初中三年常用的數(shù)學(xué)模型大匯總

1、.1 全等變換平移：平行等線段（平行四邊形）。對(duì)稱：角平分線或垂直或半角。旋轉(zhuǎn)：相鄰等線段繞公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)。2 對(duì)稱全等模型說明：以角平分線為軸在角兩邊進(jìn)行截長(zhǎng)補(bǔ)短或者作邊的垂線，形成對(duì)稱全等。兩邊進(jìn)行邊或者角的等量代換，產(chǎn)生聯(lián)系。垂直也可以做為軸進(jìn)行對(duì)稱全等。3 對(duì)稱半角模型精品.說明：上圖依次是45、30、22.5、15及有一個(gè)角是30直角三角形的對(duì)稱（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等邊三角形、對(duì)稱全等。4 旋轉(zhuǎn)全等模型半角：有一個(gè)角含1/2角及相鄰線段。自旋轉(zhuǎn)：有一對(duì)相鄰等線段，需要構(gòu)造旋轉(zhuǎn)全等。共旋轉(zhuǎn)：有兩對(duì)相鄰等線段，直接尋找旋轉(zhuǎn)全等。中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)：倍長(zhǎng)中點(diǎn)相關(guān)線段轉(zhuǎn)換成旋轉(zhuǎn)全等

2、問題。5 旋轉(zhuǎn)半角模型說明：旋轉(zhuǎn)半角的特征是相鄰等線段所成角含一個(gè)二分之一角，通過旋轉(zhuǎn)將另外兩個(gè)和為二分之一的角拼接在一起，成對(duì)稱全等。精品.6 自旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造方法：遇60度旋60度，造等邊三角形；遇90度旋90度，造等腰直角；遇等腰旋頂點(diǎn)，造旋轉(zhuǎn)全等；遇中點(diǎn)旋180度，造中心對(duì)稱。7 共旋轉(zhuǎn)模型精品.說明：旋轉(zhuǎn)中所成的全等三角形，第三邊所成的角是一個(gè)經(jīng)?？疾斓膬?nèi)容。通過“8”字模型可以證明。8 模型變形 說明：模型變形主要是兩個(gè)正多邊形或者等腰三角形的夾角的變化，另外是等腰直角三角形與正方形的混用。精品.當(dāng)遇到復(fù)雜圖形找不到旋轉(zhuǎn)全等時(shí)，先找兩個(gè)正多邊形或者等腰三角形的公共頂點(diǎn)，圍繞公共頂點(diǎn)找

3、到兩組相鄰等線段，分組組成三角形證全等。9 中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)模型說明：兩個(gè)正方形、兩個(gè)等腰直角三角形或者一個(gè)正方形一個(gè)等腰直角三角形及兩個(gè)圖形頂點(diǎn)連線的中點(diǎn)，證明另外兩個(gè)頂點(diǎn)與中點(diǎn)所成圖形為等腰直角三角形。證明方法是倍長(zhǎng)所要證等腰直角三角形的一直角邊，轉(zhuǎn)化成要證明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋轉(zhuǎn)頂點(diǎn)，通過證明旋轉(zhuǎn)全等三角形證明倍長(zhǎng)后的大三角形為等腰直角三角形從而得證。精品.10 幾何最值模型對(duì)稱最值(兩點(diǎn)間線段最短)對(duì)稱最值(點(diǎn)到直線垂線段最短)說明：通過對(duì)稱進(jìn)行等量代換，轉(zhuǎn)換成兩點(diǎn)間距離及點(diǎn)到直線距離。精品.旋轉(zhuǎn)最值(共線有最值)說明：找到與所要求最值相關(guān)成三角形的兩個(gè)定長(zhǎng)

4、線段，定長(zhǎng)線段的和為最大值，定長(zhǎng)線段的差為最小值。11 簡(jiǎn)拼模型三角形四邊形四邊形四邊形精品.說明：剪拼主要是通過中點(diǎn)的180度旋轉(zhuǎn)及平移改變圖形的形狀。矩形正方形說明：通過射影定理找到正方形的邊長(zhǎng)，通過平移與旋轉(zhuǎn)完成形狀改變正方形+等腰直角三角形正方形精品.面積等分旋轉(zhuǎn)相似模型說明：兩個(gè)等腰直角三角形成旋轉(zhuǎn)全等，兩個(gè)有一個(gè)角是300角的直角三角形成旋轉(zhuǎn)相似。推廣：兩個(gè)任意相似三角形旋轉(zhuǎn)成一定角度，成旋轉(zhuǎn)相似。第三邊所成夾角符合旋轉(zhuǎn)“8”字的規(guī)律。精品.相似模型說明：注意邊和角的對(duì)應(yīng)，相等線段或者相等比值在證明相似中起到通過等量代換來構(gòu)造相似三角形的作用。說明：（1）三垂直到一線三等角的演變，

5、三等角以30度、45度、60度形式出現(xiàn)的居多。（2）內(nèi)外角平分線定理到射影定理的演變，注意之間的相同與不同之處。另外，相似、射影定理、相交弦定理（可以推廣到圓冪定理）之間的比值可以轉(zhuǎn)換成乘積，通過等線段、等比值、等乘積進(jìn)行代換，進(jìn)行證明得到需要的結(jié)論。精品.說明：相似證明中最常用的輔助線是作平行，根據(jù)題目的條件或者結(jié)論的比值來作相應(yīng)的平行線。精品.精品.精品.精品.精品.精品.精品.中點(diǎn)模型【模型1】倍長(zhǎng)1、 倍長(zhǎng)中線；2、倍長(zhǎng)類中線；3、中點(diǎn)遇平行延長(zhǎng)相交【模型2】遇多個(gè)中點(diǎn)，構(gòu)造中位線1、 直接連接中點(diǎn)；2、連對(duì)角線取中點(diǎn)再相連 【例】在菱形abcd和正三角形bef中，abc=60，g是df的中點(diǎn)，連接gc、ge（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)e在bc邊上時(shí)，若ab=10，bf=4，求ge的長(zhǎng)；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)f在ab的延長(zhǎng)線上時(shí)，線段gc、ge有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系，寫出你的猜想；并給予證明；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)f在cb的延長(zhǎng)線上時(shí)，(2)問中關(guān)系還成立嗎？寫出你的猜想，并給予證明.精品.角平分線模型【模型1】構(gòu)造軸對(duì)稱【模型2】角平分線遇平行構(gòu)造等腰三角形【例】如圖，平行四邊形abcd中，ae平分bad交bc邊于e，efae交cd邊于f，交ad邊于h，延長(zhǎng)ba到點(diǎn)g，使ag=cf，連接gf若bc=7，df=3，eh=3ae，則gf的長(zhǎng)為手拉手模型精品.鄰邊相等