第2章 隨機變量的分布及其數(shù)字特征

1、2019/10/71231定義:設(shè)隨機試驗E的樣本空間為, 如果對任意的基本 , 有一個實數(shù)X=X()與之對應(yīng), 就稱X為隨量.通常, 我們用大寫字母X、Y、Z等表示隨量.注：嚴格來講隨量應(yīng)該是關(guān)于域F可測的函數(shù)，由于本書對域不做討論, 這里對可測性也不做討論. 下面給出的一些假說實際上就是要求隨量是可測的.在許多帶有隨機因素的實際問題中, 我們往往只關(guān)心某些數(shù)據(jù), 如電子元件的壽命、車站的候車人數(shù)等等. 此外人們還發(fā)現(xiàn)建立數(shù)和人或其他事物的對應(yīng)關(guān)系會帶來許多便利, 比如每一個學(xué)生可以用一個學(xué)號與之對應(yīng), 城市的每一間房屋可以用一個門牌號與之對應(yīng), 工廠生產(chǎn)的同一種型號產(chǎn)品, 比如計算機, 可

2、以用一個代碼與之對應(yīng).同樣, 建立數(shù)和基本的對應(yīng)關(guān)系將有助于我們利用現(xiàn)有的一些數(shù)學(xué)方法對隨機現(xiàn)象作進一步的研究.第二章 隨量的分布及其數(shù)字特征1 隨量的概念與離散型隨量1.1 隨量的概念為了全面地研究隨機試驗的結(jié)果, 揭示客觀存在著的統(tǒng)計規(guī)律性, 我們將隨機試驗的結(jié)果與實數(shù)對應(yīng)起來, 將隨機試驗的結(jié)果數(shù)量化, 引入隨 量 的 概 念 .2019/10/74562(3)隨量與隨機的關(guān)系隨機包容在隨量這個范圍更廣的概念之內(nèi). 隨量的引入, 使我們能用隨量來研究隨機現(xiàn)象,并能利用數(shù)學(xué)分析的方法對隨機試驗的結(jié)果進行深入廣泛的研究和討論.或者說: 隨機是從靜態(tài)的觀點來研究隨機現(xiàn)象,而隨量則是從動態(tài)的觀點

3、來研究隨機現(xiàn)象.注意(1) 隨量與普通的函數(shù)不同隨 量是一個函數(shù), 但它與普通的函數(shù)有著本質(zhì)的差別,普通函數(shù)是定義在實數(shù)軸上的,而隨 量是定義在樣本空間上的(樣本空間的元素不一定是實數(shù)). 同一個概率空間可以定義許多隨 量 .(2) 隨量的取值具有一定的概率規(guī)律隨 量隨著試驗的結(jié)果不同而取不同的值, 由于試驗的各個結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的概率, 因此隨 量的取值也有一定的概率規(guī)律.隨量 是R 上的映射,此映射具有如下特點 定義域樣本空間 ； 隨機性隨量X 的可能取值不止一個, 試驗前只能預(yù)知它的可能的取值，但不能預(yù)知取哪個值； 概率特性 X的取值有一定的概率.2019/10/77893隨量X的取值

4、由樣本點決定. 反過來, X取某一特定值a的那些樣本點的全體構(gòu)成的一個子集. 設(shè)L為實數(shù)集的一個子區(qū)間，使得X的值落在L中的那些樣本點的全體也是的一個子集. 因此為隨機, 通常用X L表示|X()L.例：考察一個醫(yī)院每天的就診人數(shù)X, 則X是一個隨量, 它的取值范圍是X=0,1,2,例：觀察公交車站上乘客的等車時間X, X是一個隨量, 它的取值范圍是某一個區(qū)間.例：記錄中央電視臺新聞聯(lián)播節(jié)目的播出時間長 度X，則X也是一個隨 量，它的取值范圍也是一個區(qū)間.例：設(shè)10件產(chǎn)品中有8件合格品和2件不合格品,從中隨機抽取一件, 令X1， 取到合格品0，取到不合格品 則X是一個隨量，它只取兩個可能值0和

5、1.如果我們把產(chǎn)品編號, 1到8號為合格品, 9到10號為不合格品, 樣本空間可表示為=1,10, 其中i表示取到第i號產(chǎn)品. 這時基本與隨量的對應(yīng)關(guān)系為X ()i1, 0 i i 1, 9, ,8,102019/10/71011124定義：設(shè)X為離散型隨量，其全部可能取值為xi,i=1,2,., 記PX=xi=pi, i=1,2,則稱 pi 為X的分布律. 用下列表格的形式來表示，并稱為X的概率分布表.Xx1x2.xi.pp1p2.pi.1.2 離散型隨量在所有的隨量中，有一類隨量最簡單， 它只有有限個或可數(shù)無窮多個可能取值.無窮多個, 則稱 X 是一個離散型隨量.離散型隨量分類非離散型其中

6、一種重要的類型為連續(xù)型 隨量任何隨機現(xiàn)象可引 入 隨 量重被 隨 量 描 述要意義借助微積分方法做更深入和廣泛的研究2019/10/71314155例.設(shè)離散型隨量X的分布律為（1）PX=i=a (2/3)i, i=1,2, 3.（2）PX=i=a (2/3)i, i=1,2, 分別求上述各式中的常數(shù)a.例. 投擲一枚均勻硬幣，設(shè)X為一次投擲中出現(xiàn)正面的次數(shù)，即：對 =正面，X()=1對 =，X()=0.則PX=1=P出現(xiàn)正面=0.5 PX=0=P出現(xiàn)=0.5于是X的分布律為X10p0.50.5任何一個離散型隨量的分布律pi 必然滿足下列性質(zhì)（1）pi 0, i=1,2,.（2）i pi =1

7、2019/10/71617186從上面的例子可知，若已知離散型隨量的概率分布，則對任意區(qū)間I,P( XI )p( Xxi )xi I例: 設(shè)隨量X具有分布律P( Xk )ak, k1, 2, 3, 4, 5.（1）確定常數(shù)a .（2）計算P(1/2X5/2)和P(1 X2).解:（1）由分布律的性質(zhì), 得5 61P( Xk)aka155從 而 ak 1k 1215.(2) P( 1X5)P( X1)P(X2)1 212215 15 5P(1X2)P( X1) P( X2)12115 15 5一旦知道一個離散型隨量X的分布律，我們便可求得X所生成的任何的概率.例. 設(shè)X的分布律為PX=i=a (

8、2/3)i, i=1,2, 3.分別求下列的概率.X1, X1, X2, 1X2.5X3, X4, X0,2.2019/10/719202171.3 分布函數(shù)離散型隨量的概率分布為離散型隨量的統(tǒng)計規(guī)律提供了一目了然的描述. 然而對那些取值非可數(shù)的隨量，比如，測量的誤差、燈泡的壽命等，我們不可能像描述離散型隨量一樣，通過羅列其每一個取值及其相應(yīng)的概率來描述它們. 這是因為1、這類隨量的取值是無限非可數(shù)的，無法一一列舉出來；2、取連續(xù)值的隨量，它取某個特定值的概率往往是0.p0.4 k01234代入p k0.60.240.0960.03840.0256例. (1) 設(shè)汽車在開往甲地途中需經(jīng)過 4

9、盞信號燈, 每盞信號燈獨立地以概率 p 允許汽車通過. 令 X 表示首次停下時已通過的信號燈盞數(shù), 求 X 的分布律.解出發(fā)地甲地P( Xk )pk (1p), k0,1,2,3P(X4)p4,2019/10/72223248定義: 設(shè) X 為一隨量，則稱函數(shù)F (x)P(Xx),x為 隨量X 的分布函數(shù), 記作X F (x)用分布函數(shù)計算 X 落在( a ,b 里的概率：P(aXb)P(Xb)P(Xa)F (b)F(a)（ab所以，為給出 X 取值于任一區(qū)間上的概率， 實際上只要給出所有 X 取值于形如(-, x的區(qū)間上的概率PXx即可，記F (x)=P X x當x取遍(-, + )上的一切

10、實數(shù)時，F(xiàn) (x)便成為定義在(-, + )上的函數(shù). 一旦知道了這個函數(shù)F (x)， 我們便可得到相應(yīng)的隨量取值于任何區(qū)間上的概率. 為此我們引入分布函數(shù)的定義.對取連續(xù)值的隨量，我們往往關(guān)心的是它的取值落在一定范圍的概率，而不關(guān)心它取某個特定值的概率. 因此，對這類隨量，我們希望可以描述它的取值落在任何一個區(qū)間上的概率.例: 等可能的在數(shù)軸上的有界區(qū)間a, b上投點，記X為落點的位置（數(shù)軸上的坐標），則X是樣本空間 =a, b上的函數(shù)X()=, a, b根據(jù)幾何概型，對任意的c a, b有PX=c=0而對a, b的任意子區(qū)間B=(c, d有P cX d=(d - c) /(b - a)另一

11、方面，由于P cX d=P X d - P X c2019/10/72526279利用分布函數(shù)計算概率1 P（aXb） P( Xb) P( Xa)F (b) F (a)2 P（aXb） P( Xb) P( Xa) F (b 0) F (a)3 P（a X b） P( X b) P( X a) F (b) F (a 0) 4P（aXb） P( Xb) P( Xa) F (b 0) F(a 0) 5P（X a） 1 P( Xa) 1 F (a 0)分布函數(shù)的性質(zhì)1F(x)關(guān)于x單調(diào)不減, 即當x1x2時，F(xiàn) (x1 )F(x2 );2 P（aXb） F (b)F (a)3 0 F (x) 1, F

12、 () lim F ( x) 0, F () lim F (x) 1xx4F(x)關(guān)于x右連續(xù), 即對任意x0, 都有F (x00)lim F (x)F (x0 )x x0 05F(x)關(guān)于x左極限存在, 且對任意x0, 都有F ( x0 -0)lim F ( x)P( Xx0 )x x0 -06P( Xx0 )P( Xx0 )P( Xx0 )F ( x0 )F ( x0 -0)從某種意義上來說，分布函數(shù)完整的描述了隨量的統(tǒng)計規(guī)律性. 而分布函數(shù)是一個普通的函數(shù)，正是通過分布函數(shù)，我們將能用數(shù)學(xué)分析的方法來研究隨量.2019/10/728293010由以上例子可以得出離散型隨量分布函數(shù)的計算規(guī)

13、律：設(shè)離散型隨量分布律為PX=xk=pk,k=1,2,由概率的可列可加性得X的分布函數(shù)為F(x)= PXx=PX=xk=pk這里和式是對于所有滿足xkx的k求和.F(x)是一個階梯函數(shù), 它在x的每一個可能取值點xk處發(fā)生間斷，其跳躍高度正好是pkF(x)的示意圖F(x)10.50.25-112 3x例:設(shè)隨量X的分布律為 即0,x11/ 4,1x2F (x)3 / 4, 2x3求X的分布函數(shù),并求1,x3PX1/2,P3/2X 5/2, PX1/2=F(1/2)=1/4 P2 X 3.解:由概率的有限可加性 P3/2X 5/2得=F(5/2)-F(3/2)0,x1=3/4 -1/4=1/21

14、 / 4,1x2 P2 X 3F (x)= F(3)-F(2-0)1 / 4 1 / 2, 2x31 / 4 1 / 2 1 / 4, x 3=1-1/4=3/4X- 123P1 / 41 /21 /42019/10/731323311P( X2)1P( X2)1F (20)1 0.20.8(2) 由于P( X x0 ) F (x0 ) F ( x0 0) , 可得 P( X1)0.200.2,P( X2)0.70.20.5,P( X4)10.70.3故 X 的分布律為 X-124Pk0.20.50.3例: 設(shè)隨量X的分布函數(shù)為0,x1， 0.2,1 x 2F (x)0.7,2 x 41,x

15、4.(1) 求P(X3), P(1/2X 3)及P(X 2)(2) 求X的分布律.解 (1) P( X3)F (3)0.7P( 1X3)F (3)F ( 1 )0.70.20.522反過來，如果一個隨量 X 的分布函定：F (x)的跳躍點全體構(gòu)成 X 的所有可能取值，每一跳躍點處的跳躍高度則是X在相應(yīng)點處的概率.2019/10/734353612一個連續(xù)型隨 量的分布由它的密度函數(shù)所決定, F(x)的值在幾何上可以表達為t軸以上, 曲線y=f(t)以下, 直線t=x以左部分的面積.1.4 連續(xù)型隨量定義: 一個隨量X稱為連續(xù)型隨量，如果存在一個非負可積函數(shù)f(x)，使得X的分布函數(shù)xF (x)

16、f (t)dt并稱f (x)為X 的概率密度函數(shù)，簡稱密度函數(shù).由微積分學(xué)知識可知, 連續(xù)型隨量的分布函數(shù)是一個連續(xù)函數(shù).例 設(shè)一個靶子是半徑為2米的圓盤，設(shè)擊中靶上任意同心圓盤上的點的概率與該圓盤的面積成正比，并設(shè)射擊都能中靶，以隨 量 X 表示彈著點與圓心的距離. 試求隨 量X的分布函數(shù).解0,x0,F (x)x2, 0x2,41,x 2.xX的分布函數(shù)也可以寫成 F (x)f (t)dtt , 0t2,其中f (t)20,其它.2019/10/737383913根據(jù)分布函數(shù)的性質(zhì)，顯然密度函數(shù)具有下列性質(zhì)：(1) f (x)0, x(,).(2)f (x)dx1.反過來，也可以證明， 如

17、果一個函數(shù)滿足上（3）若f(x)在點x處連續(xù)，則有F (x)f (x).因此, X取任意單點值a的概率aP( Xa)f (t)dt0a從而P(aXb)P(aXb)P(aXb)P(aXb)bF (b)F (a)f (t)dta設(shè)X為連續(xù)型隨量, 則對任意的實數(shù)a1 時, F (x)0 0dt1 2 2tdt1 (6 6t)dtx 0dt101 21從而得0，x0， x2，0 x1F (x)26x3x221， x1， 21，x1.例: 設(shè)隨量X的密度函數(shù)為2x， 0 x 1 ， 2f (x)6 6x1， x 1， 20，其他. 求分布函數(shù)F(x).解f(x)的圖形如圖x當 x0 時, F (x)0

18、dt 0當0 x 1 時, F (x)0 0dtx 2tdtx2202019/10/743444515例： 已知隨量 X 為具有概率密度kx,0x3,f (x)2x , 3x4,20,其它.(1) 求常數(shù) k(2) 計算X的分布函數(shù)(3) 計算P1X7/2.例:試確定常數(shù)c, 使f (x)x, 0 x c0,其他 為某個隨量X的概率密度, 且計算X c/2的概率.2解 因cc1xdx02所以 c2 c2(舍去)c2從而P X2 xdx0.2520例:試確定常數(shù)a, 使x,0 x 1， f ( x)a x, 1 x 2， 0,其他. 為某個隨量X的概率密度, 且計算1.5X2的概率.12解 因1

19、2x2x21f (x)dxxdx(ax)dx(ax)a 1012201所以a =2.x,0 x 1故f (x)2 x, 1 x 2， 0,其他. 2從而 P1.5X2(2 x)dx 0.1251.52019/10/746474816例:設(shè)隨量X的分布律如下表,試求Y=(X-1)2的分布律.解 Y所有可能取的值為0,1,4.由PY=0=P(X-1)2 =0=PX=1=0.1PY=1=P(X-1)2 =1=PX=0+X=2=PX=0+PX=2=0.7 PY=4=P(X-1)2 =4=PX=-1=0.2即得Y的分布律為Y014P0.10.70.2X-1012P0.20.30.10.45 隨量函數(shù)的分

20、布 如果已知隨量X的分布, 另一隨量Y=g(X)是X的函數(shù), 如何求Y的分布. 1 離散型隨量函數(shù)的分布設(shè)X為離散型隨量, 其分布律為P(X=xi)=pi, i=1,2, 隨量Y=g(X) , 從而Y的所有可能取值為yi=g(xi), i=1,2, 因此Y也是離散型隨量. 注意到ij時, 也有可能出現(xiàn)g(xi)=g(xj)的情況, 故Y的分布律為P(Y yi )P( X xk ), i 1, 2,g ( xk ) yi(P. 44-45):5.6.11.12第5次作業(yè)2019/10/749505117例:設(shè)隨量X具有概率密度fX(x), -x0時有F ( y)PYyPX 2yYyPyXyf X

21、 (x)dxy于是得Y的概率密度為1 f ( y )f ( y ), y0， f ( y)=2 y XX Y0,y 0.例：設(shè)隨量X具有概率密度x , 0x4f (x)8X0, 其他. 求隨量Y=2X+8的概率密度. 解 先求Y=2X+8的分布函數(shù)FY(y).y 88 yF ( y)PYyP2X8yPX2 f (x)dxY2X于是得Y=2X+8的概率密度為y 8 y 81 ( y 8) 1 , 0y 84fY ( y)f X ()()8 222220,其他. y 8 , 8 y 16， 320,其他. 2 連續(xù)型隨量函數(shù)的分布 在許多實際問題中，常需要考慮隨量函數(shù)的分布.如在一些試驗中, 所關(guān)

22、心的隨量往.往不能直接測量得到, 而是某個能直接測量的隨量的函數(shù). 在本節(jié)中, 我們將討論如何由已知的隨量X的分布去求它的函數(shù)Y=g(X) 分布. 設(shè)X為連續(xù)型隨 量, 已知其分布函數(shù)FX(x)和密度函數(shù)fX(x) , 隨 量Y=g(X) , 要求Y的分布函數(shù)FY(y)和密度函數(shù)fY(y).2019/10/752535418由上面例子看到，與隨 量有關(guān)的某些數(shù)值，雖不能完整地描述隨 量，但能清晰地描述隨 量在某些方面的重要特征 , 這些數(shù)字特征在理論和實踐上都具有重要意義.q 隨 量的平均取值 數(shù)學(xué)期望q 隨 量取值平均偏離均值的情況 方差例如：考察一個班級的期末考試成績, 既要看全班的平均成

23、績，又要看每個人的成績與平均成績的 偏離程度，平均成績越高，偏離程度越小， 說明教學(xué)效果越好.考察一射手的水平, 既要看他的平均環(huán)數(shù)是否高, 還要看他射擊著點的范圍是否小, 即數(shù)據(jù)的波動是否小.2. 隨量的數(shù)字特征對于一個隨量，若知道了它的分布（離散型的概率分布，連續(xù)型的概率密度函數(shù)），則這個隨量隨機取值的統(tǒng)計規(guī)律就全部掌握了. 但是，一方面由于實際問題中，要確定一個隨量的分布很困難；另一方面又由于有不少問題只需要知道隨量的某些特征（如隨量取值的平均大小和取值的集中程度等等）就夠了. 因此，在對隨量的研究中，用數(shù)字來刻畫它的2019/10/755565719 如果另外再抽驗100只手表, 每作

24、一次這樣的檢驗, 就得到一組不同的頻率, 也就有不同的日走時誤差的平均值. 由關(guān)于頻率和概率關(guān)系的討論知, 理論上應(yīng)該用概率去代替上述和式的頻率, 這時得到的平均值才是理論上(也是真正)的平均值. 這樣我們就引出了隨量的數(shù)學(xué)期望的概念.例:某手表廠在出廠產(chǎn)品中, 抽查了N=100只手表的日走時誤差, 其數(shù)據(jù)如表:則抽查到的100只手表的平均日走時誤差為xk Nk ( 2) 3 ( 1) 10 0 17 1 28 2 21 3 16 4 5xk1.22N100即平均值xNkxfkNkk日走時誤差xk-2-101234只數(shù)Nk3101728211651. 隨量的數(shù)學(xué)期望1.1、離散型隨量的數(shù)學(xué)期望

25、例：有A，B兩射手，他們的射擊技術(shù)如表所示，試問哪一個射手本領(lǐng)較好？射手名稱AB擊數(shù)89108910概率0.30.1 0.6 0.2 0.50.32019/10/758596020例: 設(shè)隨量X具有如下的分布，求E(X).k 2k1PX(1),k1,2,.k2k解 雖 然 有k 2k 1k 1xk PXxk( 1)k 2k( 1) kln 2k 1k 1k1收斂, 但1xk pkk 1k 1 k發(fā)散, 因此E(X)不存在.注：要求| xk | pk是因為離散型隨量k的取值可以按不同順序排列，而改變順序時， 數(shù)學(xué)期望的取值不應(yīng)改變. 而| xk | pkk能保證不管離散型隨量的順序如何，xk p

26、k 的值都一樣.k定義:設(shè)離散型隨量X的概率分布為PXxk pkk1,2,.如若| xk | pkk則稱xk pk 為隨量X的數(shù)學(xué)期望,記為E(X).k如果| xk | pkk則稱隨量X的數(shù)學(xué)期望不存在.2019/10/7616263211.2、連續(xù)型隨 量的數(shù)學(xué)期望設(shè)X是連續(xù)型隨 量，密度函數(shù)為f(x)， 為簡單起見，設(shè)f(x)只在有限區(qū)間a, b上取不為0的值. 取分點a=x0x1x2 xn+1=b則X落在區(qū)間xi=(xi, xi+1)中的概率為ix i 1PXx xf (x)dxi當xi 很小時, PXxi f (xi)xi在微積分中，我們知道對離散取值的函數(shù)數(shù)列，我們可以考慮其和. 而

27、對連續(xù)取值的函數(shù)，我們不能簡單的考慮函數(shù)值的和. 這時函數(shù)的和的概念被擴充為定積分. 而定積分的概念實際上是和式的極限.類似的，我們考慮連續(xù)型隨 量的數(shù)學(xué)期望.例:有A，B兩射手，他們的射擊技術(shù)如表所示， 試問哪一個射手本領(lǐng)較好？射手名稱AB擊數(shù)89108910概率0.30.10.6 0.20.50.3解 A射擊平均擊數(shù)為80.390.1100.69.3B射擊平均擊數(shù)為80.290.5100.39.1所以A的射擊技術(shù)較B的好.2019/10/764656622定義: 設(shè) X 為連續(xù)型隨量，f (x)為其密度函數(shù)，如果| x | f (x)dx則稱xf (x)dx為隨量 X 的數(shù)學(xué)期望(簡稱期望

28、) ，也稱為X的均值. 記作E( X )或EX .根據(jù)定積分的定義，和式xi f (xi ) xii以定積分bxf (x)dxxf (x)dxa為極限.于是這一定積分的值便是X的精確的數(shù)學(xué)期望值. 如果X在無限區(qū)間上取值，上述定義還應(yīng)擴充到無窮區(qū)間上的積分，這里就不再討論了， 一般的，我們給出下列定義：這時概率分布可以看作X的離散近似，服從上述分布的離散型隨量的數(shù)學(xué)期望為xi f (xi ) xii它近似的表達了連續(xù)型隨量的平均值， 當分點越來越密時，近似會越來越好.xix0x1.xnpif(x0)x0f(x1)x1.f (xn)xn2019/10/767686923例:若隨量X的概率密度函數(shù)

29、為f (x)1 1 ,x1 x2問隨量X的數(shù)學(xué)期望E(X)是否存在.1 12x解| x | f (x)dx| x |2 dx2 dx1 x0 1 x11 d (1 x2 )1 ln(1 x2 ) |0 1x20所以E(X)不存在. 但1xxf (x)dxdx01x2 例:設(shè)隨量X的概率密度函數(shù)為2x,0 x 1f (x) 0,其他.試求X的數(shù)學(xué)期望解E( X )xf (x)dx1 x 2xdx012 122x2dxx30303數(shù)學(xué)期望完全由隨 量的概率分布所確定,如果X服從某一分布,也稱E(X)是這一分布的數(shù)學(xué)期望.注意: 不是所有的隨量都有數(shù)學(xué)期望2019/10/770717224由數(shù)學(xué)期望

30、定義有Eg(X)y j P(Yy j )jy jP(Xxi )ji:g ( xi ) y jg (xi )P(Xxi )j i:g ( xi ) y jg (xi )P(Xxi )i證明：這里僅對離散型隨量的情形予以證明.令Yg ( X ),則Y為離散型隨量, 設(shè)其可能值為yj , j1, 2, 于 是 P(Yy j )Pg( X )y jP(Xxi i:g ( xi ) y jP(Xxi )i:g ( xi ) y j1.3 隨量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 定理:設(shè)Y是隨量X的函數(shù):Y=g(X)(g是實函數(shù)). (1)設(shè)離散型隨量X的概率分布為PX=xk=pk, k=1,2,.若| g(xk ) | p

31、kk 1則E(Y ) E g( X )g( xk ) pkk 1 (2)設(shè)連續(xù)型隨量X的密度函數(shù)為f(x), 若| g(x) | f (x)dx則有E(Y ) E g( X )g(x) f ( x)dx2019/10/773747525例:若EX, EX2都存在，試證明E( XEX ) 2EX 2(EX )2證 明 E(X-EX)2=EX-E(X)2=EX2 -2XE(X)+ E(X)2= E(X2)-2E(X)E(X)+ E(X)2= E(X2)- E(X)2下面給出第一條性質(zhì)的證明. 其他請同學(xué)們完成. 證明(1)設(shè)離散型隨機向量X分布列為PX=xi=pi,i=1,2,則aap iap i

32、x i p iE ( X )i 1i 1i 1bp ibp ibi 1i 1 (2)設(shè)連續(xù)型隨量X的概率密度為f(x), 則aaf (x)dxaf (x)dxxf (x)dxE( X )bf (x)dxbf (x)dxb (3)因為PX=C=1, 故E(C)=E(X)=C1=C1.4 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)(1) 若aXb, 則E(X)存在, 且有aE(X)b. 特別, 若C是常數(shù), 則E(C)=C.(2) 設(shè)a1 ， a2為任意實數(shù)，g1(x), g2(x)為任意實函數(shù)，如果E(g1(X ) , E(g2(X ) 均存在，則E a1g1(X) + a2g2(X) =a1Eg1(X) +a2Eg2(X

33、)(3) 如果E(X) 存在，則對任意實數(shù)a, 有E (X +a) = E(X) + a2019/10/776777826定義：設(shè)X是一個隨量, 若EX-E(X)2存在, 則稱EX-E(X)2為X的方差. 記為D(X)或Var(X), 即D(X)= Var(X)= EX-E(X)2o ( X )D( X ) 稱為X的標準差或均方差. 由前一部份的例子，得到下面的結(jié)果.定理:D( X )E( X 2 )E( X )2分析原因： A手表之所以優(yōu)于B手表, 是因為A手表的日走時較B手表穩(wěn)定. 其日走時與其日平均誤差的偏離程度小. 研究隨量與其均值的偏離程度是有必要的. 怎么樣去度量這個偏離程度呢?

34、(1)xi-E(X)表示xi與E(X)之間的偏差; (2)EX-E(X)不能反映X與E(X)之間的整體偏差; (3)E|X-E(X)|可以度量X與E(X)之間的整體偏差,但運算不方便; (4)EX-E(X)2可以度量X與E(X)之間的整體偏差,且運算也較方便.1.5 隨量的方差例：A，B兩種手表的日走時誤差分別具有如下的分布律：易知E(XA)=E(XB)=0. 由數(shù)學(xué)期望無法判別兩種手表的優(yōu)劣. 但直覺告訴我們A優(yōu)于B, 怎么樣用數(shù)學(xué)的方法把這種直覺表達出來呢?XA-101XB-2-1012p0.10.80.10.10.20.40.20.12019/10/779808127例: 設(shè)X的具有數(shù)學(xué)

35、期望E(X)=, 方差D(X)=20,則X *X稱為X的標準化變量. 試計算其數(shù)學(xué)期望和方差例：A，B兩種手表的日走時誤差分別具有如下表的分布律. 問哪種手表質(zhì)量好些?解 易知E(XA)=E(XB)=0. 所以D(XA) ( 1) 20 0.1 0 2 0 0.8 21 0 0.1 0.2D(XB )( 2) 2 0 0.1 ( 2 1)0 0.2002 0.4102 0.2202 0.1 1.2由于D(XA)D(XB), 因此A手表較B手表的質(zhì)量好.XA-101XB-2-1012p0.10.80.10.10.20.40.20.1 方差實際上是隨量X的函數(shù)g(X)=X-E(X)2的數(shù)學(xué)期望.于

36、是 (1)對于離散型隨量X, 若PX=xi=pi, i=1,2,則D( X )xE( X )2 piii 1 (2)對于連續(xù)型隨量X, 若其概率密度為f(x), 則D( X )xE( X )2 f (x)dx2019/10/782838428隨量方差的性質(zhì) (1)設(shè)C是常數(shù), 則D(C)=0 (2) D(X+a)=D(X) (3)設(shè)C是常數(shù), X是隨量, 則有D(CX)=C2D(X) (4)對于任意常數(shù)CE(X),有D(X)E(X-C)2 例：X為一隨量，方差存在，令l(C)E( XC)2證明：當且僅當C=EX時，l(C)達到最小值，最小值為DX.證明：l(C)E( XC)2E( XEX )(

37、EXC)2E(XEX )22( XEX )(EXC)(EXC2)E( XEX )2(EXC)2 E( XEX )2DX顯然，當且僅當C=EX時，l(C)達到最小值，最小值為DX.這個例子表明，若用常數(shù)C來預(yù)測X，X的實際取值與C存在偏差X-C,平均意義下的偏差程度用均方誤差E(X-C)2來衡量, 則最好的誤差應(yīng)使得E(X-C)2最小，C=EX做到這一點. 例:設(shè)隨量X概率密度為f(x), 求D(X).1 x,1 x 0f (x) 1x,0 x 1， 0,其他. 解01E( X )x(1 x)dxx(1 x)dx0E( X 2 )1 x2 (1x)dx 0x2 (1x)dx101106于是, D

38、(X)=E(X2)-E(X)2=1/62019/10/785868729推論1（馬爾可夫不等式） 設(shè)X的k階矩存在， 則對任意0 ，有E | X |kP| X |k .推論2 （切比雪夫不等式） 設(shè)X的方差存在， 則對任意0,有 P| X EX | DX2推論3 隨量的方差為0當且僅當存在一個常數(shù)a,使得PX=a=1.定義 若E Xk(k=1,2,)存在, 則稱 E( X - EX ) k 為X 的k階中心矩. E | X - EX |k 為X的k階絕對中心矩.注：數(shù)學(xué)期望是X的一階原點矩，方差是X的二階中心矩.由以上定理，若EX2存在，則數(shù)學(xué)期望和方差都存 在.定理 設(shè)h(x)是非負函數(shù)，X

39、是一個隨 量，且Eh(X)存在，則對任意 0 ，有Ph( X ) Eh( X )證明：設(shè)X的密度函數(shù)為f(x), 則Eh( X )h(x) f (x)dxh( x) f ( x)dxh( x) f ( x)dxh (x)h ( x )h(x) f (x)dxf (x)dxPh( X )h( x)h( x)1.6 隨量的矩與切比雪夫不等式定義:若EXk(k=1,2,)存在, 則稱它為X的k階原點矩, 簡稱k階矩， E|X|k為X的k階絕對矩.定理: 隨量X的t階矩存在，則其s(0st)階矩存在.證明 設(shè)X為連續(xù)型隨量，其密度函數(shù)為f(x).E | X |s| x |s f (x)dx| x |s

40、 f (x)dx|x| 1|x| 1f (x)dx| x |t f (x)dx|x| 1|x| 1P| X |1E | X |t推論：設(shè)k為正整數(shù)，C為常數(shù)，如果 EX k 存在則 E( XC)k 也存在，特別地 E( X - EX )k 也存在2019/10/7888990303. 常用的離散型分布1.分布一個隨量X以概率1取某一常數(shù)，即PX=a=1,則稱X服從a處的分布. 顯然，EX=a, DX=0.(P. 55):1.第6次作業(yè)推論3 的證明 充分性顯然，下證必然性. 首先注意到| XEX |0| XEX |1n 1n從而有11P| XEX | 0P(| XEX | n)P(| XEX | n )n 1n 1由切比雪夫不等式，有P| X EX | 1DX 0n(1 n)2從而得 P| XEX | 00.因此P| XEX | 0 1.2019/10/791929331應(yīng)用 凡試驗只有兩個結(jié)果, 常用兩點場合 分布描述, 如產(chǎn)品是否合格、人口性別統(tǒng)計、系統(tǒng)是否正常、電力消耗是 否 等 等 .在實際應(yīng)用中，一個0-1分布的