2019_2020版高中數(shù)學(xué)第三章空間向量與立體幾何3.1.4空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示課件新人教A版選修.pptx

1、3.1.4空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示,【思考1】平面向量基本定理的內(nèi)容是什么? 答案如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1,2,使a=1e1+2e2,其中,不共線的e1,e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底. 1.空間向量基本定理 如果空間三個(gè)向量a,b,c不共面,那么對(duì)于空間任一向量p,存在有序?qū)崝?shù)組x,y,z,使得p=xa+yb+zc.其中a,b,c叫做空間的一個(gè)基底,a,b,c都叫做基向量.,【做一做1】 在三棱柱ABC-A1B1C1中,可以作為空間向量一組基底的是(),答案C,【思考2】平面向量的坐標(biāo)是如何表示的? 答案在

2、平面直角坐標(biāo)系中,分別取與x軸,y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i,j作為基底,對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x,y,使a=xi+yj,這樣,平面內(nèi)的任一向量a都可由x,y唯一確定,我們把有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)叫做向量a的坐標(biāo),記作a=(x,y),其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo),y叫做a在y軸上的坐標(biāo).,【做一做2】 判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)打“”,錯(cuò)誤的打“”. (1)空間向量的基底是唯一的.() (2)若a,b,c是空間向量的一組基底,則a,b,c均為非零向量.() (4)若a,b,c是空間的一個(gè)基底,且存在實(shí)數(shù)x,y,z使得xa+yb+zc=0,則

3、有x=y=z=0.() 答案(1)(2)(3)(4),2.空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示 (1)單位正交基底 三個(gè)有公共起點(diǎn)的兩兩垂直的單位向量e1,e2,e3稱為單位正交基底. (2)空間直角坐標(biāo)系 以e1,e2,e3的公共起點(diǎn)O為原點(diǎn),分別以e1,e2,e3的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz. (3)空間向量的坐標(biāo)表示 對(duì)于空間任意一個(gè)向量p,一定可以把它平移,使它的起點(diǎn)與原點(diǎn)O重合,得到向量 =p,由空間向量基本定理可知,存在有序?qū)崝?shù)組x,y,z,使得p=xe1+ye2+ze3.把x,y,z稱作向量p在單位正交基底e1,e2,e3下的坐標(biāo),記作p=(x,y,z),

4、即點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y,z).,答案C 【做一做4】 若a=3e1+2e2-e3,且e1,e2,e3為空間的一個(gè)單位正交基底,則a的坐標(biāo)為. 答案(3,2,-1),探究一,探究二,探究三,當(dāng)堂檢測(cè),探究一基底的判斷 例1 (1)設(shè)x=a+b,y=b+c,z=c+a,且a,b,c是空間的一個(gè)基底,給出下列向量組:a,b,x,x,y,z,b,c,z,x,y,a+b+c.其中可以作為空間一個(gè)基底的向量組有() A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè),探究一,探究二,探究三,當(dāng)堂檢測(cè),解析,答案C,探究一,探究二,探究三,當(dāng)堂檢測(cè),反思感悟基底判斷的基本思路及方法 (1)基本思路:判斷三個(gè)空間向量是否

5、共面,若共面,則不能構(gòu)成基底;若不共面,則能構(gòu)成基底. (2)方法:如果向量中存在零向量,則不能作為基底;如果存在一個(gè)向量可以用另外的向量線性表示,則不能構(gòu)成基底. 假設(shè)a=b+c,運(yùn)用空間向量基本定理,建立,的方程組,若有解,則共面,不能作為基底;若無解,則不共面,能作為基底.,探究一,探究二,探究三,當(dāng)堂檢測(cè),變式訓(xùn)練1若a,b,c是空間的一個(gè)基底,試判斷a+b,b+c,c+a能否作為空間的一個(gè)基底. 解假設(shè)a+b,b+c,c+a共面,則存在實(shí)數(shù),使得a+b=(b+c)+(c+a),即a+b=a+b+(+)c. a,b,c是空間的一個(gè)基底,a,b,c不共面.,即不存在實(shí)數(shù),使得a+b=(b

6、+c)+(c+a), a+b,b+c,c+a不共面. 故a+b,b+c,c+a能作為空間的一個(gè)基底.,探究一,探究二,探究三,當(dāng)堂檢測(cè),探究二用基底表示空間向量,思路分析利用圖形尋找待求向量與a,b,c的關(guān)系利用向量運(yùn)算進(jìn)行分拆直至向量用a,b,c表示,探究一,探究二,探究三,當(dāng)堂檢測(cè),探究一,探究二,探究三,當(dāng)堂檢測(cè),反思感悟用基底表示空間向量的解題策略 1.空間中,任一向量都可以用一組基底表示,且只要基底確定,則表示形式是唯一的. 2.用基底表示空間向量時(shí),一般要結(jié)合圖形,運(yùn)用向量加法、減法的平行四邊形法則、三角形法則,以及數(shù)乘向量的運(yùn)算法則,逐步向基向量過渡,直至全部用基向量表示. 3.

7、在空間幾何體中選擇基底時(shí),通常選取公共起點(diǎn)最集中的向量或關(guān)系最明確的向量作為基底,例如,在正方體、長(zhǎng)方體、平行六面體、四面體中,一般選用從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱所對(duì)應(yīng)的向量作為基底.,探究一,探究二,探究三,當(dāng)堂檢測(cè),答案B,探究一,探究二,探究三,當(dāng)堂檢測(cè),探究三空間向量的坐標(biāo)表示,探究一,探究二,探究三,當(dāng)堂檢測(cè),探究一,探究二,探究三,當(dāng)堂檢測(cè),反思感悟用坐標(biāo)表示空間向量的步驟如下:,探究一,探究二,探究三,當(dāng)堂檢測(cè),探究一,探究二,探究三,當(dāng)堂檢測(cè),探究一,探究二,探究三,當(dāng)堂檢測(cè),思維辨析 一題多解空間向量的坐標(biāo)表示,典例如圖所示,PA垂直于正方形ABCD所在的平面,點(diǎn)M,N分別是AB,PC的中點(diǎn),并且PA=AB=1.試建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,求向量 的坐標(biāo).,探究一,探究二,探究三,當(dāng)堂檢測(cè),探究一,探究二,探究三,當(dāng)堂檢測(cè),探究一,探究二,探究三,當(dāng)堂檢測(cè)