,第七講,3.逆矩陣,一.逆矩陣,定義8

23、. 設 A 為 n 階方陣，如果有一個 n 階方陣 B，使 AB = BA = E, 則稱矩陣 A 是可逆的，并把矩陣 B 稱為 A 的逆矩陣.A的 逆記之為A-1.,二. 逆矩陣是唯一的.,證明：設 B 和 C 都是 A 的逆矩陣，則 B = BE = B (AC ) = ( BA ) C = EC = C,所以A的逆矩陣是唯一的.,三. 逆矩陣的有關定理,定理1. 方陣 A 可逆的充分必要條件是 |A| 0 ,且,其中,稱為 A 的伴隨矩陣. A*中元素是A 的所有元素的代數(shù)余子式.,證明：,必要性: 因為A可逆， 則有 ,使,充分性: 由于,同理,所以,因為,所以,由定義，知,推論：若

24、AB = E (或 BA = E），,證明：,故,因而,存在，于是,運算律,1）若A可逆，則 亦可逆，且,2）若A可逆，數(shù) ，則A可逆，且,3）若 A,B 為同階的可逆矩陣，則 AB 也可逆，且,證明：,由推論，即有,( AB )( B-1A-1 ) = A( BB-1 ) A-1,4) 若A可逆，則 也可逆，,證明：,所以,注1：當 |A| 0 時，k為正 整數(shù)，為整數(shù)，有,A為可逆矩陣，也稱為非奇異矩陣，,A為不可逆矩陣，也稱為奇異矩陣.,4 ) ( A ) = A,四. 逆矩陣的應用,例1. 解矩陣方程,解：設,則上式變成:,AXB = C,例2. 設,求（ E + B ）1,解: 由,

25、即 ( E + A )( E + B ) = 2E,例3. 設 A，B 均為 n 階方矩 陣， 若 EAB 可逆，則 EBA 也可 逆，并求:,證明：AABA = AABA ( EAB ) A= A( EBA ) 所以,又因為,E = E BA + BA,所以 EBA 可逆,且,= E B ( E AB )-1A ( E BA ),五、幾個常用的公式,1) AA* = A*A = |A|E 2) A* = |A|A-1 3) |A-1| = |A|-1 |A| = n|A| 5) (A)-1 = -1A-1,例4 若 |A| 0, 試證（1） |A*| =|A|n-1;（2）(A*)-1= (

26、A-1)* (3) (A*)T = (AT )*;（4）(A*)* = |A|n-2A;（5）(kA)* = kn-1A*。,證 （1） |A*| =,(2) (A*)-1=,(3) (A*)T =,|A|A-1| =,|A|n|A-1| =,|A|n-1;,(|A|A-1)-1 =,|A-1|(A-1)-1 =,(A-1)*;,( |A|A-1)T =,|AT|(A-1)T =,|AT|(AT)-1 =,(AT )*,(A*)* =,|A*|(A*)-1,= |A|n-1(|A|A-1)-1,= |A|n-2A,(5) (kA)* = |kA|(kA)-1,= kn|A|k-1A-1,= k

27、n-1|A|A-1,= kn-1A*,例5 設矩陣 A、B 滿足,A*BA = 2BA 8E, 其中,求B。,解 由于|A|0，所以A可逆，在,A*BA = 2BA 8E,的兩邊分別左乘A，右乘A-1得,|A|B = 2AB 8E,即 2AB + 2B 8E,從而有,AB + B 4E,故,B = 4 ( A + E )-1,作業(yè):,1.解矩陣方程,2.設方陣A滿足,證明 A 及 A + 2E 都可逆,并求 A-1 及 ( A +2E )-1,3.設,AB = A + 2B ,求 B.,4.分塊矩陣,第 八 講,一、分塊矩陣的定義,把一個階數(shù)較高的矩陣,用若干條橫線和豎線分成 若干小塊 , 每

28、一小塊都叫做矩陣的子塊 ,以子塊為元素 的矩陣稱為分塊矩陣.,例如：將34矩陣,分塊形式如下：,二、分塊矩陣的運算 1、分塊矩陣的加法： 同型矩陣,分法相同,對應 子塊相加. 設 A 和 B 均為 mn矩陣,分法下:,其運算律與矩陣的加法相同.,2.分塊矩陣的數(shù)乘,設分塊矩陣,為數(shù)，那末,其運算律與數(shù)乘矩陣相同.,3.分塊矩陣的乘法.,設A為 ml 矩陣，B為 ln矩陣，分塊成,其中,例1.設,求AB.,解：把A,B分塊成,所以,AB,其中,于是,4.分塊矩陣的轉(zhuǎn)置,設分塊矩陣,則,5.分塊對角矩陣（準對角矩陣）.,設,其中,顯然,若,則, 所以,例2. 設,解：,所以,例3 設 A 的伴隨矩

29、陣,且ABA-1 = BA-1 + 3E, 求矩陣B。,解 由 | A* | = |A|n-1, 有|A|3= 8 , 得 |A| = 2。在 ABA-1 = BA-1 + 3E 的兩邊左乘 A*，右乘 A 得,2B = A*B + 6E,即 ( 2E A* )B = 6E,B = 6 (2EA* )-1,由于 2EA* ,(2EA*)-1 =,所以,故,因此,6.分塊矩陣的應用,設A為mn矩陣，將A按行分塊，得,其中,是A的第 i 行.,將A按列分塊,得,A =（ 1， 2， n ）.,其中 j ( j = 1, 2, ,n ).,是 A 的第 j 列.,對于線性方程組,A =,X =,b

30、=,B =,記,其中 A 稱為系數(shù)矩陣, x 稱為 未知向量 , b 稱為常數(shù)項向量 , B 稱為增廣矩陣, 記為:,利用矩陣的乘法,此方程可記為:,Ax = b,或 B = ( A,b ) = ( 1, 2, , n , b ),按行分塊矩陣, Ax = b又可寫成:,即 i Tx = bi ( i = 1, 2, , m ) .,按列分塊矩陣, Ax = b又可寫成,即 x11+ x2 2 + + xn n = b,概念,特殊矩陣,mn個數(shù)aij (i = 1,2,m ; j =1,2,n),構成的數(shù)表,單位距陣:主對角線元素都是1,其余元素都是零的n階方陣,對角矩陣:主對角元素是 其余元

31、素都是零的n階方陣,對稱矩陣:,距陣主要知識網(wǎng)絡圖,AT = A,反對稱矩陣: AT = A,矩陣,運算,A+B = ( aij + bij),kA= ( kaij ),AB = C 其中,A與B同型,的第i行是A的第i列.,|A|= detA,A必須是方陣.,伴隨矩陣,n 階行列式的 |A|所有元素的代數(shù)余子式構成的矩陣,AT: AT,逆矩陣,概念,求法,證法,如果AB=BA=E,則A可逆， B是A的逆矩陣.,用定義,用伴隨矩陣,分塊對角矩陣,|A| 0 , A可逆 .,|A| = 0 , A不可逆 .,AB = E , A與B互逆,反證法,作業(yè) 1.利用逆矩陣解線性方程組:,2.設,3.設

32、n階矩陣A和s階矩陣B都可逆,求,第三章 矩陣的初等變換與線性方程組,1 矩陣的初等變換,一.引例,求解線性方程組,(1), ,(1),1,2,3,(2),(2),(3),3,2,1,3,1,4,+,2,+,+,3, , ,2,(3),2,1/2,3,+,5,2,4,3,2,(4),(4),3,4,2,3,+,4,（5）, , ,于是得,其中 x3可任意取值，或令x3 = c 這里c為任意常數(shù).則方程組可記為：,x =,x =,即,把上面方法加以數(shù)學抽象,B =（A b) =,稱為方程組（1）的增廣矩陣.,把方程組的上述三種同解變換移植到矩陣 上，就得到矩陣的三種初等變換.,二.矩陣的初等變換

33、,定義1 下面三種變換稱為矩陣的初等變換:,(1) 對調(diào)矩陣的兩行(列);,(2) 以數(shù)k0乘矩陣某一行(列)中的所有元素;,(3) 把矩陣的某一行(列）所有元素的k倍加到 另一行(列）對應的元素上去;, 矩陣初等行變換與初等列變換,統(tǒng)稱為初等變換.,顯然,三種初等變換都是可逆的,且其逆變換是同一類型的初等變換:,(1) 對換變換 的逆變換就是其本身;,(2) 倍乘變換 的逆變換為 ;,(3) 倍加變換 的逆變換為 ;, 如果矩陣A經(jīng)過有限次初等變換變成矩陣B,就稱矩陣A與B等價,記作AB., 矩陣之間的等價關系具有下列性質(zhì)：,（1）反身性 AA,（2）對稱性 若AB，則BA；,（3）傳遞性

34、若AB，BC，則AC., 兩個線性方程組同解，就稱這兩個線性方程組等價。,三.矩陣初等變換的應用,例1. 解線性方程組,解 對方程組的增廣矩陣B施以行初等變換,從而得等價的方程組,取 為自由未知量,并令 , 即得,x,其中c為任意常數(shù)。,1) 行階梯形矩陣：,2) 行最簡形矩陣：, 一個矩陣的行最簡形矩陣是唯一的.要解線性方程組,只須把增廣矩陣化為行最簡形矩陣.,3) 矩陣的標準形,對于任何 mn 矩陣 A , 總可經(jīng)過初等變換把它化為標準形.,此標準形由 m、n、r 三個數(shù)完全確定 , 其中 r 就是行階梯形矩陣中非零行的行數(shù).所有與A等價的矩陣組成的集合,稱為一個等價類,標準形F是這個等價

35、類中形狀最簡單的矩陣.,例2 設,求A的標準形。,解:, 任何的可逆矩陣都等價于同階數(shù) 的單位陣.,練習,把下列矩陣化為行最簡形矩陣:,2 矩陣的秩,定義2 在mn矩陣A中,任取k行與k列（km， k n），位于這些行和列交叉處的k2個元素,不改 變它們在A中所處的位置次序而得到的k階行列式， 稱為矩陣A的k階子式。 mn矩陣A 的k行與k列子式共有 個。,一、矩陣秩的定義,例如,注意：在A中存在1階和2階的非零子式，但3階和4階子式全部為零。,定義3 設在矩陣A中有一個不等于0的 r 階子 式 ，且所有r+1階子式（如果存在的話） 全等于零，那么 稱為矩陣 A 的最高階非零子式. 數(shù) r 稱

36、為矩陣 A 的秩，記作 。,注意 顯然有,特別的規(guī)定,例1 求下列矩陣的秩,解 在A中，容易看出：一個2階子式 ， A的3階子式只有一個|A| ，經(jīng)計算可知 ,因此 （）.,解是一個階梯形矩陣，其非零行有行，故可知的所有階子式全為零。而以三個非零行的第一個非零元素為對角元的階行列式,因此（B）,二、矩陣秩的相關定理,定理若，則（）（） 證明先證明：若經(jīng)過一次初等行變換變?yōu)?，則（）（） 設（），且的某個 階子式,當或 ，在 中總能找到與 相,對應的,由于,或,或,因此 ，,從而（）,當,，分三種情況討論：,中不含有第 i行; 中同時含有第 i行和第 j 行; 中含有第 i行，但不含有第 j 行.

37、 對和 兩種情況，顯然 中與對應的子 式，故（）；,對于，由,若 ,則因,中不含有第 i行，可知中,有不含第 i行的階非零子式，從而（）；若,則 ，,故也有（B）.,以上證明了若經(jīng)過一次初等行變換為， 則（）（），由于亦可經(jīng)過一次初等行變換變?yōu)楣室灿校ǎǎ┮虼耍ǎǎ?經(jīng)過一次初等行變換矩陣的秩不變，故經(jīng)過有限次初等行變換時，矩陣的秩依然不變。,同理可證：經(jīng)過有限次初等列變換，變成矩陣，則有（）（）,總之，若經(jīng)過有限次初等變換變?yōu)榫仃嚕瑒t有（）（）,如在例1中，我們已經(jīng)計算,的秩為2，將A施行初等變換得,顯然，R(B) = 2 , 故 R(A) = R(B) 。,通過上面定理的證明和上面秩

38、的計算，以后求矩陣的 秩，只需將矩陣用初等變換變成階梯形矩陣即可。,三、求秩,例設,求矩陣的秩并求的一個最高階的非零子式.,解 先求的秩。故對作初等行變換，變成行階梯形矩陣：,因為階梯形矩陣有3個非零行，所以 R(B) = 3。從而 R(A) = 3。,A的一個最高階非零子式為：,設A為n階可逆矩陣，則|A|0,從而R(A) = n，稱A為滿 秩矩陣。,若A為n階不可逆矩陣，則|A|0,從而R(A) n，稱A為 降秩矩陣。,例3 設,求矩陣A及矩陣B=（A | b）的秩。,解,因此，R(A) = 2 , R(B) = 3.,例4 設,若秩R(AB+B) = 2 ，求a 。,解 因為,AB +

39、B = (A + E)B,將所得的矩陣施以初等變換得,由于R(AB+B) = 2，所以12a 0。,故,a =12。,復習,1、初等變換,2、用初等變換求矩陣的秩,設,求R(A)和R(Ab)。,3 線性方程組的解,一、線性方程組解的存在性-,定理2 n元齊次線性方程組 Amnx = 0有非零解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩 R(A) n.,證明：先證必要條件設方程組x有非零解。（用反證法）假設（）n，則在中應有一個 n 階非零子式n，從而n所對應的 n個方程只有零解（根據(jù)ramer法則）。這與方程組有非零解相矛盾。因此（）n不能成立。故有（）n,再證充分性。設（）rn，則的行階梯 形矩陣只含有r

40、個非零行，從而知：其有nr個自由未 知量。任取一個自由未知量為 1 ，其余的未知量都為 零，即可得到方程組的一個非零解。,定理n元非齊次方程組x有解的充分 必要條件是系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣(,) 的秩。,證明 必要性。設方程組x有解，要證 R(A) = R(B)。（反證法）設R(A) R(B), 則 B的行階 梯形矩陣中最后一個非零行對應矛盾方程 0 = 1，這 與方程組有解矛盾。因此R(A) = R(B)。,充分性。證明方程組有解。設R(A) = R(B) = r (rn) ,把B化為行階梯形矩陣，則 B 的行階梯形矩陣中含 r 個非零行。把這 r個非零行的第一個非零元素所對應的未知量作為

41、非自由的未知量，其余 n r 個作為自由未知量，并令 n r 個自由未知量全取零。即可得方程組的一個解。,注意：1）當 R(A) = R(B) = n 時，方程組沒有自由未知量，故只有唯一解。 2）當 R(A) = R(B) = r n時，方程組有 n r 個自由未知量，故有無窮多解。,線性方程組的解題步驟：,1) Ax = 0 只要把它的系數(shù)矩陣化為行的最簡形矩陣，把以行 最簡形矩陣中非零行的第一個非零元 1為系數(shù)的未知數(shù) 留在等號左端，其余的移到等號的右端，再表示成通解.,2）Ax = b 只要把它的增廣矩陣化成行階梯形矩陣，由定理 3，判斷它是否有解。若有解，則對增廣矩陣進一步化成行最簡

42、形矩陣。把行最簡形矩陣中非零行第一個非零元素 1為系數(shù)的未知數(shù)留在等號左端，其余均移到等號右端。再表示成通解。,二、線性方程組的解法,例1 求解齊次線性方程組,解 對系數(shù)矩陣A施以初等行變換為行最簡形矩陣:,即得到與原方程組的同解方程組,即,x3 ,x4 可以任意取值.,令x3 = k1 , x4 = k2 , 把它寫成 參數(shù)形式,其中 k1 , k2 , 為任意實數(shù)。,其解亦可表為向量形式,例2 求解非齊次線性方組,解 對增廣矩陣B實施行的初等變換,可見，R(A) = 2 , R(B) =3.故方程組無解。,例3 求解非其次線性方程組,解 對增廣矩陣B實施行的初等變換,顯然， R(A) =

43、R(B) = 24，所以原方程組有無窮多解，且具有下列同解方程組：,即,故,k1 , k2 為任意常數(shù)。,k1 ,k2 為任意常數(shù)。,寫成向量形式,例4 設有線性方程組,問 取何值時，此方程組（1）有唯一解？（2）無解？ （3）有無窮多個解？并在有無窮多解時，求其通解。,解 對增廣矩陣B =（A | b）實施行的初等變換:,1）當 0 , 且 3時， (A) = R(B) = 3 , 方程組有唯一解;,2) 當 = 0 時 , R(A) = 1 , R(B) = 2 , 方程組無解； 3)當 =3 時, R(A) = R(B) =2 , 方程組有無窮多解.,當 = -3 時，,得同解方程：,即

44、,4 初等矩陣,一、初等矩陣的概念,定義由單位矩陣經(jīng)過一次初等變換得到 的矩陣稱為初等矩陣。,對調(diào)兩行（列）,第i行,第行,以數(shù)乘以某行（列）,第i行,以數(shù)k乘以某行（列）加到另一行（列）上去,第i行,第行,注意：初等方陣是可逆矩陣，且其逆矩陣仍然是初等方陣。,例設,計算：,解：,二、初等方陣的有關定理,定理設是一個mn 矩陣，對 A 實施一次 初 等行變換，相當于在 A 的左邊乘以相應的 m 階初等矩 陣; 對 A 實施一次 初等列變換，相當于在 A 的右邊乘 以相應的 n 階初等矩陣。,定理5. 設A為可逆矩陣，則存在有限個初等矩陣 ，使 ,證：因為，故 經(jīng)過有限次初等變換可變成，也就是說

45、，存在有限個初等矩陣 使,即,推論： mn 矩陣 的充分必要條件是：存在 m 階可逆矩陣及 n 階可逆矩陣，使=,三、用初等矩陣求逆矩陣,故,即,所以,當 |A| 0，由,1、利用初等變換求逆,例2. 設,求,解,所以,注意：亦可利用矩陣的初等列變換求解逆矩陣.,事實上：因為,所以,2、利用矩陣的初等行變求解矩陣方程.,事實上，對于,若A可逆，則有,對應于：,即,例3. 設 AX = B , 求 X . 其中,解 若,可逆，則,所以,同理亦可求解矩陣方程,若,可逆，則有,即,例4. 設A的伴隨矩陣,且有,求 B.,解: 在,兩邊左乘,右乘 A ，得,即,因為,而,從而有,（*）,故（*）式可改

46、寫為,即,所以,第三章 小 結,矩陣的初等變換與線性方程組,矩 陣 的 初 等換,初 等 方 陣,矩 陣 的 秩,線 性 方 程 組,矩 陣 的 初 等 變 換,概 念,1.對換矩陣的i, j兩行（列）.,2.用k0乘矩陣的第i行（列）.,3.把某i行（列）的k倍加到另一行（列）的對應元素上去.,性 質(zhì),1.初等變換不改變矩陣的秩.,2.對A經(jīng)過有限次初等變換得到B，則A等價B.,用 途,求逆，,求矩陣A的秩、最簡型、標準形.,初 等 方 陣,性 質(zhì),初等方陣都是可逆矩陣，其逆仍然是同種的初等矩陣.,對Amn矩陣實施一次行初等變換，相當于對A左乘一個相應的m階初等方陣；對A實施一次列初等變換，

47、相當于對A右乘一個相應的n階初等方陣.,任何可逆矩陣都可以表為若干個初等方陣的乘積.,概 念,對單位矩陣實施一次初等變換而得到的矩陣稱為初等方陣.,三種初等變換對應三種初等方陣.,矩 陣 的 秩,概 念,k階子式.,秩：矩陣非零子式的最高階數(shù).,性 質(zhì),零矩陣的秩為零.,R(A)=R(AT),若B可逆，則R(AB)=R(A).,R(A+B) R(A)+R(B),R(AB) minR(A), R(B),R(AB) R(A)+R(B)-n,若AB=0, 則R(A)+R(B) n,線 性 方 程 組,有非零解 R(A)n.,求 解,1.化系數(shù)矩陣為最簡形. 2.找等價的方程組. 3.寫通解.,有解

48、R(A)=R(B).,求 解,1.把增廣矩陣B化為最簡形. 2. 找等價的方程組. 3.寫通解.,Ax=0 解 的 結 構,Ax = 0 有唯一零解 R(A) = r = n.,Ax = 0 有無窮多個非零解 R(A) = r n.,其通解可表為：,為方程組的基礎解系.,其中,Ax=b 解 的 結 構,Ax=b無解 R(A) R(B),Ax=b有解 R(A) =R(B) = r,1）當 r = n 時，方程組有唯一解. 2）當 r n 時，方程組有無窮多解.且其通解可表為：,其中,為方程組對應的導出組的基礎解系.,為方程組的一個特解.,第四章向量組的線性相關性,1n維向量,一、n維向量的概念,

49、定義1 n個有次序的數(shù) 所組成 的數(shù)組稱為 n 維向量，這 n 個數(shù)稱為該向量的 n 個分量，第 i 個數(shù) 稱為第 i 個分量。,列向量,行向量,零向量,負向量,二、n維向量的運算,定義2 設n維向量,1),2）,3),其中 k 是數(shù)量。,注：如上定義的向量加法和數(shù)乘的運算統(tǒng)稱為向量的線性運算。,三、n維向量的運算律,設 ， ， 為n維向量，k、l為實數(shù)，0為零向量。,1) + = + ,2) + + = + ( + ),3) + 0 = ,4) + ( ) = 0,5) 1 = ,6) k ( l ) =( k l ) ,7) k ( + ) = k + k,8) ( k + l ) = k

50、 + l,四、n 維向量的實際意義,我們稱n維向量的全體所組成的集合,為 n 維向量空間。,n 維向量有著廣泛的實際意義。例如為確定飛機的 狀態(tài)，需要 6 個參數(shù)（夠成6維向量）。表示飛機重心在 空間的位置需 3 個參數(shù)，還有 3 個參數(shù)是:,1) 機身的水平轉(zhuǎn)角（0 2 ）；,2) 機身的仰角 （ ）；,3) 機翼（以機身為軸）的轉(zhuǎn)角 （ ）。,例1 計算,設 , =,求 1）,2） 3 。,解, +2 ;,3 , +2 ,2 向量組的線性相關性,一、向量組,若干個同維數(shù)的列向量（或同維數(shù)的行向量）所組成 的集合叫做向量組。,例如一個mn矩陣A有n個m維列向量,它們組成的向量組 1,2,n稱

51、為矩陣A的列向量組。,mn矩陣A又有m個n維行向量,iT=( ai1,ai2,ai n ), ( i=1,2,m ),它們組成的行向量組1T,2T,mT 稱為矩陣A的行向量組。,反之，由有限個向量所組成的向量組可以構成一個 矩陣。例如：,m個n維列向量所組成的向量組1,2,m構成一個 nm矩陣,A=( 1,2,m ) ;,m個n維行向量所組成向量組1T, 2T, mT 構成一個mn矩陣,B = 。,我們前面學過的線性方程組又可以寫成矩陣的形 式Ax = b,而且矩陣又可以寫成向量組的形式，所以方 程組也可以寫成向量的形式,x11 + x22 + + xnn = b ,由此可見，線性方程組與其增

52、廣矩陣B（A,b）的列向量組1，2，m , b之間也有一一對應的關系。,二、線性組合,定義3 給定向量組A: 1,2,m ,對于任何一組實數(shù) k1, k2, km ,向量 k11 + k22 + + kmm 稱為向量組A的一個線性組合, k1, k2, , km稱為這個線性 組合的系數(shù)。,線性表示 給定向量組A: 1,2,m和向量 b , 如果存在一組數(shù) 1 , 2 , , m ,使 b = 11 + 22 + + mm 則向量b是向量組A的線性組合，這時稱向量b能由向量組A線性表示。,向量組b能由向量組A線性表示，也就是線性方程組,x11 + x22 + + xmm = b,有解。由上章的定

53、理3，即可得到,定理1 向量b能由向量組A線性表示的充分必要條件是矩陣 A = ( 1 , 2 , , m ) 的秩等于矩陣 B =( 1 , 2 , , m , b )的秩。,三、等價向量組,定義4 設有兩個向量組A: 1 , 2 , , m 及B: b1 , b2 , bs ,若B組中的每個向量都能由向量組A線性表示，則稱向 量組B能由向量組A線性表示。若向量組A與向量組B能相 互線性表示，則稱這兩個向量組等價。,把向量組A和B所構成的矩陣依次記作A = ( 1,2,m ) 和B=( b1 , b2 , , bs ) ,B組能由A組線性表示，即對B組的每 個向量bj ( j = 1 , 2

54、 , , s ) 存在數(shù)k1j , k2j , , kmj ,使,bj = k1j 1 + k2j 2 + + kmj m,= ( 1, 2, , m ),從而 ( b1 , b2 , , bs ) = ( 1 , 2 , , m ),這里，矩陣Kms= ( kij )稱為這一線性表示的系數(shù)矩陣。,由此可知，若 C mn = Ams Bsn ,則矩陣C的列向量組能由A的列向量組線性表示，B為這一表示的系數(shù)矩,( c1 ,c2 , , cn ) = (1 , 2 , , s ),同時，C的行向量組能由B的行向量組線性表示，A為這一 表示的系數(shù)矩陣：,綜合上面的討論，我們得出矩陣A經(jīng)過初等行變換變

55、成 矩陣B,則B的每個行向量都是A的行向量的線性組合，即 B 的行向量組能由A的行向量線性表示。由于初等變換可逆， 則矩陣B亦可經(jīng)初等行變換變?yōu)锳，從而 A 的行向量組也能 由B 的行向量組線性表示。于是 A的行向量組與B的行向量 組等價。,同理可知，若矩陣A經(jīng)過初等列變換變成矩陣B，則A 的列向量組與B的列向量組等價。,等價矩陣所對應的線性方程組是同解方程組。,四、向量組的線性相關性,定義5 給定向量組A: 1 , 2 , , m ,如果存在不全為 零的數(shù)k1， k2 ，. ， km，使 k11 + k22 + + kmm = 0 則稱向量組A是線性相關的，否則稱它線性無關。,1）一個向量

56、線性相關的充分必要條件是 0。,2）兩個向量線性相關的充分必要條件是它們對應的 分量成比例。,3）三個向量線性相關的幾何意義是三向量共面。,4）一個向量是線性無關的充分必要條件是 0。,5）兩個向量線性無關的充分必要條件是它們對應的 分量不成比例。,例1 判斷下列向量組的線性相關性。,1) 1T = ( 1, 1, 1), 2T = ( 0, 2, 5 ), 3T = ( 1, 3, 6 ),2) 1T = ( 1, 0, 0, ), 2T = ( 1, 2, 1 ), 3T =( 1, 0, 1 ),解 1）設有 x1, x2, x3 使,x11T + x22T + x33T = 0 （1）

57、,即,( x1+x3 , x1+2x2+3x3 ,x1+ 5x2+6x3 ) = ( 0, 0, 0 ),亦即,由于,所以，方程組有非零解，即存在不全為零的 x1 , x2 , x3 使（1）成立。故向量組1T, 2T, 3T是線性相關的。,2）設有x1, x2, x3 使,x11T + x22T + x33T = 0 （2）,即,由于,所以，方程組僅有零解。即只有當 x1, x2, x3 全為零時（2） 成立。故向量組 1T, 2T , 3T是線性無關的。,五、線性相關性基本定理,定理2 向量組 1，2， ，m ( m 2 )線性相關的充分必要條件是向量組中至少有一個向量可由其余的 m-1個向量線性表示。,證,充分性,不妨設m可由其余的向量線性表示，即有,m= 11 + 22 + + m-1m-1,從而,11 + 22 + + m-1m-1 + (-1)m = 0,因為 1，2， ，m-1, -1 這 m 個數(shù)不全為零,故1，2， m 線性