初三數學九上九下壓軸題難題提高題培優(yōu)題(含答案解析)

1、初三數學九上壓軸題難題提高題培優(yōu)題一解答題（共8小題）1如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a0）經過點A（3，0）、B（1，0）、C（2，1），交y軸于點M（1）求拋物線的表達式；（2）D為拋物線在第二象限部分上的一點，作DE垂直x軸于點E，交線段AM于點F，求線段DF長度的最大值，并求此時點D的坐標；（3）拋物線上是否存在一點P，作PN垂直x軸于點N，使得以點P、A、N為頂點的三角形與MAO相似（不包括全等）？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由2如圖，在平面直角坐標系xOy中，頂點為M的拋物線y=ax2+bx（a0）經過點A和x軸正半軸上的點B，AO=OB=4，AOB=120（1）求

2、這條拋物線的表達式；（2）聯(lián)結OM，求AOM的大??；（3）如果點C在x軸上，且ABC與AOM相似，求點C的坐標3如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=ax2+bx+c交x軸于A（2，0），B（6，0）兩點，交y軸于點（1）求此拋物線的解析式；（2）若此拋物線的對稱軸與直線y=2x交于點D，作D與x軸相切，D交y軸于點E、F兩點，求劣弧EF的長；（3）P為此拋物線在第二象限圖象上的一點，PG垂直于x軸，垂足為點G，試確定P點的位置，使得PGA的面積被直線AC分為1：2兩部分？4如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（2，4），OB=2，拋物線y=ax2+bx+c經過點A、O、B三點（1）求拋物線的

3、函數表達式；（2）若點M是拋物線對稱軸上一點，試求AM+OM的最小值；（3）在此拋物線上，是否存在點P，使得以點P與點O、A、B為頂點的四邊形是梯形？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由5已知拋物線y=x2+bx+c經過點A（0，1），B （4，3）（1）求拋物線的函數解析式；（2）求tanABO的值；（3）過點B作BCx軸，垂足為C，在對稱軸的左側且平行于y軸的直線交線段AB于點N，交拋物線于點M，若四邊形MNCB為平行四邊形，求點M的坐標6如圖1，已知拋物線的方程C1：y=（x+2）（xm）（m0）與x軸交于點B、C，與y軸交于點E，且點B在點C的左側（1）若拋物線C1過點M（2，2

4、），求實數m的值；（2）在（1）的條件下，求BCE的面積；（3）在（1）的條件下，在拋物線的對稱軸上找一點H，使得BH+EH最小，求出點H的坐標；（4）在第四象限內，拋物線C1上是否存在點F，使得以點B、C、F為頂點的三角形與BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由7如圖，已知拋物線y=x2（b+1）x+（b是實數且b2）與x軸的正半軸分別交于點A、B（點A位于點B的左側），與y軸的正半軸交于點C（1）點B的坐標為 ，點C的坐標為 （用含b的代數式表示）；（2）請你探索在第一象限內是否存在點P，使得四邊形PCOB的面積等于2b，且PBC是以點P為直角頂點的等腰直角三角形？如果存在，求

5、出點P的坐標；如果不存在，請說明理由；（3）請你進一步探索在第一象限內是否存在點Q，使得QCO，QOA和QAB中的任意兩個三角形均相似（全等可作相似的特殊情況）？如果存在，求出點Q的坐標；如果不存在，請說明理由8如圖，在平面直角坐標系中，已知矩形ABCD的三個頂點B（1，0），C（3，0），D（3，4）以A為頂點的拋物線y=ax2+bx+c過點C動點P從點A出發(fā)，沿線段AB向點B運動同時動點Q從點C出發(fā)，沿線段CD向點D運動點P，Q的運動速度均為每秒1個單位運動時間為t秒過點P作PEAB交AC于點E（1）直接寫出點A的坐標，并求出拋物線的解析式；（2）過點E作EFAD于F，交拋物線于點G，當t

6、為何值時，ACG的面積最大？最大值為多少？（3）在動點P，Q運動的過程中，當t為何值時，在矩形ABCD內（包括邊界）存在點H，使以C，Q，E，H為頂點的四邊形為菱形？請直接寫出t的值初三數學九上壓軸題難題提高題培優(yōu)題參考答案與試題解析一解答題（共8小題）1如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a0）經過點A（3，0）、B（1，0）、C（2，1），交y軸于點M（1）求拋物線的表達式；（2）D為拋物線在第二象限部分上的一點，作DE垂直x軸于點E，交線段AM于點F，求線段DF長度的最大值，并求此時點D的坐標；（3）拋物線上是否存在一點P，作PN垂直x軸于點N，使得以點P、A、N為頂點的三角形與MAO相似

7、（不包括全等）？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由【解答】解：由題意可知解得拋物線的表達式為y=（2）將x=0代入拋物線表達式，得y=1點M的坐標為（0，1）設直線MA的表達式為y=kx+b，則解得直線MA的表達式為y=x+1設點D的坐標為（），則點F的坐標為（）DF=當時，DF的最大值為此時，即點D的坐標為（）（3）存在點P，使得以點P、A、N為頂點的三角形與MAO相似設P（m，）在RtMAO中，AO=3MO，要使兩個三角形相似，由題意可知，點P不可能在第一象限設點P在第二象限時，點P不可能在直線MN上，只能PN=3AN，即m2+11m+24=0解得m=3（舍去）或m=8又3m0，故

8、此時滿足條件的點不存在當點P在第三象限時，點P不可能在直線MA上，只能PN=3AN，即m2+11m+24=0解得m=3或m=8此時點P的坐標為（8，15）當點P在第四象限時，若AN=3PN時，則3，即m2+m6=0解得m=3（舍去）或m=2當m=2時，此時點P的坐標為（2，）若PN=3NA，則，即m27m30=0解得m=3（舍去）或m=10，此時點P的坐標為（10，39）綜上所述，滿足條件的點P的坐標為（8，15）、（2，）、（10，39）2如圖，在平面直角坐標系xOy中，頂點為M的拋物線y=ax2+bx（a0）經過點A和x軸正半軸上的點B，AO=OB=4，AOB=120（1）求這條拋物線的表

9、達式；（2）聯(lián)結OM，求AOM的大?。唬?）如果點C在x軸上，且ABC與AOM相似，求點C的坐標【解答】解：（1）如圖，過點A作ADy軸于點D，AO=OB=4，B（4，0）AOB=120，AOD=30，AD=OA=2，OD=OA=2A（2，2）將A（2，2），B（4，0）代入y=ax2+bx，得：，解得：，這條拋物線的表達式為y=x2x；（2）過點M作MEx軸于點E，y=x2x=（x2）2，M（2，），即OE=2，EM=tanEOM=EOM=30AOM=AOB+EOM=150（3）過點A作AHx軸于點H，AH=2，HB=HO+OB=6，tanABH=ABH=30，AOM=150，OAM30，O

10、MA30，點C不可能在點B的左側，只能在點B的右側ABC=180ABH=150，AOM=150，AOM=ABCABC與AOM相似，有如下兩種可能：BAC與OAM，BAC與OMAOD=2，ME=，OM=，AH=2，BH=6，AB=4當BAC與OAM時，由=得，解得BC=4C1（8，0）當BAC與OMA時，由=得，解得BC=12C2（16，0）綜上所述，如果點C在x軸上，且ABC與AOM相似，則點C的坐標為（8，0）或（16，0）3如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=ax2+bx+c交x軸于A（2，0），B（6，0）兩點，交y軸于點（1）求此拋物線的解析式；（2）若此拋物線的對稱軸與直線y=2

11、x交于點D，作D與x軸相切，D交y軸于點E、F兩點，求劣弧EF的長；（3）P為此拋物線在第二象限圖象上的一點，PG垂直于x軸，垂足為點G，試確定P點的位置，使得PGA的面積被直線AC分為1：2兩部分？【解答】解：（1）拋物線y=ax2+bx+c經過點A（2，0），B（6，0），；，解得；拋物線的解析式為：；（2）易知拋物線的對稱軸是x=4，把x=4代入y=2x，得y=8，點D的坐標為（4，8）；D與x軸相切，D的半徑為8；連接DE、DF，作DMy軸，垂足為點M；在RtMFD中，FD=8，MD=4，cosMDF=；MDF=60，EDF=120；劣弧EF的長為：；（3）設直線AC的解析式為y=kx

12、+b；直線AC經過點，解得；直線AC的解析式為：；設點，PG交直線AC于N，則點N坐標為，SPNA：SGNA=PN：GN；若PN：GN=1：2，則PG：GN=3：2，PG=GN；即=；解得：m1=3，m2=2（舍去）；當m=3時，=；此時點P的坐標為；若PN：GN=2：1，則PG：GN=3：1，PG=3GN；即=；解得：m1=12，m2=2（舍去）；當m=12時，=；此時點P的坐標為；綜上所述，當點P坐標為或時，PGA的面積被直線AC分成1：2兩部分4如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（2，4），OB=2，拋物線y=ax2+bx+c經過點A、O、B三點（1）求拋物線的函數表達式；（2）若點M是

13、拋物線對稱軸上一點，試求AM+OM的最小值；（3）在此拋物線上，是否存在點P，使得以點P與點O、A、B為頂點的四邊形是梯形？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由【解答】解：（1）由OB=2，可知B（2，0），將A（2，4），B（2，0），O（0，0）三點坐標代入拋物線y=ax2+bx+c，得解得：拋物線的函數表達式為答：拋物線的函數表達式為（2）由，可得，拋物線的對稱軸為直線x=1，且對稱軸x=1是線段OB的垂直平分線，連接AB交直線x=1于點M，M點即為所求MO=MB，則MO+MA=MA+MB=AB作ACx軸，垂足為C，則AC=4，BC=4，AB=MO+MA的最小值為答：MO+MA的最

14、小值為（3）若OBAP，此時點A與點P關于直線x=1對稱，由A（2，4），得P（4，4），則得梯形OAPB若OABP，設直線OA的表達式為y=kx，由A（2，4）得，y=2x設直線BP的表達式為y=2x+m，由B（2，0）得，0=4+m，即m=4，直線BP的表達式為y=2x4由，解得x1=4，x2=2（不合題意，舍去）當x=4時，y=12，點P（4，12），則得梯形OAPB若ABOP，設直線AB的表達式為y=kx+m，則，解得，AB的表達式為y=x2ABOP，直線OP的表達式為y=x由，得 x2=0，解得x=0，（不合題意，舍去），此時點P不存在綜上所述，存在兩點P（4，4）或P（4，12）使

15、得以點P與點O、A、B為頂點的四邊形是梯形答：在此拋物線上，存在點P，使得以點P與點O、A、B為頂點的四邊形是梯形，點P的坐標是（4，4）或（4，12）5已知拋物線y=x2+bx+c經過點A（0，1），B （4，3）（1）求拋物線的函數解析式；（2）求tanABO的值；（3）過點B作BCx軸，垂足為C，在對稱軸的左側且平行于y軸的直線交線段AB于點N，交拋物線于點M，若四邊形MNCB為平行四邊形，求點M的坐標【解答】解：（1）拋物線y=x2+bx+c經過點A（0，1），B （4，3），解得，所以，拋物線的函數解析式為y=x2+x+1；（2）如圖，過點B作BCx軸于C，過點A作ADOB于D，A（

16、0，1），B （4，3），OA=1，OC=4，BC=3，根據勾股定理，OB=5，OAD+AOD=90，AOD+BOC=90，OAD=BOC，又ADO=OCB=90，AODOBC，=，即=，解得OD=，AD=，BD=OBOD=5=，tanABO=；（3）設直線AB的解析式為y=kx+b（k0，k、b是常數），則，解得，所以，直線AB的解析式為y=x+1，設點M（a，a2+a+1），N（a，a+1），則MN=a2+a+1a1=a2+4a，四邊形MNCB為平行四邊形，MN=BC，a2+4a=3，整理得，a24a+3=0，解得a1=1，a2=3，MN在拋物線對稱軸的左側，拋物線的對稱軸為直線x=，a=

17、1，12+1+1=，點M的坐標為（1，）6如圖1，已知拋物線的方程C1：y=（x+2）（xm）（m0）與x軸交于點B、C，與y軸交于點E，且點B在點C的左側（1）若拋物線C1過點M（2，2），求實數m的值；（2）在（1）的條件下，求BCE的面積；（3）在（1）的條件下，在拋物線的對稱軸上找一點H，使得BH+EH最小，求出點H的坐標；（4）在第四象限內，拋物線C1上是否存在點F，使得以點B、C、F為頂點的三角形與BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由【解答】解：（1）將x=2，y=2代入拋物線的解析式得：4（2m）=2，解得：m=4，經檢驗：m=4是分式方程的解m的值為4（2）y=0

18、得：0=（x+2）（xm），解得x=2或x=m，B（2，0），C（m，0）由（1）得：m=4，C（4，0）將x=0代入得：y=2（m）=2，E（0，2）BC=6，OE=2SBCE=BCOE=62=6（3）如圖1所示：連接EC交拋物線的對稱軸于點H，連接BH，設對稱軸與x軸的交點為Px=，拋物線的對稱軸是直線x=1CP=3點B與點C關于x=1對稱，BH=CHBH+EH=EH+HC當H落在線段EC上時，BH+EH的值最小HPOE，PHCEOC，即解得HP=點H的坐標為（1，）（4）如圖2，過點B作EC的平行線交拋物線于F，過點F作FFx軸于FBFEC，BCE=FBC當，即BC2=CEBF時，BCE

19、FBC設點F的坐標為（x，（x+2）（xm），由，得解得x=m+2F（m+2，0）BCE=FBC，得，解得：又BC2=CEBF，整理得：0=16此方程無解如圖3，作CBF=45交拋物線于F，過點F作FFx軸于F，OE=OB，EOB=90，EBO=45CBF=45，EBC=CBF，當，即BC2=BEBF時，BCEBFC在RtBFF中，由FF=BF，得（x+2）（xm）=x+2，解得x=2mF（2m，0）BF=2m+2，BF=2m+2由BC2=BEBF，得（m+2）2=2（2m+2）解得m0，m=2+2綜上所述，點m的值為2+27如圖，已知拋物線y=x2（b+1）x+（b是實數且b2）與x軸的正半

20、軸分別交于點A、B（點A位于點B的左側），與y軸的正半軸交于點C（1）點B的坐標為（b，0），點C的坐標為（0，）（用含b的代數式表示）；（2）請你探索在第一象限內是否存在點P，使得四邊形PCOB的面積等于2b，且PBC是以點P為直角頂點的等腰直角三角形？如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由；（3）請你進一步探索在第一象限內是否存在點Q，使得QCO，QOA和QAB中的任意兩個三角形均相似（全等可作相似的特殊情況）？如果存在，求出點Q的坐標；如果不存在，請說明理由【解答】解：（1）令y=0，即y=x2（b+1）x+=0，解得：x=1或b，b是實數且b2，點A位于點B的左側，點B的坐標

21、為（b，0），令x=0，解得：y=，點C的坐標為（0，），故答案為：（b，0），（0，）；（2）存在，假設存在這樣的點P，使得四邊形PCOB的面積等于2b，且PBC是以點P為直角頂點的等腰直角三角形設點P的坐標為（x，y），連接OP則S四邊形PCOB=SPCO+SPOB=x+by=2b，x+4y=16過P作PDx軸，PEy軸，垂足分別為D、E，PEO=EOD=ODP=90四邊形PEOD是矩形EPD=90EPC=DPBPECPDB，PE=PD，即x=y由解得由PECPDB得EC=DB，即=b，解得b=2符合題意P的坐標為（，）；（3）假設存在這樣的點Q，使得QCO，QOA和QAB中的任意兩個三角

22、形均相似QAB=AOQ+AQO，QABAOQ，QABAQO要使QOA與QAB相似，只能QAO=BAQ=90，即QAx軸b2，ABOA，Q0AABQ只能AOQ=AQB此時OQB=90，由QAx軸知QAy軸COQ=OQA要使QOA與OQC相似，只能QCO=90或OQC=90（I）當OCQ=90時，CQOQOAAQ=CO=由AQ2=OAAB得：（）2=b1解得：b=84b2，b=8+4點Q的坐標是（1，2+）（II）當OQC=90時，OCQQOA，=，即OQ2=OCAQ又OQ2=OAOB，OCAQ=OAOB即AQ=1b解得：AQ=4，此時b=172符合題意，點Q的坐標是（1，4）綜上可知，存在點Q（1，2+）或Q（1，4），使得QCO，QOA和QAB中的任意兩個三角形均相似8如圖，在平面直角坐標系中，已知矩形ABCD的三個頂點B（1，0），C（3，0