第二十三講圓與圓

1、.第二十三講 圓與圓 圓與圓的位置關(guān)系有外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含五種情形，判定兩圓的位置關(guān)系有如下三種方法： 1通過兩圓交點的個數(shù)確定； 2通過兩圓的半徑與圓心距的大小量化確定； 3通過兩圓的公切線的條數(shù)確定 為了溝通兩圓，常常添加與兩圓都有聯(lián)系的一些線段，如公共弦、共切線、連心線，以及兩圓公共部分相關(guān)的角和線段，這是解圓與圓位置關(guān)系問題的常用輔助線 熟悉以下基本圖形、基本結(jié)論：【例題求解】【例1】 如圖，ol與半徑為4的o2內(nèi)切于點a，ol經(jīng)過圓心o2，作o2的直徑bc交ol于點d，ef為過點a的公切線，若o2d=，那么baf= 度 思路點撥 直徑、公切線、o2的特殊位置等，隱含豐富的信

2、息，而連o2ol必過a點，先求出d o2a的度數(shù)注：(1)兩圓相切或相交時，公切線或公共弦是重要的類似于“橋梁”的輔助線，它可以使弦切角與圓周角、圓內(nèi)接四邊形的內(nèi)角與外角得以溝通同時，又是生成圓冪定理的重要因素(2)涉及兩圓位置關(guān)系的計算題，常作半徑、連心線，結(jié)合切線性質(zhì)等構(gòu)造直角三角形，將分散的條件集中，通過解直角三角形求解 【例2】 如圖，ol與o2外切于點a，兩圓的一條外公切線與o1相切于點b，若ab與兩圓的另一條外公切線平行，則ol 與o2的半徑之比為( ) a2：5 b1：2 c1：3 d2：3 思路點撥 添加輔助線，要探求兩半徑之間的關(guān)系，必須求出colo2 (或do2ol)的度數(shù)

3、，為此需尋求co1b、co1a、bo1a的關(guān)系【例3】 如圖，已知ol與o2相交于a、b兩點，p是ol上一點，pb的延長線交o2于點c，pa交精品.o2于點d，cd的延長線交ol于點n (1)過點a作aecn交oll于點e，求證：pa=pe； (2)連結(jié)pn，若pb=4，bc=2，求pn的長 思路點撥 (1)連ab，充分運用與圓相關(guān)的角，證明pae=pea；(2)pbpc=pdpa，探尋pn、pd、pa對應(yīng)三角形的聯(lián)系【例4】 如圖，兩個同心圓的圓心是o，ab是大圓的直徑，大圓的弦與小圓相切于點d，連結(jié)od并延長交大圓于點e，連結(jié)be交ac于點f，已知ac=，大、小兩圓半徑差為2 (1)求大圓

4、半徑長； (2)求線段bf的長； (3)求證：ec與過b、f、c三點的圓相切 思路點撥 (1)設(shè)大圓半徑為r，則小圓半徑為r-2，建立r的方程；(2)證明ebcecf；(3)過b、f、c三點的圓的圓心o，必在bf上，連oc，證明oce=90注：本例以同心圓為背景，綜合了垂徑定理、直徑所對的圓周角為直角、切線的判定、勾股定理、相似三角形等豐富的知識作出圓中基本輔助線、運用與圓相關(guān)的角是解本例的關(guān)鍵 【例5】 如圖，aob是半徑為1的單位圓的四分之一，半圓o1的圓心o1在oa上，并與弧ab內(nèi)切于點a，半圓o2的圓心o2在ob上，并與弧ab內(nèi)切于點b，半圓o1與半圓o2相切，設(shè)兩半圓的半徑之和為，面

5、積之和為 (1)試建立以為自變量的函數(shù)的解析式； (2)求函數(shù)的最小值 思路點撥 設(shè)兩圓半徑分別為r、r，對于(1)，通過變形把r2+r2用“=r+r”的代數(shù)式表示，作出基本輔助線；對于(2)，因=r+r，故是在約束條件下求的最小值，解題的關(guān)鍵是求出r+r的取值范圍精品.注：如圖，半徑分別為r、r的ol 、o2外切于c，ab，cm分別為兩圓的公切線，olo2與ab交于p點，則： (1)ab=2； (2) acb=ol m o2=90；(3)pc2=papb； (4)sinp=； (5)設(shè)c到ab的距離為d，則 學(xué)力訓(xùn)練1已知：ol和o2交于a、b兩點，且ol經(jīng)過點o2，若aolb=90，則a

6、o2b的度數(shù)是 2矩形abcd中，ab=5，bc=12，如果分別以a、c為圓心的兩圓相切，點d在圓c內(nèi)，點b在圓c外，那么圓a的半徑r的取值范圍 (2003年上海市中考題)3如圖；ol 、o2相交于點a、b，現(xiàn)給出4個命題： (1)若ac是o2的切線且交ol于點c，ad是ol的切線且交o2于點d，則ab2=bcbd； (2)連結(jié)ab、olo2，若ola=15cm，o2a=20cm，ab=24cm，則olo2=25cm； (3)若ca是ol的直徑，da是o2 的一條非直徑的弦，且點d、b不重合，則c、b、d三點不在同一條直線上，(4)若過點a作ol的切線交o2于點d，直線db交ol于點c，直線c

7、a 交o2于點e，連結(jié)de，則de2=dbdc，則正確命題的序號是 (寫出所有正確命題的序號) 4如圖，半圓o的直徑ab=4，與半圓o內(nèi)切的動圓ol與ab切于點m，設(shè)ol的半徑為，am的長為，則與的函數(shù)關(guān)系是 ，自變量的取值范圍是 5如圖，施工工地的水平地面上，有三根外徑都是1米的水泥管兩兩相切摞在一起，則其最高點到地面的距離是( ) a2 b c d6如圖，已知ol、o2相交于a、b兩點，且點ol在o2上，過a作oll的切線ac交b ol的延長線于點p，交精品.o2于點c，bp交ol于點d，若pd=1，pa=，則ac的長為( ) a b c d7如圖，ol和o2外切于a，pa是內(nèi)公切線，bc

8、是外公切線，b、c是切點pb=ab；pba=pab；pabolab；pbpc=olao2a上述結(jié)論，正確結(jié)論的個數(shù)是( ) a1 b2 c3 d4 8兩圓的半徑分別是和r (rr)，圓心距為d，若關(guān)于的方程有兩個相等的實數(shù)根，則兩圓的位置關(guān)系是( ) a一定內(nèi)切 b一定外切 c相交 d內(nèi)切或外切9如圖，ol和o2內(nèi)切于點p，過點p的直線交ol于點d，交o2于點e，da與o2相切，切點為c（1）求證：pc平分apd； (2)求證：pdpa=pc2+acdc； (3)若pe=3，pa=6，求pc的長10如圖，已知ol和o2外切于a，bc是ol和o2的公切線，切點為b、c，連結(jié)ba并延長交ol于d，

9、過d點作cb的平行線交o2于e、f，求證：(1)cd是ol的直徑；(2)試判斷線段bc、be、bf的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論 11如圖，已知a是ol、o2的一個交點，點m是 olo2的中點，過點a的直線bc垂直于ma，分別交ol、o2于b、c (1)求證：ab=ac； (2)若ol a切o2于點a，弦ab、ac的弦心距分別為dl、d2，求證：dl+d2=o1o2； (3)在(2)的條件下，若dld2=1，設(shè)ol、o2的半徑分別為r、r，求證：r2+r2= r2r2精品.12已知半徑分別為1和2的兩個圓外切于點p，則點p到兩圓外公切線的距離為 13如圖，7根圓形筷子的橫截面圓半徑為r，則捆扎這7

10、根筷子一周的繩子的長度為 14如圖，ol和o2內(nèi)切于點p，o2的弦ab經(jīng)過ol的圓心ol，交ol于c、d，若ac：cd：db=3：4：2，則ol與o2的直徑之比為( ) a2：7 b2：5 c2：3 d 1：3 15如圖，ol與o2相交，p是ol上的一點，過p點作兩圓的切線，則切線的條數(shù)可能是( )a1，2 b1，3 c1，2，3 d1，2，3，4 16如圖，相等兩圓交于a、b兩點，過b任作一直線交兩圓于m、n，過m、n各引所在圓的切線相交于c，則四邊形amcn有下面關(guān)系成立( ) a有內(nèi)切圓無外接圓 b有外接圓無內(nèi)切圓 c既有內(nèi)切圓，也有外接圓 d以上情況都不對 17已知：如圖，o與相交于a

11、，b兩點，點p在o上，o的弦ac切p于點a，cp及其延長線交p p于點d，e，過點e作efce交cb的延長線于f（1）求證：bc是p的切線； (2)若cd=2，cb=，求ef的長； (3)若k=pe：ce，是否存在實數(shù)k，使pbd恰好是等邊三角形?若存在，求出是的值；若不存在，請說明理由 精品.18如圖，a和b是外離兩圓，a的半徑長為2，b的半徑長為1，ab=4，p為連接兩圓圓心的線段ab上的一點，pc切a于點c，pd切b于點d (1)若pc=pd，求pb的長； (2)試問線段ab上是否存在一點p，使pc2+pd2=4？，如果存在，問這樣的p點有幾個?并求出pb的值；如果不存在，說明理由； (

12、3)當(dāng)點f在線段ab上運動到某處，使pcpd時，就有apcpbd 請問：除上述情況外，當(dāng)點p在線段ab上運動到何處(說明pb的長為多少，或pc、pd具有何種關(guān)系)時，這兩個三角形仍相似；并判斷此時直線cp與ob的位置關(guān)系，證明你的結(jié)論 19如圖，d、e是abc邊bc上的兩點，f是ba延長線上一點，dae=caf (1)判斷abd的外接圓與aec的外接圓的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)若abd的外接圓半徑是aec的外接圓半徑的2倍，bc=6，ab=4，求be的長 20問題：要將一塊直徑為2cm的半圓形鐵皮加工成一個圓柱的兩個底面和一個圓錐的底面 操作：方案一：在圖甲中，設(shè)計一個使圓錐底面最大，半圓形鐵皮得以最充分利用的方案(要求，畫示意圖) 方案二；在圖乙中，設(shè)計一個使圓