數(shù)學(xué)物理方法復(fù)習(xí)提綱

1、復(fù)變函數(shù)論復(fù)變函數(shù)： 若在復(fù)數(shù)平面上存在一個(gè)點(diǎn)集e ，對(duì)于 e 中的每一點(diǎn) z ，按照一定的規(guī)律，有一個(gè)或多個(gè)復(fù)數(shù)值 w 與之相對(duì)應(yīng)， 則說在點(diǎn)集 e 上定義了一個(gè)復(fù)變函數(shù)， 記作： wf (z) ，點(diǎn)集 e 叫作函數(shù)的定義域令： w f ( z)uiv ，并將 z xiy 代入，則有：z xiywf ( z) u( x, y)iv( x, y)wf (z)uiv初等復(fù)變函數(shù)：指數(shù)函數(shù)： ezexiyex eiyex (cos yi sin y)三角函數(shù)：sin z1 eize iz, tan zsin z , cot zcos z2icos zsin z1）因?yàn)?sin( z2 )sin z

2、 ， cos( z2 )cos z，所以 sin z ， cos z具有實(shí)周期 22） sin z ， cos z為無界函數(shù)。3） cos(z1z2 )cosz1 cos z2sin z1 sin z2s i nz(1z2 )s i nz1 c o sz2c o sz1 s i nz222s i n zc o sz 1雙曲線函數(shù)： shz1 ezez， chz1 eze z，thzshz22chz對(duì)數(shù)函數(shù)： w u iv lnzln z iargz冪函數(shù)： ze lnze lnz eiargz（ 為復(fù)常數(shù)）一般指數(shù)函數(shù)：zezlnez ln eziarg（ 為復(fù)常數(shù)）復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 設(shè)函數(shù)

3、wf ( z) 是在區(qū)域 e 上定義的單值函數(shù)，對(duì)于e 上的某點(diǎn) z ，如果極限 limwlimf ( zz)f ( z) 存在，則稱函數(shù) wf (z) 在點(diǎn) z 處可導(dǎo)，此極限叫作z0zz0z函數(shù) wf ( z) 在點(diǎn) z 處的導(dǎo)數(shù)，表示為 :limwlim f ( zz) f ( z)df (z)f (z)z 0zz 0zdz復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的充要條件：復(fù)變函數(shù) wf ( z)u( x, y)iv (x, y) 可導(dǎo)的充要條件是偏導(dǎo)數(shù)1u(x, y) ，u( x, y) ， v( x, y)， v( x, y) 存在、連續(xù)，并且滿足柯西 -黎曼條件，即：xyxyu(x, y)v( x, y)

4、， u( x, y)v(x, y)xyyx解析函數(shù) (全純函數(shù)，正則函數(shù) )：如果函數(shù) f (z) 在 z0 點(diǎn)及其鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)，那么稱 f ( z) 在 z0 點(diǎn)解析。如果 f (z) 在區(qū)域 e 內(nèi)每一點(diǎn)都解析， 那么稱 f ( z) 在 e 內(nèi)解析，或稱 f ( z) 為 e 內(nèi)的一個(gè)解析函數(shù)。注： f ( z) 在某點(diǎn) z0 解析在該點(diǎn)可導(dǎo)該點(diǎn)連續(xù)該點(diǎn)有極限區(qū)域解析區(qū)域可導(dǎo)，即解析函數(shù)是函數(shù)在一個(gè)區(qū)域上的性質(zhì)，而不是在一些孤立點(diǎn)上的性質(zhì)。解析函數(shù)在定義域內(nèi)的和、差、積、商（分母不為零）仍然為解析函數(shù). 設(shè)給定二元調(diào)和函數(shù) u(x, y) ，作為解析函數(shù) f ( z)u iv 的實(shí)部，

5、由柯西 -黎曼條件可求出相應(yīng)的虛部，進(jìn)而確定這個(gè)解析函數(shù)。設(shè)二元函數(shù) v( x, y) 的全微分式為： dvv dxv dyxy考慮柯西 -黎曼條件可得： dvu dxu dyyxv( x, y) 的三種計(jì)算方法：（ 1） 曲線積分法： 全微分的線積分與路徑無關(guān)，可選取特殊路徑積分，使積分容易求出（ 2）湊全微分顯式法： 把 dvu dxu dy 湊成全微分的顯式，求出 v( x, y) 。yx（ 3）不定積分法例題 .已知解析函數(shù) f (z) 的實(shí)部 u( x, y)x2y 2 ，求虛部和這個(gè)解析函數(shù)容易驗(yàn)證 u( x, y) x22為調(diào)和函數(shù)：2u( x, y)2u( x, y)22 0y

6、x 2y 2由柯西 -黎曼條件可得：v( x, y)u( x, y)2 yv(x, y)u( x, y)xyy2xx所以有： dvv dxv dy 2 ydx2xdyx y(1) 曲線積分法：2y( x, y)o( x,0)x圖 1取如圖 1 所示的積分路徑，可求出積分( x,0 )( x, y)( x, y)v2 ydx 2xdy2 ydx 2xdy c2 ydx 2xdy c 2xy c(0,0 )( x, 0)(x ,0)其中 c 為積分常數(shù)。(2) 湊全微分顯式法： dvvdxvdy2 ydx2xdyd (2xy)xy所以有 ; v2xyc(3) 不定積分法：v( x, y)2x ，

7、v(x, y)2 yyx把 x 視為參數(shù)，v( x, y)2x 對(duì) y 積分可得： v2xdy( x)2xy( x)y對(duì) v 2xy(x) 求偏導(dǎo)數(shù)v2y( x)x與 v( x, y)2 y 向比較可得：( x)0(x)cx所以由 v2xdy(x)2xy( x) 可得： v2 xyc所以有：222f z)u xy)iv xy)(xy)ixy c)zic( ,( ,( 2可把 xzz, yzz代入上式求出22i復(fù)變函數(shù)積分 :復(fù)變函數(shù)的積分歸結(jié)為兩個(gè)實(shí)變函數(shù)的曲線積分：f ( z)dzu( x, y)iv ( x, y)( dxidy )u( x, y)dxv( x, y)dyiv( x, y)

8、dxu( x, y)dyllll若曲線 l 由參數(shù)方程 xx(t) ， yy(t) ， t1tt 2 給出則有 dzdxidyz (t) dtx (t)dtiy (t )dt ，可得積分的計(jì)算公式3f ( z)dz u( x, y) iv ( x, y)( dx idy)t 2 u x(t ), y(t ) iv x(t), y(t ) z (t) dtllt1t 2x (t) iy (t )dtu x(t), y(t ) iv x(t ), y(t )t1t 2t 2u x(t), y(t ) x (t) v x(t), y(t ) y (t ) dt i v x(t ), y(t) x (

9、t) u x(t ), y(t) y (t ) dtt1t1高階導(dǎo)數(shù)公式設(shè) f (z) 在區(qū)域 e 內(nèi)是解析的，在閉區(qū)域 e 上是連續(xù)的， l 為 e 的邊界，對(duì)于區(qū)域 e 內(nèi)的任一點(diǎn) z ， f ( z) 可以求導(dǎo)任意多次，第 n 階導(dǎo)數(shù)可表示為：f( n )( z)n!f ()1 di 2l (z)n上式可看作在柯西公式f ( z)1f ()d對(duì) z 求 n 次導(dǎo)，其中等式右邊在積分號(hào)內(nèi)對(duì)i 2lzf ( ) 關(guān)于 z 求 n 次導(dǎo)。z冪級(jí)數(shù)：cn (zz0 ) nc0c1 ( zz0 )cn ( z z0 ) nn 0其中：系數(shù) cn 和固定點(diǎn) z0 都是復(fù)常數(shù)， z 是一個(gè)復(fù)變量冪級(jí)數(shù)

10、收斂半徑的比值判別法（達(dá)朗貝爾判別法）： limcnrcn 1n1冪級(jí)數(shù)收斂半徑的根式判別法（柯西判別法）：rlim n cnn奇點(diǎn)法： 冪級(jí)數(shù)中心 z0 到最近奇點(diǎn)的距離即為收斂圓的半徑r收斂圓： z z0r泰勒級(jí)數(shù)： 定理：設(shè)函數(shù) f (z) 在區(qū)域 e 上是解析的， z0 為區(qū)域 e 內(nèi)任一點(diǎn)，在區(qū)域 e 內(nèi)的圓 c : z z0 r中， f ( z) 可以展開為泰勒級(jí)數(shù)：f (z)cn ( zz0 ) n1 f ( n) ( z0 )( z z0 ) nn0n 0 n!泰勒級(jí)數(shù)的收斂半徑r 為 z0 到區(qū)域 e 的邊界的最短距離將函數(shù)展開為泰勒級(jí)數(shù)的方法1直接計(jì)算系數(shù) cn1 f (

11、n) ( z0 ) ：例題 . 以 z0 0 為中心，將 f ( z) ez 展開為泰勒級(jí)數(shù)。n!4解： f ( z) ez 的各階導(dǎo)數(shù)為 f ( n) ( z)ez ， cn1 f (n ) ( z00)1 ezz z001n!n!n!所以： ez1zz2znzn2!n!n 0n!2. 換元法：例題 . 試分別以 z00 及 z01為中心將函數(shù) f (z)z1 展開成 taylor 級(jí)數(shù)，z1并指出其收斂半徑 .解：利用級(jí)數(shù)11zn ， z1來展開 f (z)zn0以 z0 0 為中心，則有： f ( z)z1z 11212z)1 2(z) n ,z 1z1z1(n0f ( z) 的奇點(diǎn)是z

12、1，從中心 z00 到z1的距離為 1，所以收斂半徑r。13. 在收斂圓內(nèi)逐項(xiàng)求導(dǎo)法 (求積分法 )例題 . 以 z00 為中心， 將函數(shù) f ( z)1展開為 taylor 級(jí)數(shù)(1z)2解：已知1zzn， z1，等式左邊對(duì) z 求導(dǎo)，右邊對(duì) z 逐項(xiàng)求導(dǎo)可得：1n 0(11)1nzn 1(n 1)zn ， z 1z(1z) 2n1n0洛朗定理： 若函數(shù) f (z) 在環(huán)形區(qū)域 r1zz0r2 內(nèi)解析，則 f ( z) 可在環(huán)形區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)z 展開為羅朗級(jí)數(shù)，其形式為：f (z)ncn ( zz0 ) n其中展開系數(shù)為：cn1f ()n 1 di 2l (z0 )積分路徑 l 為環(huán)形區(qū)域內(nèi)繞

13、z0 的任一簡單閉合曲線。1羅朗級(jí)數(shù)中 f1 ( z)cn ( z z0 ) n 稱為展開式的 正則部分 ，f 2 ( z)cn ( z z0 ) n 稱為主要部n 0n分 。羅朗級(jí)數(shù) f ( z)cn ( zz0 ) n 在環(huán)形區(qū)域 r1z z0r2內(nèi)絕對(duì)且一致收斂n羅朗級(jí)數(shù)展開方法舉例ez例題 . 將函數(shù) f ( z)2在以 z00 為中心的環(huán)形區(qū)域0z內(nèi)展開為羅朗級(jí)數(shù)。z5ez1znzn 2解： f ( z)z2n!n!z2n 0n 0在上式中令 n2ezznl ，再把 l 寫成 n 可得： f ( z)n 2 (n2)!z2例題 . 已知函數(shù) f ( z)1，以 z01為中心將函數(shù) f

14、 (z) 展開成羅朗級(jí)數(shù)z21解：已知 f (z)11111z212 z12 z1上式中的第二項(xiàng)11有一個(gè)奇點(diǎn)z1 ，所以在 z01為圓心的圓周z12 內(nèi)，2 z11 1 可以展開為泰勒級(jí)數(shù)：11111( 1)n ( z1) n2 z 12 z 1 24 1 ( z 1)4 n 022所以有： f (z)z21111111( 1) n1(z1) n ， 0z121 2 z 1 2 z 1 2 z 1 n 02n 2孤立奇點(diǎn) ：若函數(shù) f ( z) 在 zz0 不可導(dǎo) (或無定義 )，而在 z0的任意小鄰域內(nèi)除 z0 外處處可導(dǎo)，則稱點(diǎn) zz0 是 f (z) 的一個(gè)孤立奇點(diǎn)。孤立奇點(diǎn)的分類及其

15、判定(1) 可去奇點(diǎn)： 若極限 lim f ( z) 存在，則稱 z0 為 f (z) 的可去奇點(diǎn)。zz0(2) 極點(diǎn) .零點(diǎn)： 不恒為零的解析函數(shù)f ( z) 如果能表示成f (z)(zz0 ) m(z)其中 m 為正整數(shù)，(z) 在點(diǎn) z0 點(diǎn)解析，且( z0 )0 ，那么 z0 為 f ( z) 的 m 階零點(diǎn)。零點(diǎn)判定定理： 如果函數(shù) f ( z) 在 z0 點(diǎn)解析，那么 z0 為 f ( z) 的 m 階零點(diǎn)f (z0 )f ( z0 )f ( m 1) ( z0 ) 0, f ( m) ( z0 ) 0例如： z1 為f (z) z31 的一階零點(diǎn)極點(diǎn)： 如果函數(shù) f (z) 在其

16、孤立奇點(diǎn) z0 鄰域內(nèi)的羅朗級(jí)數(shù)中的主要部分為有限項(xiàng)f ( z)cn ( z z0 )nc mc ( m 1)c 1c0 c1 (z z0 )n m(z z0 ) m(z z0 ) m 1( z z0 )cn ( z z0 ) n則稱 z0 為函數(shù) f ( z) 的 m 階極點(diǎn)。上式也可表示為 f ( z)p( z)，其中( z z0 ) m6p( z) c mc (m 1) (z z0 )c 1 (z z0 ) m 1c0 (z z0 ) m對(duì)于p( z)，有 () 0 且為鄰域內(nèi)的解析函數(shù)p z0z0(3)本性奇點(diǎn)： 函數(shù) f ( z) 在其孤立奇點(diǎn) z0 鄰域內(nèi)的羅朗級(jí)數(shù)中的主要部分有無

17、限項(xiàng)留數(shù)概念 (residue)：若點(diǎn) z0 是函數(shù) f (z) 的一個(gè)孤立奇點(diǎn)，函數(shù)f ( z) 在環(huán)形區(qū)域 0zz0r 內(nèi)解析，則在此環(huán)形區(qū)域內(nèi)，f ( z) 可展開成羅朗級(jí)數(shù)f ( z)cn (z z0 )nc n ( z z0 ) nc 1 ( z z0 ) 1c0 c1 ( z z0 )1cn ( z z0 ) nn羅朗級(jí)數(shù) f (z)cn (zn的 ( z z0 )1項(xiàng)的系數(shù) c 11f ( z)dz 叫作函數(shù) f (z) 在 z0點(diǎn)z0 )i 2nc的留數(shù)（或殘數(shù)），記作 re s f ( z), z0 。留數(shù)定理： 設(shè)函數(shù) f ( z) 在簡單閉合曲線 c 所圍區(qū)域 e 內(nèi)除有

18、限個(gè)孤立奇點(diǎn)z1 , z2 ,zn 外處處解析，在閉區(qū)域 e 上除 z1, z2 ,nzn 外連續(xù)，則有：f ( z)dz i 2re s f ( z), zk c1k其中沿曲線 c 的積分方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向。留數(shù)的計(jì)算(1) 若 z0 為 f ( z) 的可去奇點(diǎn)， z0 為中心的羅朗級(jí)數(shù)中不含負(fù)冪次項(xiàng)，則：re s f ( z), z0 0(2). 若點(diǎn) z0 為 f ( z) 的一階極點(diǎn)： re s f (z), z0 c 1 lim ( z z0 ) f (z)z z0若函數(shù) f ( z) 可以表示為 f (z)p(z) 的特殊形式，其中函數(shù) p(z) 和 q ( z) 都在 z0 點(diǎn)解

19、析，點(diǎn)q( z)z0 為 q( z) 的一階零點(diǎn)（ q( z0 )0），且 p(z0 )0 ，點(diǎn) z0 必為 f ( z)p( z) 的一階極點(diǎn)，則q ( z)有公式： res f ( z), z0 lim ( z z0 ) f (z)lim p( z)q( z)q( z0 )z z0z z0zz0p( z0 )q ( z0 )(3). 若 z0 為 f ( z) 的 m 階極點(diǎn)，則函數(shù)f (z) 在環(huán)形區(qū)域 0 z z0r 內(nèi)的羅朗級(jí)數(shù)展開式c mc m 1c 1c0c1 (z z0 )為： f ( z)( z z0 )m 1(z z0 )( z z0 ) m可容易得到計(jì)算f (z) 在點(diǎn)

20、z0 的留數(shù)的公式：71dm 1res f ( z), z0 c 1limm 1 ( z z0 ) m f (z)( m1)! z z0dz(4). 若 z0 為 f ( z) 的本性奇點(diǎn)，求留數(shù)采用羅朗級(jí)數(shù)展開法或直接計(jì)算圍道積分。i kx1 復(fù)數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)： s(x)ck e l， ckk2lli kxf ( x)eldx ，l對(duì)于復(fù)數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)，盡管f ( x)是實(shí)變函數(shù)，但其傅立葉系數(shù)ck 卻可能是復(fù)數(shù)。i kx0,1, 2, 有如下性質(zhì)：容易證明：在區(qū)間 l , l 上的函數(shù)系 e l: kli k xi m xli k xi m x0 k me l (e l ) dxe

21、 l eldx2lkmll函數(shù)：如果一個(gè)函數(shù)在 x(,) 上滿足下列條件：(1)(x0,xx0x0 )xx0,(2)bx0 )dx0,(a,b都x0，或都x0 )( x，（ax0b)a1這樣的函數(shù)(xx0 ) 稱為函數(shù)。函數(shù)等價(jià)的泛函定義：若對(duì)于任意一個(gè)定義在(,) 上的連續(xù)函數(shù)f ( x) 總有：f (x0 )(xx0 ) f (x)dx數(shù)理方程分離變量法解題的一般步驟(1) 代入試探解 u( x, t )x (x)t (t ) ，將偏微分方程的定解問題通過分離變量轉(zhuǎn)化為常微分方程的定解問題。(2) 依據(jù)齊次邊界條件，確定本征值n 和本征函數(shù) x n (x) 。(3) 求解關(guān)于 t (t )

22、 的常微分方程的通解 tn (t) ，把得到的通解與本征函數(shù)相乘得到本征解u n ( x, t )x n ( x)tn (t ) ，這時(shí)本征解 u n (x,t ) 中還包含著任意常數(shù)。(4) 利用疊加原理，求出定解問題的解u( x, t)un ( x,t ) 。n 1(5) 應(yīng)用本征函數(shù)的正交性以及初始條件確定任意常數(shù)。8例題：求細(xì)桿的導(dǎo)熱問題，桿長為l ，兩端保持為攝氏零度，初始溫度分布為：u t 0 x(lx)。l2解：本題的定解問題為：ua 22u, (0x l ,t0)tx2u( x, t) x00,u(x,t ) xl0,(t0)u( x,t ) t 0x(lx)(0xl )l 2

23、,應(yīng)用分離變量法，設(shè) u( x, t)x (x)t (t) ，代入到泛定方程和邊界條件可得：x( x)x (x)0x (0)0, x (l )0t()2( )0ta t t 式的本征值n( n) 2 ,(n 0,1,2,) ，本征解為 x n ( x) an sin nxll( na )2 式的解為： tn (t)bn el( n a ) 2 tn則本題的本征解為 un ( x, t)x n (x)tn (t )c n elsinxl其中待定常數(shù) cnan bn 。本題的解 u( x,t) 表示為本征解 un (x, t ) 的線性疊加：u(x, t )un ( x, t)cn e( n )2

24、 tsin nxln 1n 1l代入初始條件可得：u( x,0)x(l x)c ns i nnxl 2n 1l2l x(lx)nc 2 k 2xdx展開系數(shù)為： c nl 2sinc 2k 13l0l08(k 0,1,2, )(2k1)38(2k 1)( 2k 1)2 2 a2t所以問題的解為：l 2u( x,t )3 (2k1) 3 sinlxek 0用本征函數(shù)展開法求解非齊次方程齊次邊界條件和零初始條件（齊次定解條件）下的非齊次方程的定解問題9例設(shè)有如下定解問題2va 22vf (x, t) , (0x l , t 0)t 2vx2v x l0 (t0)x 0v t 0v0 , (0x l

25、 )t t 0則用本征函數(shù)展開法求解的步驟如下：第一步 . 求解相應(yīng)齊次邊界條件的齊次方程的本征解2va22v(0x l , t 0)t2x2 ,v x 0v x l0(t0)由分離變量法（參考例1）可得本征解系x n ( x) sin nx , ( n1,2, )l第二步 . 設(shè)非齊次方程的本征解為 vn ( x, t)tn (t) x n (t)tn (t) sin nx ，非齊次方程的解可l表示為本征解的線性疊加：v ( x,t)vn ( x, t)tn (t ) sin nxn 1n 1l第三步 . 把非齊次方程中的自由項(xiàng)用本征解系sin n x , ( n 1,2,) 展開lf (

26、x,t)f n (t) sin nxn 1l其中展開系數(shù) fn (t ) 由本征解 sin nx 的正交性求出如下lf n (t)2ll0nf ( x, t) sinxdx第四步 . 把非齊次方程的解 v ( x, t)tn (t ) sin nx 和 f ( x, t)f n (t ) sinn x 代入到定解n 1ln 1l問題中的泛定方程可得：2v a 22vf (x, t)t 2x 2tn (t ) sin nxa2 ( n) 2 tn (t ) sin n xfn (t )sin nxn 1ln 1lln 1l10考慮到本征解 sin nx 的正交性，由上式可得：ltn (t) a

27、2 ( n )2 tn (t )fn (t )l同理，把非齊次方程的解 v ( x,t )tn (t ) sin nx 代入到初始條件可得：n 1lv t 0vt00tn (0) sin nxtn (0) sin n x 0tn 1ln 1ltn (0)tn (0)0則可得關(guān)于 tn (t) 的定解問題：tn (t)a2 ( n) 2 tn (t)f n (t)ltn (0)tn (0)0上式可由拉普拉斯變換來求解，所得的解如下：lanltf n ( ) sinan)dtn (t ) f n (t )sint0(tanlanl第五步 . 把 tn (t) 代入 v ( x, t)vn ( x,

28、 t )tn (t ) sin n x 得到非齊次方程的定解問題的解n 1n 1l為： lf n ( ) sin an)d sin nv ( x, t )t(txn 1an0ll由上面的推導(dǎo)可知解滿足泛定方程，齊次邊界條件和零初始條件。對(duì)于齊次邊界條件和非零初始條件的非齊次方程的定解問題的求解，可由疊加定理化為齊次邊界條件和非零初始條件的齊次方程，以及齊次邊界條件和零初始條件的非齊次方程的定解問題的線性疊加。例已知如下的 齊次邊界條件和非零初始條件的非齊次方程的定解問題2ua22uf (x, t ) , (0x l , t 0)t 2ux 2u x l0 (t0)x 0u t0(x), u t

29、 0( x) , ( 0 x l )t令 u (x,t ) v (x,t )w ( x,t ) ，由疊加定理可得如下兩個(gè)關(guān)于v (x,t ) 和 w ( x,t ) 的定解問題：112va 22vf ( x,t) ,(0xl ,t0)t 2vx2v x0(t0)x 0lv t 0v0 , (0 x l )t 0t2wa22w(0xl ,t0)t2x2,w x 0w x l0(t0)w t 0( x),wt 0(x) ,(0xl )t關(guān)于 v ( x, t) 和 w ( x, t ) 的定解問題的線性疊加即為原來的定解問題。它們的求解可用前面介紹的特征函數(shù)展開法以及分離變量法求解。二階線性常微分

30、方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為：d 2 y(x)p( x) dy(x)q(x) y(x)0dx 2dx(1x2 ) d 22x dn(n1)0例如：勒讓德方程：dx2dxd22xdn( n1)0dx 21 x2dx(1x2 )x2 y ( x) xy ( x) ( x2n2 ) y( x) 0例如：貝塞爾方程：y(x)1 y ( x)x2n2y( x)0xx2二階線性常微分方程中的函數(shù)y( x) ， p(x) 和 q(x) 在某個(gè)區(qū)間 a, b 內(nèi)為實(shí)函數(shù)，而對(duì)方程級(jí)數(shù)解法的討論需要在復(fù)數(shù)z 平面上進(jìn)行。不失一般性，我們討論復(fù)變函數(shù)w( z) 的二階線性常微分方程d 2 w( z)p( z) dw(z)q(

31、 z) w(z)0(1)dz2dz在滿足初始條件 w(z0 ) c0 ， w ( z0 )c1 下的級(jí)數(shù)解，其中 c0 ， c1 為任意給定的復(fù)常數(shù)。施圖姆劉維爾 (sl)本征值問題施圖姆劉維爾 (sl)型方程： 形式為 d p(x) dy q( x) y( x) y0, (a x b) 的二階常dxdx微分方程稱為施圖姆劉維爾 (sl) 型方程，其中： p(x) 為核函數(shù)，( x) 為權(quán)函數(shù)， 為分離變量過程中引入的參數(shù)。12注：一般的二階常微分方程 ya( x) y b( x) y c(x) y 0 ，乘上函數(shù) ea ( x) dx就可以化成施圖姆劉維爾 (sl) 型方程：d ea (x)

32、 dxa( x) dxc( x)ea ( x) dxy b( x)e y y 0dx施圖姆劉維爾 (sl)本征值問題： 在一定的邊界條件下，求解施圖姆劉維爾 (sl)型方程的 值(本征值 )以及相應(yīng)的非零解 (本征函數(shù) )。如：在施圖姆劉維爾 (sl)方程中：(1)取 p(x)1x2，q(x)0 ， ( x)1，兩邊界點(diǎn)a1 b1，以及自然邊界條件 y( 1)，和 y(1) 為有限值，則可構(gòu)成如下的勒讓德方程本征值問題d2dyy 0(12d 2 ydyy 0(1 x)x)2xdxdxy(dx 2dx自然邊界條件：1)有限， y(1)有限(2)取 p(x)1x 2， q(x)1m2 2 ，(x)1，兩邊界點(diǎn) a1， b1 ，以及自然邊界條件xy( 1) 和 y(1) 為有限值，則可構(gòu)成如下的連帶勒讓德方程本征值問題d (1x2 ) dy m 2yy 0dxdx1 x2自然邊界條件：(1x2 ) d 2 y2x d