高二數(shù)學(xué)教案：8.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程(三)

1、課題： 8 1 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程（三）教學(xué)目的：1. 使學(xué)生理解軌跡與軌跡方程的區(qū)別與聯(lián)系2. 使學(xué)生掌握轉(zhuǎn)移法 （也稱代換法， 中間變量法， 相關(guān)點(diǎn)法） 求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的方法與橢圓有關(guān)問題的解決教學(xué)重點(diǎn)： 運(yùn)用中間變量法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡教學(xué)難點(diǎn)：運(yùn)用中間變量法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡授課類型：新授課課時(shí)安排：1 課時(shí)教具：多媒體、實(shí)物投影儀教學(xué)過程 ：一、復(fù)習(xí)引入：1橢圓定義 ：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn) f1 , f2 的距離之和等于常數(shù)（大于| f1 f2 |）的點(diǎn)的軌跡叫作橢圓 ，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做 橢圓 的焦點(diǎn) ，兩焦點(diǎn) 間的距離叫做橢圓的焦距注意 : 橢圓定義中容易遺漏的兩處地方：（1）兩個(gè)定點(diǎn) - 兩點(diǎn)間距離

2、確定（2）繩長(zhǎng) - 軌跡上任意點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離和確定p在同樣的繩長(zhǎng)下， 兩定點(diǎn)間距離較長(zhǎng)，則所畫出的橢圓較扁（線段）兩定點(diǎn)間距離較短， 則所畫出的橢圓較圓 （f1f2圓 ）橢圓的形狀與兩定點(diǎn)間距離、 繩長(zhǎng)有關(guān) ( 為下面 離心率 概念作鋪墊 )2. 橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：y（ 1） x2y2p1a2b2f1of2它 所 表 示 的 橢 圓 的 焦 點(diǎn) 在 x 軸 上 ， 焦 點(diǎn) 是xf1 ( c,0) f2 (c,0) ，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓方程其中a 2c 2b 2ypf2（ 2） y2x21oa2b 2f1它 所 表 示 的 橢 圓 的 焦 點(diǎn) 在 y 軸 上 ， 焦 點(diǎn) 是f1 (0,c), f2

3、 (0,c) , 中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓方程其x中 a2c 2b 2在 x 2y 21 與 y 2x21這兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程中，都有a b 0 的要求，如方程a 2b 2a2b 2x2y21(m0, n 0, mn) 就不能肯定焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上；分清兩種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，mn第 1頁(yè)共 6頁(yè)可與直線截距式xy1 類比，如 x2y 21中，由于 ab ，所以在 x 軸上的 “截距”aba2b2更大，因而焦點(diǎn)在x 軸上 (即看 x2 , y 2 分母的大小 )二、講解范例：例 1如圖，已知一個(gè)圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為2，從這個(gè)圓上任意一點(diǎn)p 向 x 軸作垂線段 pp，求線段 pp的中點(diǎn) m的軌跡（若 m分

4、pp之比為1 ，求點(diǎn) m的軌跡）m 的坐標(biāo)為2解：（ 1）當(dāng) m是線段 pp的中點(diǎn)時(shí)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)y( x, y) ，則 p 的坐標(biāo)為 ( x,2 y)p因?yàn)辄c(diǎn) p 在圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)半徑為2 的圓上，m所以有x2(2 y)24 ，即x 2y21-2op 2x4所以點(diǎn) m 的軌跡是橢圓，方程是x 2y 214（2）當(dāng) m分 pp之比為 1時(shí)，設(shè)動(dòng)點(diǎn) m的坐標(biāo)為 ( x, y) ，則 p 的坐標(biāo)為 (x, 3 y)22因?yàn)辄c(diǎn) p 在圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)半徑為2 的圓上，p所以有x 2( 3 y)24 ，即x 29 y21m2416-2o p2x所以點(diǎn) m 的軌跡是橢圓，方程是x 29 y21416例2已知x

5、軸上的一定點(diǎn)（1,0），q為橢圓 x2y21上的動(dòng)點(diǎn)，求aq中點(diǎn)m的軌跡a4方程解：設(shè)動(dòng)點(diǎn) m的坐標(biāo)為 (x, y) ，則 q 的坐標(biāo)為 (2x1,2 y)因?yàn)辄c(diǎn) q 為橢圓 x 2yy21上的點(diǎn)，qm4(2x1)21) 2-2oa2 x所以有( 2y) 21 ，即 (x4 y 2142所以點(diǎn) m 的軌跡方程是 ( x1 ) 24y 212第 2頁(yè)共 6頁(yè)例 3長(zhǎng)度為2 的線段 ab 的兩個(gè)端點(diǎn) a、b 分別在 x 軸、 y 軸上滑動(dòng)， 點(diǎn) m分 ab的比為2 ，3求點(diǎn) m的軌跡方程解：設(shè)動(dòng)點(diǎn) m 的坐標(biāo)為 (x, y) ，則 a 的坐標(biāo)為 (5 x,0)b 的坐標(biāo)為 (0, 5 y)32因?yàn)?/p>

6、 | ab |2，y所以有(5x) 2(5y)24 ，即25x 225y24bm3294oax25 x225 y24所以點(diǎn) m 的軌跡方程是94例 4已知定圓 x2y 6x550 ，動(dòng)圓 m和已知圓內(nèi)切且過點(diǎn)p(-3 ， 0) ，求圓心 m的軌跡及其方程分析：由兩圓內(nèi)切， 圓心距等于半徑之差的絕對(duì)值根據(jù)圖形，用數(shù)學(xué)符號(hào)表示此結(jié)論：mq8mpy上式可以變形為 mqmp8，又因?yàn)閞 8mpq68 ，所以圓心 m的軌跡是以 p， q 為焦po q點(diǎn)的橢圓解已知圓可化為： x3 2y 264x圓心 q(3， 0) ， r8 ，所以p 在定圓內(nèi)設(shè)動(dòng)圓圓心為 m (x, y) ，則 mp 為半徑又圓 m和

7、圓 q內(nèi)切，所以mq 8mp ，即mq mp8 ，故 m的軌跡是以 p，q為焦點(diǎn)的橢圓， 且 pq中點(diǎn)為原點(diǎn)， 所以 2a8 ，b27 ，故動(dòng)圓圓心 m的軌跡方程是：x 2y 21167三、課堂練習(xí) ：（1）已知橢圓 x 2y21上一點(diǎn) p到橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)的距離為3，則 p 到另一個(gè)焦點(diǎn)的距2516離是 （）a.2b.3c.5d.7答案： dx2y2（）（2）已知橢圓方程為1, 那么它的焦距是2011a.6b.3c.331 d.31答案： a第 3頁(yè)共 6頁(yè)（3）如果方程 x2ky 22 表示焦點(diǎn)在y 軸上的橢圓，那么實(shí)數(shù)k 的取值范圍是a. （ 0， +） b.(0,2)c.(1,+ )d.

8、(0,1)答案： d(4) 已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是f1（ -2 ， 0）， f2（ 2， 0），并且經(jīng)過點(diǎn) p（ 5 ,3），則橢22圓標(biāo)準(zhǔn)方程是 _答案： x2y21106（5）過點(diǎn) a（ -1 ，-2 ）且與橢圓 x2y 21的兩個(gè)焦點(diǎn)相同的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是_答69案： x 2y 2136（6）過點(diǎn)p（3 ， -2 ）， q（ -23 ， 1）兩點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是_答案： x 2y 21255四、小結(jié) ：用轉(zhuǎn)移法求軌跡方程的方法轉(zhuǎn)移法是在動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)隨著另一個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，而另一個(gè)點(diǎn)又在有規(guī)律的曲線上運(yùn)動(dòng)，這種情況下才能應(yīng)用的，運(yùn)用這種方法解題的關(guān)鍵是尋求兩動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)間的關(guān)系五、課后作業(yè)：

9、1已知圓 x2y 2，從這個(gè)圓上任意一點(diǎn)p 向 y 軸作垂線段 ，求線段 的中點(diǎn) m的軌跡 .選題意圖：訓(xùn)練相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程的方法，考查“通過方程，研究平面曲線的性質(zhì)”這一解析幾何基本思想 .解：設(shè)點(diǎn) m的坐標(biāo)為 ( x, y) ，則點(diǎn) p 的坐標(biāo)為 ( 2x, y) . p 在圓 x2y 21 上， (2x) 2y 21，即x2y 21.14點(diǎn) m的軌跡是一個(gè)橢圓4x 2y 212abc的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是b(0 ，6)和 c(0 ，-6)，另兩邊 ab、ac的斜率的乘積是 - 4 ，9求頂點(diǎn) a 的軌跡方程 .選題意圖： 鞏固求曲線方程的一般方法， 建立借助方程對(duì)應(yīng)曲線后舍點(diǎn)的解題意思，

10、 訓(xùn)練根據(jù)條件對(duì)一些點(diǎn)進(jìn)行取舍 .解：設(shè)頂點(diǎn)a 的坐標(biāo)為 ( x, y) .第 4頁(yè)共 6頁(yè)依題意得y 6y64 ，xx9頂點(diǎn) a 的軌跡方程為x2y 26) .811( y36說明：方程x2y2y 軸有兩個(gè)交點(diǎn)，而此兩交點(diǎn)為（，）與811對(duì)應(yīng)的橢圓與36(0 ， 6) 應(yīng)舍去 .3已知橢圓的焦點(diǎn)是f1 (1,0), f2 (1,0) ， 為橢圓上一點(diǎn)，且f1 f2 是 pf1 和pf2 的等差中項(xiàng) .(1) 求橢圓的方程；(2) 若點(diǎn) p 在第三象限，且pf1 f2 120，求 tan f1pf2 .選題意圖：綜合考查數(shù)列與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ)知識(shí)，靈活運(yùn)用等比定理進(jìn)行解題解： (1) 由題設(shè) pf1 pf2 f1f2 4 2a 4 ， 2 c=2， 3yx 2y 2p橢圓的方程為1.fof2431（）設(shè) f1 pf2，則 pf2 f1 60 由正弦定理得：f1f2pf2pf1sinsin120sin(60)由等比定理得：f1 f2pf1pf2sinsin120sin(60)24sin3sin(60)2整理得： 5 sin3(1cos )sin3 故 tan31 cos522235