初三數(shù)學(xué)九上九下壓軸題難題提高題培優(yōu)題(含答案解析)

1、初三數(shù)學(xué)九上壓軸題難題提高題培優(yōu)題一解答題（共8小題）1如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，0）、B（1，0）、C（2，1），交y軸于點(diǎn)M（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）D為拋物線在第二象限部分上的一點(diǎn)，作DE垂直x軸于點(diǎn)E，交線段AM于點(diǎn)F，求線段DF長(zhǎng)度的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）拋物線上是否存在一點(diǎn)P，作PN垂直x軸于點(diǎn)N，使得以點(diǎn)P、A、N為頂點(diǎn)的三角形與MAO相似（不包括全等）？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由2如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，頂點(diǎn)為M的拋物線y=ax2+bx（a0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和x軸正半軸上的點(diǎn)B，AO=OB=4，AOB=120（1）求

2、這條拋物線的表達(dá)式；（2）聯(lián)結(jié)OM，求AOM的大?。唬?）如果點(diǎn)C在x軸上，且ABC與AOM相似，求點(diǎn)C的坐標(biāo)3如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=ax2+bx+c交x軸于A（2，0），B（6，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)（1）求此拋物線的解析式；（2）若此拋物線的對(duì)稱軸與直線y=2x交于點(diǎn)D，作D與x軸相切，D交y軸于點(diǎn)E、F兩點(diǎn)，求劣弧EF的長(zhǎng)；（3）P為此拋物線在第二象限圖象上的一點(diǎn)，PG垂直于x軸，垂足為點(diǎn)G，試確定P點(diǎn)的位置，使得PGA的面積被直線AC分為1：2兩部分？4如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（2，4），OB=2，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、O、B三點(diǎn)（1）求拋物線的

3、函數(shù)表達(dá)式；（2）若點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，試求AM+OM的最小值；（3）在此拋物線上，是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P與點(diǎn)O、A、B為頂點(diǎn)的四邊形是梯形？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由5已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，1），B （4，3）（1）求拋物線的函數(shù)解析式；（2）求tanABO的值；（3）過(guò)點(diǎn)B作BCx軸，垂足為C，在對(duì)稱軸的左側(cè)且平行于y軸的直線交線段AB于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)M，若四邊形MNCB為平行四邊形，求點(diǎn)M的坐標(biāo)6如圖1，已知拋物線的方程C1：y=（x+2）（xm）（m0）與x軸交于點(diǎn)B、C，與y軸交于點(diǎn)E，且點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)（1）若拋物線C1過(guò)點(diǎn)M（2，2

4、），求實(shí)數(shù)m的值；（2）在（1）的條件下，求BCE的面積；（3）在（1）的條件下，在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)H，使得BH+EH最小，求出點(diǎn)H的坐標(biāo)；（4）在第四象限內(nèi)，拋物線C1上是否存在點(diǎn)F，使得以點(diǎn)B、C、F為頂點(diǎn)的三角形與BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由7如圖，已知拋物線y=x2（b+1）x+（b是實(shí)數(shù)且b2）與x軸的正半軸分別交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸的正半軸交于點(diǎn)C（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為 ，點(diǎn)C的坐標(biāo)為 （用含b的代數(shù)式表示）；（2）請(qǐng)你探索在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使得四邊形PCOB的面積等于2b，且PBC是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？如果存在，求

5、出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）請(qǐng)你進(jìn)一步探索在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使得QCO，QOA和QAB中的任意兩個(gè)三角形均相似（全等可作相似的特殊情況）？如果存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由8如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)B（1，0），C（3，0），D（3，4）以A為頂點(diǎn)的拋物線y=ax2+bx+c過(guò)點(diǎn)C動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)速度均為每秒1個(gè)單位運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒過(guò)點(diǎn)P作PEAB交AC于點(diǎn)E（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)A的坐標(biāo)，并求出拋物線的解析式；（2）過(guò)點(diǎn)E作EFAD于F，交拋物線于點(diǎn)G，當(dāng)t

6、為何值時(shí)，ACG的面積最大？最大值為多少？（3）在動(dòng)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)t為何值時(shí)，在矩形ABCD內(nèi)（包括邊界）存在點(diǎn)H，使以C，Q，E，H為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？請(qǐng)直接寫(xiě)出t的值初三數(shù)學(xué)九上壓軸題難題提高題培優(yōu)題參考答案與試題解析一解答題（共8小題）1如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，0）、B（1，0）、C（2，1），交y軸于點(diǎn)M（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）D為拋物線在第二象限部分上的一點(diǎn)，作DE垂直x軸于點(diǎn)E，交線段AM于點(diǎn)F，求線段DF長(zhǎng)度的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）拋物線上是否存在一點(diǎn)P，作PN垂直x軸于點(diǎn)N，使得以點(diǎn)P、A、N為頂點(diǎn)的三角形與MAO相似

7、（不包括全等）？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【解答】解：由題意可知解得拋物線的表達(dá)式為y=（2）將x=0代入拋物線表達(dá)式，得y=1點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，1）設(shè)直線MA的表達(dá)式為y=kx+b，則解得直線MA的表達(dá)式為y=x+1設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（），則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（）DF=當(dāng)時(shí)，DF的最大值為此時(shí)，即點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）（3）存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、A、N為頂點(diǎn)的三角形與MAO相似設(shè)P（m，）在RtMAO中，AO=3MO，要使兩個(gè)三角形相似，由題意可知，點(diǎn)P不可能在第一象限設(shè)點(diǎn)P在第二象限時(shí)，點(diǎn)P不可能在直線MN上，只能PN=3AN，即m2+11m+24=0解得m=3（舍去）或m=8又3m0，故

8、此時(shí)滿足條件的點(diǎn)不存在當(dāng)點(diǎn)P在第三象限時(shí)，點(diǎn)P不可能在直線MA上，只能PN=3AN，即m2+11m+24=0解得m=3或m=8此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（8，15）當(dāng)點(diǎn)P在第四象限時(shí)，若AN=3PN時(shí)，則3，即m2+m6=0解得m=3（舍去）或m=2當(dāng)m=2時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，）若PN=3NA，則，即m27m30=0解得m=3（舍去）或m=10，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（10，39）綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（8，15）、（2，）、（10，39）2如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，頂點(diǎn)為M的拋物線y=ax2+bx（a0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和x軸正半軸上的點(diǎn)B，AO=OB=4，AOB=120（1）求這條拋物線的表

9、達(dá)式；（2）聯(lián)結(jié)OM，求AOM的大?。唬?）如果點(diǎn)C在x軸上，且ABC與AOM相似，求點(diǎn)C的坐標(biāo)【解答】解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)A作ADy軸于點(diǎn)D，AO=OB=4，B（4，0）AOB=120，AOD=30，AD=OA=2，OD=OA=2A（2，2）將A（2，2），B（4，0）代入y=ax2+bx，得：，解得：，這條拋物線的表達(dá)式為y=x2x；（2）過(guò)點(diǎn)M作MEx軸于點(diǎn)E，y=x2x=（x2）2，M（2，），即OE=2，EM=tanEOM=EOM=30AOM=AOB+EOM=150（3）過(guò)點(diǎn)A作AHx軸于點(diǎn)H，AH=2，HB=HO+OB=6，tanABH=ABH=30，AOM=150，OAM30，O

10、MA30，點(diǎn)C不可能在點(diǎn)B的左側(cè)，只能在點(diǎn)B的右側(cè)ABC=180ABH=150，AOM=150，AOM=ABCABC與AOM相似，有如下兩種可能：BAC與OAM，BAC與OMAOD=2，ME=，OM=，AH=2，BH=6，AB=4當(dāng)BAC與OAM時(shí)，由=得，解得BC=4C1（8，0）當(dāng)BAC與OMA時(shí)，由=得，解得BC=12C2（16，0）綜上所述，如果點(diǎn)C在x軸上，且ABC與AOM相似，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（8，0）或（16，0）3如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=ax2+bx+c交x軸于A（2，0），B（6，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)（1）求此拋物線的解析式；（2）若此拋物線的對(duì)稱軸與直線y=2

11、x交于點(diǎn)D，作D與x軸相切，D交y軸于點(diǎn)E、F兩點(diǎn)，求劣弧EF的長(zhǎng)；（3）P為此拋物線在第二象限圖象上的一點(diǎn)，PG垂直于x軸，垂足為點(diǎn)G，試確定P點(diǎn)的位置，使得PGA的面積被直線AC分為1：2兩部分？【解答】解：（1）拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，0），B（6，0），；，解得；拋物線的解析式為：；（2）易知拋物線的對(duì)稱軸是x=4，把x=4代入y=2x，得y=8，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，8）；D與x軸相切，D的半徑為8；連接DE、DF，作DMy軸，垂足為點(diǎn)M；在RtMFD中，F(xiàn)D=8，MD=4，cosMDF=；MDF=60，EDF=120；劣弧EF的長(zhǎng)為：；（3）設(shè)直線AC的解析式為y=kx

12、+b；直線AC經(jīng)過(guò)點(diǎn)，解得；直線AC的解析式為：；設(shè)點(diǎn)，PG交直線AC于N，則點(diǎn)N坐標(biāo)為，SPNA：SGNA=PN：GN；若PN：GN=1：2，則PG：GN=3：2，PG=GN；即=；解得：m1=3，m2=2（舍去）；當(dāng)m=3時(shí)，=；此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為；若PN：GN=2：1，則PG：GN=3：1，PG=3GN；即=；解得：m1=12，m2=2（舍去）；當(dāng)m=12時(shí)，=；此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為；綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為或時(shí)，PGA的面積被直線AC分成1：2兩部分4如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（2，4），OB=2，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、O、B三點(diǎn)（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）若點(diǎn)M是

13、拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，試求AM+OM的最小值；（3）在此拋物線上，是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P與點(diǎn)O、A、B為頂點(diǎn)的四邊形是梯形？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【解答】解：（1）由OB=2，可知B（2，0），將A（2，4），B（2，0），O（0，0）三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線y=ax2+bx+c，得解得：拋物線的函數(shù)表達(dá)式為答：拋物線的函數(shù)表達(dá)式為（2）由，可得，拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，且對(duì)稱軸x=1是線段OB的垂直平分線，連接AB交直線x=1于點(diǎn)M，M點(diǎn)即為所求MO=MB，則MO+MA=MA+MB=AB作ACx軸，垂足為C，則AC=4，BC=4，AB=MO+MA的最小值為答：MO+MA的最

14、小值為（3）若OBAP，此時(shí)點(diǎn)A與點(diǎn)P關(guān)于直線x=1對(duì)稱，由A（2，4），得P（4，4），則得梯形OAPB若OABP，設(shè)直線OA的表達(dá)式為y=kx，由A（2，4）得，y=2x設(shè)直線BP的表達(dá)式為y=2x+m，由B（2，0）得，0=4+m，即m=4，直線BP的表達(dá)式為y=2x4由，解得x1=4，x2=2（不合題意，舍去）當(dāng)x=4時(shí)，y=12，點(diǎn)P（4，12），則得梯形OAPB若ABOP，設(shè)直線AB的表達(dá)式為y=kx+m，則，解得，AB的表達(dá)式為y=x2ABOP，直線OP的表達(dá)式為y=x由，得 x2=0，解得x=0，（不合題意，舍去），此時(shí)點(diǎn)P不存在綜上所述，存在兩點(diǎn)P（4，4）或P（4，12）使

15、得以點(diǎn)P與點(diǎn)O、A、B為頂點(diǎn)的四邊形是梯形答：在此拋物線上，存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P與點(diǎn)O、A、B為頂點(diǎn)的四邊形是梯形，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（4，4）或（4，12）5已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，1），B （4，3）（1）求拋物線的函數(shù)解析式；（2）求tanABO的值；（3）過(guò)點(diǎn)B作BCx軸，垂足為C，在對(duì)稱軸的左側(cè)且平行于y軸的直線交線段AB于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)M，若四邊形MNCB為平行四邊形，求點(diǎn)M的坐標(biāo)【解答】解：（1）拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，1），B （4，3），解得，所以，拋物線的函數(shù)解析式為y=x2+x+1；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)B作BCx軸于C，過(guò)點(diǎn)A作ADOB于D，A（

16、0，1），B （4，3），OA=1，OC=4，BC=3，根據(jù)勾股定理，OB=5，OAD+AOD=90，AOD+BOC=90，OAD=BOC，又ADO=OCB=90，AODOBC，=，即=，解得OD=，AD=，BD=OBOD=5=，tanABO=；（3）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b（k0，k、b是常數(shù)），則，解得，所以，直線AB的解析式為y=x+1，設(shè)點(diǎn)M（a，a2+a+1），N（a，a+1），則MN=a2+a+1a1=a2+4a，四邊形MNCB為平行四邊形，MN=BC，a2+4a=3，整理得，a24a+3=0，解得a1=1，a2=3，MN在拋物線對(duì)稱軸的左側(cè)，拋物線的對(duì)稱軸為直線x=，a=

17、1，12+1+1=，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，）6如圖1，已知拋物線的方程C1：y=（x+2）（xm）（m0）與x軸交于點(diǎn)B、C，與y軸交于點(diǎn)E，且點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)（1）若拋物線C1過(guò)點(diǎn)M（2，2），求實(shí)數(shù)m的值；（2）在（1）的條件下，求BCE的面積；（3）在（1）的條件下，在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)H，使得BH+EH最小，求出點(diǎn)H的坐標(biāo)；（4）在第四象限內(nèi)，拋物線C1上是否存在點(diǎn)F，使得以點(diǎn)B、C、F為頂點(diǎn)的三角形與BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【解答】解：（1）將x=2，y=2代入拋物線的解析式得：4（2m）=2，解得：m=4，經(jīng)檢驗(yàn)：m=4是分式方程的解m的值為4（2）y=0

18、得：0=（x+2）（xm），解得x=2或x=m，B（2，0），C（m，0）由（1）得：m=4，C（4，0）將x=0代入得：y=2（m）=2，E（0，2）BC=6，OE=2SBCE=BCOE=62=6（3）如圖1所示：連接EC交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)H，連接BH，設(shè)對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為Px=，拋物線的對(duì)稱軸是直線x=1CP=3點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于x=1對(duì)稱，BH=CHBH+EH=EH+HC當(dāng)H落在線段EC上時(shí)，BH+EH的值最小HPOE，PHCEOC，即解得HP=點(diǎn)H的坐標(biāo)為（1，）（4）如圖2，過(guò)點(diǎn)B作EC的平行線交拋物線于F，過(guò)點(diǎn)F作FFx軸于FBFEC，BCE=FBC當(dāng)，即BC2=CEBF時(shí)，BCE

19、FBC設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（x，（x+2）（xm），由，得解得x=m+2F（m+2，0）BCE=FBC，得，解得：又BC2=CEBF，整理得：0=16此方程無(wú)解如圖3，作CBF=45交拋物線于F，過(guò)點(diǎn)F作FFx軸于F，OE=OB，EOB=90，EBO=45CBF=45，EBC=CBF，當(dāng)，即BC2=BEBF時(shí)，BCEBFC在RtBFF中，由FF=BF，得（x+2）（xm）=x+2，解得x=2mF（2m，0）BF=2m+2，BF=2m+2由BC2=BEBF，得（m+2）2=2（2m+2）解得m0，m=2+2綜上所述，點(diǎn)m的值為2+27如圖，已知拋物線y=x2（b+1）x+（b是實(shí)數(shù)且b2）與x軸的正半

20、軸分別交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸的正半軸交于點(diǎn)C（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為（b，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，）（用含b的代數(shù)式表示）；（2）請(qǐng)你探索在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使得四邊形PCOB的面積等于2b，且PBC是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）請(qǐng)你進(jìn)一步探索在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使得QCO，QOA和QAB中的任意兩個(gè)三角形均相似（全等可作相似的特殊情況）？如果存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【解答】解：（1）令y=0，即y=x2（b+1）x+=0，解得：x=1或b，b是實(shí)數(shù)且b2，點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)，點(diǎn)B的坐標(biāo)

21、為（b，0），令x=0，解得：y=，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，），故答案為：（b，0），（0，）；（2）存在，假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P，使得四邊形PCOB的面積等于2b，且PBC是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），連接OP則S四邊形PCOB=SPCO+SPOB=x+by=2b，x+4y=16過(guò)P作PDx軸，PEy軸，垂足分別為D、E，PEO=EOD=ODP=90四邊形PEOD是矩形EPD=90EPC=DPBPECPDB，PE=PD，即x=y由解得由PECPDB得EC=DB，即=b，解得b=2符合題意P的坐標(biāo)為（，）；（3）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)Q，使得QCO，QOA和QAB中的任意兩個(gè)三角

22、形均相似QAB=AOQ+AQO，QABAOQ，QABAQO要使QOA與QAB相似，只能QAO=BAQ=90，即QAx軸b2，ABOA，Q0AABQ只能AOQ=AQB此時(shí)OQB=90，由QAx軸知QAy軸COQ=OQA要使QOA與OQC相似，只能QCO=90或OQC=90（I）當(dāng)OCQ=90時(shí)，CQOQOAAQ=CO=由AQ2=OAAB得：（）2=b1解得：b=84b2，b=8+4點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（1，2+）（II）當(dāng)OQC=90時(shí)，OCQQOA，=，即OQ2=OCAQ又OQ2=OAOB，OCAQ=OAOB即AQ=1b解得：AQ=4，此時(shí)b=172符合題意，點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（1，4）綜上可知，存在點(diǎn)Q（1，2+）或Q（1，4），使得QCO，QOA和QAB中的任意兩個(gè)三角形均相似8如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)B（1，0），C（3，0