波利亞怎樣解題實例分析

1、怎樣解題一、熟悉問題1、未知是什么？2、已知是什么？3、你能復述它嗎？二、尋找解題方法1、以前做過類似的題嗎？可以仿照以前的解題過程寫出此題嗎？2、與未知已知相關(guān)的定理、公式、法則、概念都有什么？這道題是相關(guān)的定理、公式、法則、概念的直接應用嗎？3、你能對條件按所屬類型重新分組和組合嗎？4、你能利用已知和所屬的定理、公式、法則、概念向未知轉(zhuǎn)化嗎？5、根據(jù)與未知相關(guān)的定理、公式、法則、概念，你能發(fā)現(xiàn)得到未知的方法嗎？有必要引入輔助元素或定理、公式、法則、概念嗎？若不能解題，可考慮：1、已知條件都用上了嗎？2、能不能得到一個比較特殊的情況？三、書寫過程1、你能按步驟寫出你的分析過程嗎？2、你所寫的

2、步驟都正確嗎？四、總結(jié)與回顧1、以前做過同類型的題嗎？它與同類型的其它題有什么異同？2、以前沒有解過同類型的題，這種類型的題有什么特點呢？3、解題過程能簡化嗎？例1、已知：如圖，在ABC中，AB=AC求證：B=C分析：問題1、未知是什么？你能復述它嗎？答：B=C問題2、已知是什么？你能復述它嗎？答：在三角形ABC中，AB=AC問題3、以前做過類似的題嗎？答：似乎沒有。問題4、與已知相關(guān)的定理有什么？能不能直接用公式？答：似乎沒有。不能直接用定理解出此題。問題5、你能對條件按所屬類型重新分組和組合嗎？答：此題條件只有一個，似乎不能直接重新分組。問題6、你能利用已知和所屬的定理、公式、法則、概念向

3、未知轉(zhuǎn)化嗎？答：似乎不能。問題7、根據(jù)與未知相關(guān)的定理、公式、法則、概念，你能發(fā)現(xiàn)得到未知的方法嗎？有必要引入輔助元素或定理、公式、法則、概念嗎？答：1、未知是求B=C，在以前學過的定理中有根據(jù)平行線證角相等、利用角平分線證角相等、利用度數(shù)證角相等、利用全等三角形證角相等。由于這些都沒有出現(xiàn)，是不是能引入輔助元素？觀察B、C所處的位置，平行線、角平分線都不合適、角的度數(shù)沒有出現(xiàn)，考慮運用全等三角形來解此題。但此題中B、C處在同一個三角形中，需要將此兩角放入到兩個不同的三角形中，需引入一條線將此三角形分成兩個三角形，并將B、C分別處于兩個三角形中，可在A點引下一條線與BC相交。2、新問題出現(xiàn)了：

4、如何證明ABDACD？答：已知中含有AB=AC，從圖中可得AD=AD，尚缺少一個條件。3、新問題：加入什么條件就可以了？答：BAD=CAD，可利用角邊角進行判定?；駼D=CD，可利用邊邊邊進行判定。或ADBC，可利用直角三角形的全等的判定進行判定。4、新問題：如何實現(xiàn)？答：在做線的時候可以利用做圖做出其中的某一個條件。如做角A的角平分線，或做BC邊上的中線，或做BC的垂線。到此，此題可解。問題8、如何書寫過程？答：先寫線的做法，然后寫全等證明，最后得到未知求證。問題9、解題過程能簡化嗎？答：尚無更簡化方法。問題10、以前沒有解過同類型的題，這種類型的題有什么特點呢？答：此題條件少，沒有直接出現(xiàn)

5、三角形，需要構(gòu)造出三角形求解?？傻玫揭粋€結(jié)論：利用三角形全等證明一個圖形中的兩角相等進可行的。要求是要將此兩角放到兩個三角形中，然后找全等的條件。例2、求二次函數(shù)y=-3x2-6x+5的圖象的頂點坐標。問題1、未知是什么？你能復述它嗎？答：二次函數(shù)圖象的頂點坐標。問題2、已知是什么？你能復述它嗎？答：二次函數(shù)解析式y(tǒng)=-3x2-6x+5問題3、以前做過類似的題嗎？答：做過。問題4、與已知相關(guān)的定理有什么？能不能直接用公式？答： 能直接運用公式（，）求解。問題5、以前沒有解過同類型的題，這種類型的題有什么特點呢？答：此類題型主要考查對二次函數(shù)的頂點坐標的掌握情況，以及準確的計算能力。例3、已知：

6、如圖，在ABC中， AB=5，AC=3，D為BC中點，求AD取值范圍。問題1、未知是什么？你能復述它嗎？答：求AD的取值范圍。問題2、已知是什么？你能復述它嗎？答：在ABC中， AB=5，AC=3，D為BC中點問題3、以前做過類似的題嗎？答：沒有。問題4、與已知相關(guān)的定理有什么？能不能直接用公式？答：我知道三角形三邊關(guān)系：三角形兩邊和大于第三邊，兩邊差小于第三邊。問題5、你能對條件按所屬類型重新分組和組合嗎？答： 條件中兩條邊的邊長分別是AB、AC，所屬三角形為ABC，而所求AD邊長所屬是ACD或ADC。問題6、你能利用已知和所屬的定理、公式、法則、概念向未知轉(zhuǎn)化嗎？答：已知中的邊長為 AB、

7、AC，要想使用三角形三邊關(guān)系，需將AB、AC和AD邊聯(lián)合到一個三角形中。考慮：需移動AB或AC并到AC或AB與AD或包含AD的線段構(gòu)成一角三角形。移動的方法考慮使用全等三角形的方法。延長AD至E，使AD=AE，則可出現(xiàn)ACDEBD，可得AC=BE，則2AE8,可得1AD4。問題7、以前沒有解過同類型的題，這種類型的題有什么特點呢？答：1、有三角形的中線，可構(gòu)造全等三角形。2、當條件分散時，可向定理集中。例4、已知：如圖，ABC中，BF平分ABC，CF平分ACB，EDBC，求證：DE=BE+CD問題1、未知是什么？你能復述它嗎？答：線段DE的長等于EF與FD的和。問題2、已知是什么？你能復述它嗎

8、？答：角平分線BF和CF，平行線DE平行于BC。問題3、以前做過類似的題嗎？答：沒有。問題4、與已知相關(guān)的定理有什么？能不能直接用公式？答： 角分線定理，平行線性質(zhì)。問題5、你能對條件按所屬類型重新分組和組合嗎？答： 從圖中可得，此題角平分線與平行線有重合部分。問題6、你能利用已知和所屬的定理、公式、法則、概念向未知轉(zhuǎn)化嗎？答： 根據(jù)角平分線性質(zhì)，可得CBF=EBF，根據(jù)平行線性質(zhì)可得CBF=EFB，進而可得EFB=CBF，可以得到等腰三角形EBF，可得BE=EF。根椐對稱原則可得CD=FD。進而此題可解。問題7、以前沒有解過同類型的題，這種類型的題有什么特點呢？答：1、有角平分線和平行線，可

9、得等腰三角形。2、求證線段和可以用分段相等的形式得到結(jié)論。例6、已知x=1是一元二次方程x+mx+n=0的一個根，則m+2mn+n的值。問題1、未知是什么？你能復述它嗎？答：代數(shù)式m+2mn+n的值。問題2、已知是什么？你能復述它嗎？答：x=1是一元二次方程x+mx+n=0的一個根。問題3、以前做過類似的題嗎？答：沒有。問題4、與已知相關(guān)的定理有什么？能不能直接用公式？答： 不能直接運用公式求解。問題5、你能對條件按所屬類型重新分組和組合嗎？答： 不能。問題6、你能利用已知和所屬的定理、公式、法則、概念向未知轉(zhuǎn)化嗎？答：根據(jù)方程根的含義可知1+1m+ n = 0，進而可得m+n=0。問題7、根

10、據(jù)與未知相關(guān)的定理、公式、法則、概念，你能發(fā)現(xiàn)得到未知的方法嗎？有必要引入輔助元素或定理、公式、法則、概念嗎？答：根據(jù)因式分解的公式可將未知變形為 m+2mn+n=（m+n），即若知m+n的值可得未知。到此，此題可解。例7、如圖，在四邊形ABCD中，已知ABCD，M、N、P分別是AD，BC的中點，BDC=700，cosABD= ，求NMP的度數(shù)。問題1、未知是什么？你能復述它嗎？答：求NMP的度數(shù)。問題2、已知是什么？你能復述它嗎？答：ABCD，M、N、P分別是AD，BC的中點，BDC=700，cosABD=。問題3、以前做過類似的題嗎？答：沒有。問題4、與已知相關(guān)的定理有什么？能不能直接用公

11、式？答： 相關(guān)的定理有中點現(xiàn)的中位線，由三角函數(shù)可求出相應的角的值；不能直接運用公式求解。問題5、你能對條件按所屬類型重新分組和組合嗎？答：1、由中位線定理可知，AB=2MP；cosABD=可知ABD=300；進而可得MPD=300；2、由中位線定理可知DC=2NP；由BDC=700，可知BPN=700；進而可得NPD=1100；進而可得MPN=1400；3、由中位線定理和已知AB=CD可知MP=NP；進而可知MP=NP；進而可得PMN=PNM。綜合以上因素，可得NMP=MNP=200。到此，此題可解。問題5、以前沒有解過同類型的題，這種類型的題有什么特點呢？答：1、利用一切機會將已知重新分組

12、與組合，可得新的結(jié)論，將新結(jié)論與其它已知相結(jié)合可得更新的結(jié)論，可能能到達終點。2、有中位線，可尋找相等的線段。例8、如圖所示：已知xOy900，點A，B分別在射線Ox，Oy上移動，OAB的內(nèi)角平分線與OBA的外角平分線交于C，求ACB的度數(shù)。問題1、未知是什么？你能復述它嗎？答：求ACB的度數(shù)問題2、已知是什么？你能復述它嗎？答：xOy900，點A，B分別在射線Ox，Oy上移動，OAB的內(nèi)角平分線與OBA的外角平分線交于C問題3、以前做過類似的題嗎？答：似乎沒有。問題4、與已知相關(guān)的定理有什么？能不能直接用公式？答：三角形內(nèi)角和定理，三角形外角定理，角平分線定理。不能直接用定理解出此題。問題5

13、、你能對條件按所屬類型重新分組和組合嗎？答：ABO的外角的度數(shù)與BAO是有關(guān)聯(lián)的，但這中間似乎很亂。清理一下：ABO的外角ABE在度數(shù)上等于（900+OAB），則外角的一半EDB應等于（900+OAB），而ABO應等于（900-OAB），則ABC應等于二者之和：ABC=（900+OAB）+（900-OAB）=（1350-OAB）。問題6、你能利用已知和所屬的定理、公式、法則、概念向未知轉(zhuǎn)化嗎？ 問題7、根據(jù)與未知相關(guān)的定理、公式、法則、概念，你能發(fā)現(xiàn)得到未知的方法嗎？有必要引入輔助元素或定理、公式、法則、概念嗎？答：1、未知是求ACB的度數(shù)，利用三角形內(nèi)角和定理，將未知轉(zhuǎn)化成求式子1800CB

14、ABAC的度數(shù)。2、根據(jù)以上所得，則有ACB=1800CBABAC=1800（1350-OAB）OAB=450。 原題得解。即無論A、B如何運動，只要角平線不改，ACB永遠等于450。問題8、以前沒有解過同類型的題，這種類型的題有什么特點呢？答： 例9、如圖，ABC為正三角形，BD是中線，延長BC至E，使CE=CD。求證：DB=DE。問題1、未知是什么？你能復述它嗎？答：求證：DB=DE。問題2、已知是什么？你能復述它嗎？答：ABC為正三角形，BD是中線，CE=CD。問題3、以前做過類似的題嗎？ 問題4、與已知相關(guān)的定理有什么？能不能直接用公式？答：等腰三角形性質(zhì)和判定。不能直接用定理證明。問

15、題5、你能對條件按所屬類型重新分組和組合嗎？答：根據(jù)已知中ABC為正三角形，BD是中線可得DBC=ABC=ACB。問題6、你能利用已知和所屬的定理、公式、法則、概念向未知轉(zhuǎn)化嗎？答：根據(jù)已知中CE=CD，可得CED=CDE。問題7、根據(jù)與未知相關(guān)的定理、公式、法則、概念，你能發(fā)現(xiàn)得到未知的方法嗎？有必要引入輔助元素或定理、公式、法則、概念嗎？答：1、未知是求證DB=DE，如何能出現(xiàn)？答：在以前學過的定理中等腰三角形的判斷，只要DBC=CDE即可；2、新問題：與此相關(guān)聯(lián)的角有那些？答：與DBC相關(guān)聯(lián)的角是ACB，而ACB又是DCE的外角，這似乎可行；3、有新進展嗎？答：由三角形外角定理可得CED

16、=ACB，進而可得DBC=CDE。原題得證。問題8、如何書寫過程？問題9、解題過程能簡化嗎？答：尚無更簡化方法。問題10、以前沒有解過同類型的題，這種類型的題有什么特點呢？答： 1、證同一三角形中的邊相等時，可考慮等腰三角形的判定。 2、在同一三角形中有等邊就有等角。例10AD是ABC的角平分線，DE，DF分別是ABD和ACD的高，求證：AD垂直平分EF。問題1、未知是什么？你能復述它嗎？答：AD垂直平分EF問題2、已知是什么？你能復述它嗎？答：AD是ABC的角平分線，DE，DF分別是ABD和ACD的高問題3、以前做過類似的題嗎？答：做過。解過有關(guān)角平分線性質(zhì)和線段垂直平分線性質(zhì)的證明。問題4

17、、與已知相關(guān)的定理有什么？能不能直接用公式？答：角平分線定理。垂直平分線定理。不能直接用定理解出此題。問題5、你能對條件按所屬類型重新分組和組合嗎？答：AD是ABC的角平分線，DE，DF分別是ABD和ACD的高，聯(lián)和可得DE=DF。問題6、你能利用已知和所屬的定理、公式、法則、概念向未知轉(zhuǎn)化嗎？答：似乎不能。問題7、根據(jù)與未知相關(guān)的定理、公式、法則、概念，你能發(fā)現(xiàn)得到未知的方法嗎？有必要引入輔助元素或定理、公式、法則、概念嗎？答：未知是求AD垂直平分EF，在以前學過的定理中有垂直平分線定理的逆定理，只要能證明DE=DF即可。原題得證。例11、父親死后留下1600克朗給三個兒子，遺囑上說，老大應比老二多分200克朗，老二比老三多分100克朗，問他們各分了多少？問題1、未知是什么？你能復述它嗎？答：求兄弟三人各分多少錢。問題2、已知是什么？你能復述它嗎？答：共有1600克朗，老大比老二多分200克朗，老二