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1、3.1.4空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示,【思考1】平面向量基本定理的內(nèi)容是什么? 答案如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對實數(shù)1,2,使a=1e1+2e2,其中,不共線的e1,e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底. 1.空間向量基本定理 如果空間三個向量a,b,c不共面,那么對于空間任一向量p,存在有序?qū)崝?shù)組x,y,z,使得p=xa+yb+zc.其中a,b,c叫做空間的一個基底,a,b,c都叫做基向量.,【做一做1】 在三棱柱ABC-A1B1C1中,可以作為空間向量一組基底的是(),答案C,【思考2】平面向量的坐標(biāo)是如何表示的? 答案在
2、平面直角坐標(biāo)系中,分別取與x軸,y軸方向相同的兩個單位向量i,j作為基底,對于平面內(nèi)的一個向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一對實數(shù)x,y,使a=xi+yj,這樣,平面內(nèi)的任一向量a都可由x,y唯一確定,我們把有序?qū)崝?shù)對(x,y)叫做向量a的坐標(biāo),記作a=(x,y),其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo),y叫做a在y軸上的坐標(biāo).,【做一做2】 判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)打“”,錯誤的打“”. (1)空間向量的基底是唯一的.() (2)若a,b,c是空間向量的一組基底,則a,b,c均為非零向量.() (4)若a,b,c是空間的一個基底,且存在實數(shù)x,y,z使得xa+yb+zc=0,則
3、有x=y=z=0.() 答案(1)(2)(3)(4),2.空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示 (1)單位正交基底 三個有公共起點的兩兩垂直的單位向量e1,e2,e3稱為單位正交基底. (2)空間直角坐標(biāo)系 以e1,e2,e3的公共起點O為原點,分別以e1,e2,e3的方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz. (3)空間向量的坐標(biāo)表示 對于空間任意一個向量p,一定可以把它平移,使它的起點與原點O重合,得到向量 =p,由空間向量基本定理可知,存在有序?qū)崝?shù)組x,y,z,使得p=xe1+ye2+ze3.把x,y,z稱作向量p在單位正交基底e1,e2,e3下的坐標(biāo),記作p=(x,y,z),
4、即點P的坐標(biāo)為(x,y,z).,答案C 【做一做4】 若a=3e1+2e2-e3,且e1,e2,e3為空間的一個單位正交基底,則a的坐標(biāo)為. 答案(3,2,-1),探究一,探究二,探究三,當(dāng)堂檢測,探究一基底的判斷 例1 (1)設(shè)x=a+b,y=b+c,z=c+a,且a,b,c是空間的一個基底,給出下列向量組:a,b,x,x,y,z,b,c,z,x,y,a+b+c.其中可以作為空間一個基底的向量組有() A.1個 B.2個 C.3個 D.4個,探究一,探究二,探究三,當(dāng)堂檢測,解析,答案C,探究一,探究二,探究三,當(dāng)堂檢測,反思感悟基底判斷的基本思路及方法 (1)基本思路:判斷三個空間向量是否
5、共面,若共面,則不能構(gòu)成基底;若不共面,則能構(gòu)成基底. (2)方法:如果向量中存在零向量,則不能作為基底;如果存在一個向量可以用另外的向量線性表示,則不能構(gòu)成基底. 假設(shè)a=b+c,運用空間向量基本定理,建立,的方程組,若有解,則共面,不能作為基底;若無解,則不共面,能作為基底.,探究一,探究二,探究三,當(dāng)堂檢測,變式訓(xùn)練1若a,b,c是空間的一個基底,試判斷a+b,b+c,c+a能否作為空間的一個基底. 解假設(shè)a+b,b+c,c+a共面,則存在實數(shù),使得a+b=(b+c)+(c+a),即a+b=a+b+(+)c. a,b,c是空間的一個基底,a,b,c不共面.,即不存在實數(shù),使得a+b=(b
6、+c)+(c+a), a+b,b+c,c+a不共面. 故a+b,b+c,c+a能作為空間的一個基底.,探究一,探究二,探究三,當(dāng)堂檢測,探究二用基底表示空間向量,思路分析利用圖形尋找待求向量與a,b,c的關(guān)系利用向量運算進(jìn)行分拆直至向量用a,b,c表示,探究一,探究二,探究三,當(dāng)堂檢測,探究一,探究二,探究三,當(dāng)堂檢測,反思感悟用基底表示空間向量的解題策略 1.空間中,任一向量都可以用一組基底表示,且只要基底確定,則表示形式是唯一的. 2.用基底表示空間向量時,一般要結(jié)合圖形,運用向量加法、減法的平行四邊形法則、三角形法則,以及數(shù)乘向量的運算法則,逐步向基向量過渡,直至全部用基向量表示. 3.
7、在空間幾何體中選擇基底時,通常選取公共起點最集中的向量或關(guān)系最明確的向量作為基底,例如,在正方體、長方體、平行六面體、四面體中,一般選用從同一頂點出發(fā)的三條棱所對應(yīng)的向量作為基底.,探究一,探究二,探究三,當(dāng)堂檢測,答案B,探究一,探究二,探究三,當(dāng)堂檢測,探究三空間向量的坐標(biāo)表示,探究一,探究二,探究三,當(dāng)堂檢測,探究一,探究二,探究三,當(dāng)堂檢測,反思感悟用坐標(biāo)表示空間向量的步驟如下:,探究一,探究二,探究三,當(dāng)堂檢測,探究一,探究二,探究三,當(dāng)堂檢測,探究一,探究二,探究三,當(dāng)堂檢測,思維辨析 一題多解空間向量的坐標(biāo)表示,典例如圖所示,PA垂直于正方形ABCD所在的平面,點M,N分別是AB,PC的中點,并且PA=AB=1.試建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,求向量 的坐標(biāo).,探究一,探究二,探究三,當(dāng)堂檢測,探究一,探究二,探究三,當(dāng)堂檢測,探究一,探究二,探究三,當(dāng)堂檢測
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