GH 哈代的數(shù)學(xué)觀及其當(dāng)代數(shù)學(xué)教育意義——兼論我國(guó)中小學(xué)《 國(guó)家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》 的修改與完善.doc

1.哈代的數(shù)學(xué)觀及其當(dāng)代數(shù)學(xué)教育意義1兼論我國(guó)中小學(xué)國(guó)家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的修改與完善徐文彬，楊玉東（1.南京師范大學(xué)教育科學(xué)學(xué)院，江蘇南京210097；2.華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，上海200062）摘要：辨證地理解.哈代的數(shù)學(xué)觀，對(duì)當(dāng)代數(shù)學(xué)教育和修訂我國(guó)的國(guó)家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)極具啟發(fā)意義。關(guān)于數(shù)學(xué)對(duì)象，哈代持極端的實(shí)在論觀點(diǎn)，它有利于理解數(shù)學(xué)“主觀的”客觀實(shí)在性；關(guān)于數(shù)學(xué)本質(zhì)，哈代持極端的完美主義，它有利于理解“為數(shù)學(xué)而數(shù)學(xué)”的理性追求和理性批判精神；關(guān)于數(shù)學(xué)證明，哈代持“內(nèi)部的”和“外部的”兩種證明的觀點(diǎn)，它有利于理解數(shù)學(xué)的“整體觀”和“文化功能”。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)的對(duì)象，數(shù)學(xué)的本質(zhì)，數(shù)學(xué)證明，國(guó)家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中圖分類號(hào)：G423文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A.哈代1877年2月7日生于英國(guó)薩里郡克蘭利地區(qū)的一個(gè)教師家庭，1947年12月1日病逝于劍橋大學(xué)他是數(shù)學(xué)史上“劍橋分析學(xué)派”后期以分析為目的的“純數(shù)學(xué)學(xué)派”的領(lǐng)袖人物之一1他在解析數(shù)論、調(diào)和分析和函數(shù)論等諸多領(lǐng)域都做出了巨大貢獻(xiàn)；而且，經(jīng)由他創(chuàng)立的一些重要數(shù)學(xué)方法2現(xiàn)已滲透到其他數(shù)學(xué)分支或領(lǐng)域不僅如此，哈代還對(duì)數(shù)學(xué)的對(duì)象、本質(zhì)、意義和價(jià)值等進(jìn)行了深入、細(xì)致的研究，對(duì)從19世紀(jì)后期開(kāi)始的數(shù)學(xué)純粹化趨勢(shì)起到了推波助瀾的作用這種數(shù)學(xué)純粹化趨勢(shì)及其結(jié)果不僅影響了20世紀(jì)中后期的世界數(shù)學(xué)教育，而且還對(duì)當(dāng)今世界的數(shù)學(xué)教育改革發(fā)揮著巨大的潛在作用因此，要理解20世紀(jì)上半葉作為一種文化現(xiàn)象的純數(shù)學(xué)的發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)教育的影響3，研究哈代的數(shù)學(xué)觀及其當(dāng)代數(shù)學(xué)教育意義是不無(wú)裨益的關(guān)于數(shù)學(xué)的對(duì)象關(guān)于數(shù)學(xué)的對(duì)象，哈代所持有的觀點(diǎn)是極端的實(shí)在論或柏拉圖主義者的觀念4他認(rèn)為，“數(shù)學(xué)實(shí)在（即數(shù)學(xué)的對(duì)象）存在于我們之外，我們的作用是去發(fā)現(xiàn)或觀察它，那些被夸張地描述成我們的創(chuàng)造物的定理，僅僅是我們觀察的記錄”5他甚至還認(rèn)為，“當(dāng)我們知道了一個(gè)定理，我們就是知道了某種東西，某種客觀的東西；當(dāng)我們相信了一個(gè)定理，我們就是相信了某種東西；至于我們相信的東西究竟正確與否，那是無(wú)所謂的”6而恩格斯則認(rèn)為，“純數(shù)學(xué)的對(duì)象是現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系，所以是非?，F(xiàn)實(shí)的材基金項(xiàng)目：全國(guó)教育科學(xué)“十五”規(guī)劃重點(diǎn)課題（BHA010079）作者簡(jiǎn)介：徐文彬（1966），男，安徽宣城人，南京師范大學(xué)教育科學(xué)學(xué)院副教授，主要從事數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論研究。2料”7由此可見(jiàn)，哈代的觀點(diǎn)與恩格斯的看法不無(wú)一致之處：（純）數(shù)學(xué)的對(duì)象是外在于我們的（現(xiàn)實(shí)世界的）存在，即事物的量任何事物都是質(zhì)與量的統(tǒng)一體，既沒(méi)有離開(kāi)量的質(zhì)，也沒(méi)有脫離質(zhì)的量；如同事物的質(zhì)一樣，事物的量也是豐富和多樣的而這種豐富多樣的事物的量正是數(shù)學(xué)的對(duì)象從數(shù)學(xué)發(fā)展史的角度來(lái)看，隨著人類數(shù)學(xué)思維水平的不斷提升，數(shù)學(xué)對(duì)事物的量的揭示經(jīng)歷了以下幾個(gè)階段：名數(shù)、常數(shù)、變數(shù)和關(guān)系結(jié)構(gòu)（至于“空間形式和數(shù)量關(guān)系”，本質(zhì)上它們都屬于事物的量，是量的兩種不同表現(xiàn)形式）8名數(shù)（約公元前3000年以前），與具體事物的質(zhì)緊密相連，具有多少的意思，即“具體的不同質(zhì)的表達(dá)多寡的（數(shù)）概念”9常數(shù)（約公元前3000年16世紀(jì)），與具體事物的質(zhì)相脫離，表示單個(gè)的數(shù)，具有多少的含義懷特海曾高度評(píng)價(jià)“常數(shù)”概念在人類思想史上的重大意義：“首先注意到7條魚(yú)和7天的共同點(diǎn)的人必然使（人類）思想史前進(jìn)了一大步他是第一個(gè)具有純數(shù)學(xué)觀念的人”10變數(shù)（1718世紀(jì)），表示一類的數(shù)或一定取值范圍內(nèi)的數(shù)及其關(guān)系對(duì)此，恩格斯給予了極其肯定和積極的評(píng)價(jià)：“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡兒的變數(shù)有了變數(shù)，運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué)；有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)；有了變數(shù)，微分和積分也就立刻成為必要的了”11關(guān)系結(jié)構(gòu)（19世紀(jì)），是對(duì)變數(shù)及其關(guān)系的揚(yáng)棄，否定了其中的“數(shù)”，而保留了具有一定性質(zhì)的特定“關(guān)系”，即結(jié)構(gòu)12布爾巴基學(xué)派對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的揭示，充分體現(xiàn)了該階段數(shù)學(xué)的“自由的”創(chuàng)造性，而“希爾伯特計(jì)劃”13則充滿著對(duì)這種自由創(chuàng)造的自信，可是歌德?tīng)柕热说摹皵?shù)學(xué)結(jié)論”14卻很可能反映了對(duì)這種自由創(chuàng)造的某種限制或約束或界限那么，純數(shù)學(xué)的對(duì)象是否就是“非?，F(xiàn)實(shí)的材料”呢？關(guān)于這個(gè)問(wèn)題，哈代認(rèn)為，數(shù)學(xué)的對(duì)象是一種獨(dú)立的客觀實(shí)在，因此我們只能“觀察”與“記錄”，而不能創(chuàng)造與發(fā)明其實(shí)，任何理論學(xué)科（比如，物理學(xué)、宇宙學(xué)、社會(huì)學(xué)、歷史學(xué)、教育學(xué)，甚至課程理論與教學(xué)理論等），都不是以“非?，F(xiàn)實(shí)的材料”為其直接的研究對(duì)象，而是以“思想事物（雖然它們是現(xiàn)實(shí)的摹寫(xiě)）”15為其直接的研究對(duì)象數(shù)學(xué)也絲毫不例外因此，數(shù)學(xué)的對(duì)象就有兩個(gè)：一個(gè)是直接對(duì)象，即像“數(shù)”、“序”、“空間”、“關(guān)系”、“結(jié)構(gòu)”等思想事物，另一個(gè)則是這些思想事物所反映的現(xiàn)實(shí)事物的量，即間接對(duì)象因?yàn)槿缤械钠渌麑W(xué)科一樣，數(shù)學(xué)的最終目的也不是研究這些思想事物，而是要反映現(xiàn)實(shí)事物的某個(gè)側(cè)面或某類特性（就數(shù)學(xué)而言，這個(gè)側(cè)面或這類特性就是客觀現(xiàn)實(shí)事物的質(zhì)的量）由此可見(jiàn)，哈代混淆了數(shù)學(xué)的直接對(duì)象與間接對(duì)象，把間接對(duì)象視為直接對(duì)象，因而就必然得出：我們只能觀察與記錄數(shù)學(xué)對(duì)象、而不能創(chuàng)造與發(fā)明它們事實(shí)上，“思想事物”都是我們?nèi)祟惖膭?chuàng)造與發(fā)明，只是有些思想事物一經(jīng)創(chuàng)造與發(fā)明，就獲得了某種“外在于我們的”特性，即（“主觀的”）客觀實(shí)在性，而源自這些思想事物的其他思想事物仿佛就成了“僅僅是我們觀察的記錄”：“也許可以說(shuō)，一個(gè)數(shù)系是人的創(chuàng)造或發(fā)明但是奇數(shù)和偶數(shù)、可除數(shù)和素?cái)?shù)之間的區(qū)別是一個(gè)發(fā)現(xiàn)：一旦數(shù)系存在，作為構(gòu)成這個(gè)系統(tǒng)的（意想不到的）結(jié)果，客觀上就有這些獨(dú)特?cái)?shù)字集合；而它們的性質(zhì)就會(huì)被人發(fā)現(xiàn)”163數(shù)學(xué)，作為學(xué)校教育課程的數(shù)學(xué)，在某種程度上肯定是“外在于我們的”學(xué)生甚至教師的因而這種數(shù)學(xué)也就必然具有上述所謂的“主觀的”客觀實(shí)在性所以，正是在這個(gè)意義上，我們完全贊同并欣賞荷蘭學(xué)者弗賴登塔爾所倡導(dǎo)的關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“再創(chuàng)造”或“數(shù)學(xué)化”理論但是，這是研究的學(xué)術(shù)結(jié)論，而非教學(xué)的實(shí)踐結(jié)果因此，這里的關(guān)鍵問(wèn)題不是要不要“再創(chuàng)造”或“數(shù)學(xué)化”，而是如何進(jìn)行“再創(chuàng)造”或“數(shù)學(xué)化”而這正是數(shù)學(xué)教學(xué)論所要著力思考與解決的問(wèn)題弗賴登塔爾對(duì)此所給出的答案是，“數(shù)學(xué)的根源是常識(shí)，人們通過(guò)自己的實(shí)踐把這些常識(shí)通過(guò)反思，組成起來(lái)，不斷地進(jìn)行系統(tǒng)化（橫向的或縱向的）”17，以及“有指導(dǎo)的”和“結(jié)合現(xiàn)實(shí)”的“再創(chuàng)造”18我國(guó)中、小學(xué)新的國(guó)家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)都在不同程度上吸收了弗賴登塔爾的思想，十分強(qiáng)調(diào)“數(shù)學(xué)化”過(guò)程：“經(jīng)歷（感受）、體驗(yàn)（體會(huì)）和探索”19，“經(jīng)歷模仿、發(fā)現(xiàn)探索、反應(yīng)認(rèn)同和領(lǐng)悟內(nèi)化”20，但是卻都沒(méi)有設(shè)計(jì)相對(duì)應(yīng)的范例，只給出了內(nèi)容（參考）案例這顯然需要改進(jìn)此外，作為“數(shù)學(xué)化”理論的前提之一，即生物學(xué)上的“個(gè)體發(fā)展過(guò)程是群體發(fā)展過(guò)程的重現(xiàn)”在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上的體現(xiàn)“數(shù)學(xué)發(fā)展的歷程也應(yīng)在個(gè)人身上重現(xiàn)”是否真的成立？還僅僅是一個(gè)假說(shuō)或猜測(cè)！即使成立，它也只具有發(fā)生學(xué)和統(tǒng)計(jì)學(xué)的意義倒是哈代的“僅僅是我們觀察的記錄”對(duì)“數(shù)學(xué)化”之后具有一定的啟發(fā)意義數(shù)學(xué)對(duì)象的“主觀的”客觀實(shí)在性應(yīng)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和教學(xué)中有所反映也就是說(shuō)，我們新的國(guó)家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)過(guò)于強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)的間接對(duì)象，而忽視了它的直接對(duì)象我們認(rèn)為，在這個(gè)問(wèn)題上，每一次數(shù)學(xué)課程改革都應(yīng)該尋求或重新尋找數(shù)學(xué)的直接對(duì)象和間接對(duì)象兩者間的和諧關(guān)系，在它們之間保持必要的張力關(guān)于數(shù)學(xué)的本質(zhì)哈代認(rèn)為，純數(shù)學(xué)是無(wú)用和無(wú)害的，是“真正的”和“好的”數(shù)學(xué)，而應(yīng)用數(shù)學(xué)則是有用和有害的，因而是“不足稱道的”或“壞的”數(shù)學(xué)其實(shí)，純數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)之間的必要張力是數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)展的不竭動(dòng)力和源泉哈代之所以有如此看法，是與他關(guān)于數(shù)學(xué)的本質(zhì)、目的、意義和價(jià)值的觀點(diǎn)分不開(kāi)的首先，他認(rèn)為，“數(shù)學(xué)家跟畫(huà)家或詩(shī)人一樣，也是造型家，如果說(shuō)數(shù)學(xué)家的造型比畫(huà)家和詩(shī)人的造型更能經(jīng)受時(shí)間的考驗(yàn)，這是因?yàn)榍罢呤怯筛拍钏茉斓漠?huà)家造型用形與色，詩(shī)人則用語(yǔ)言一幅畫(huà)可以表示一種意境，但畫(huà)意通常是老生常談，無(wú)足輕重，相比之下詩(shī)意則重要得多然而，詩(shī)意的重要性往往言過(guò)其實(shí)，這是豪斯曼（18561936，英國(guó)古典文學(xué)家和詩(shī)人）堅(jiān)定不移的看法，他說(shuō)：我無(wú)法確信竟然存在詩(shī)意這樣的東西詩(shī)歌不在于表達(dá)了什么，而在于怎樣表達(dá)”“另一方面，數(shù)學(xué)家除了概念之外不與任何東西打交道，因此數(shù)學(xué)家的造型可能更持久因?yàn)楦拍畈粫?huì)像語(yǔ)言那樣快地變成陳詞濫調(diào)”“數(shù)學(xué)家的造型與畫(huà)家或詩(shī)人的造型一樣，必須美；概念也像色彩或語(yǔ)言一樣，必須和諧一致美是首要的標(biāo)準(zhǔn)；不美的數(shù)學(xué)在世界上是找不到容身之地的”21其次，他還認(rèn)為，“最好的數(shù)學(xué)既是美的，同時(shí)又是嚴(yán)肅的”22，即數(shù)學(xué)定理要具有4一定的普遍性和深刻性，也即，“數(shù)學(xué)定理的嚴(yán)肅性在于它所涉及的那些數(shù)學(xué)概念的意義，（）而一個(gè)數(shù)學(xué)概念有意義，如果它同形形色色的其他數(shù)學(xué)概念有一種自然而鮮明的聯(lián)系因此，嚴(yán)肅的數(shù)學(xué)定理，即是把有意義的概念聯(lián)系起來(lái)的定理，很可能在數(shù)學(xué)本身以及其他科學(xué)領(lǐng)域內(nèi)產(chǎn)生重大進(jìn)展”23應(yīng)該說(shuō)，這一點(diǎn)對(duì)我們選擇什么樣的數(shù)學(xué)材料以構(gòu)成課程內(nèi)容、以及怎樣編排這些材料以形成教材等，都具有一定的借鑒或指導(dǎo)意義關(guān)于數(shù)學(xué)美，哈代認(rèn)為，并不像人們普遍認(rèn)同的那樣，很少有人能夠欣賞它其實(shí)，“現(xiàn)在也許很難找到一個(gè)受過(guò)教育的人對(duì)數(shù)學(xué)美的魅力全然無(wú)動(dòng)于衷”24，不僅如此，而且“大多數(shù)人都能欣賞一點(diǎn)數(shù)學(xué)，正如多數(shù)人能欣賞一支令人愉快的曲調(diào)一樣對(duì)數(shù)學(xué)真正有興趣的人很可能比對(duì)音樂(lè)有興趣的人要多表面看來(lái)可能與此相反，但這是很容易理解的音樂(lè)可用來(lái)激發(fā)群眾的情緒，而數(shù)學(xué)卻不能；音樂(lè)上缺乏才能是公認(rèn)為不太體面的事（這無(wú)疑是正確的），而大多數(shù)人一聽(tīng)到數(shù)學(xué)就害怕，所以他們隨時(shí)都會(huì)由衷地強(qiáng)調(diào)自己在數(shù)學(xué)上不高明”25就“對(duì)數(shù)學(xué)美的欣賞”而言，哈代的看法的確反映出他對(duì)普通人心理的敏銳感悟和深刻洞察26由此可以看出，我們的數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)在有意或無(wú)意之間表現(xiàn)出與哈代看法的某種程度的一致性：“人人學(xué)有價(jià)值的數(shù)學(xué)”、“人人都能獲得必需的數(shù)學(xué)”和“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”27然而，龐加萊卻認(rèn)為，數(shù)學(xué)的本質(zhì)命系“三重目的”，即“數(shù)學(xué)的目標(biāo)和意義有三個(gè)方面：首先，數(shù)學(xué)提供了研究自然界的有力工具；其次，數(shù)學(xué)的研究有重要的哲學(xué)意義；再則，我敢冒昧地說(shuō)，數(shù)學(xué)的探索還有深刻的美學(xué)原則毫無(wú)疑問(wèn)，數(shù)學(xué)的發(fā)展充分地激勵(lì)著哲學(xué)家們?nèi)ヌ剿鲾?shù)量、空間和時(shí)間的概念因此，我毫不猶豫地認(rèn)為，任何一個(gè)人要想有教養(yǎng)，就要去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，即使是那些在物理學(xué)或其他學(xué)科中暫無(wú)任何應(yīng)用的數(shù)學(xué)理論，也是值得去學(xué)習(xí)和探索的”28由此可見(jiàn)，哈代關(guān)于數(shù)學(xué)本質(zhì)的看法是極端的完美主義，而龐加萊的看法則顯得更為全面和合理但是，哈代的這種“為藝術(shù)而藝術(shù)”或“為數(shù)學(xué)而數(shù)學(xué)”的精神與傾向?qū)τ谂懦龜?shù)學(xué)及數(shù)學(xué)研究中的功利主義和實(shí)用主義觀點(diǎn)、推動(dòng)20世紀(jì)上半葉純數(shù)學(xué)的獨(dú)立發(fā)展，起到了積極的作用不僅如此，我們還認(rèn)為，在實(shí)用主義（為了考試、職業(yè)、利益、權(quán)力）泛濫的當(dāng)代中國(guó)數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域急需引進(jìn)并培植一種哈代式的“為數(shù)學(xué)而數(shù)學(xué)”的精神與傾向在這灼熱的實(shí)用主義氛圍中，它無(wú)疑是一副涼爽的清潔劑！當(dāng)然，如果數(shù)學(xué)的“重要的哲學(xué)意義”能夠貫徹?cái)?shù)學(xué)教育教學(xué)的始終，那么，通過(guò)數(shù)學(xué)，我們就不僅能夠“形成理性思維”29的基礎(chǔ)，而且還能夠養(yǎng)成追尋理性并批判、反思理性的哲學(xué)精神！我們認(rèn)為，所有這一切都應(yīng)該在新課程標(biāo)準(zhǔn)中有所體現(xiàn)，并切實(shí)落實(shí)于教材和課程與教學(xué)的評(píng)價(jià)之中關(guān)于數(shù)學(xué)證明關(guān)于數(shù)學(xué)證明，G.H.哈代認(rèn)為，它至少有兩種不同含義：首先是數(shù)學(xué)系統(tǒng)內(nèi)部的證明（demonstration），其次是數(shù)學(xué)系統(tǒng)外部的證明（proof）30我們認(rèn)為，前者意味著某種5數(shù)學(xué)能力，而后者則意味著某種數(shù)學(xué)智慧因?yàn)閿?shù)學(xué)系統(tǒng)外部的證明是以數(shù)學(xué)內(nèi)部的所有證明為其研究對(duì)象，并追求一種無(wú)矛盾的信念；盡管這種追求的結(jié)果往往都是一些否定性的結(jié)論，比如，歌德?tīng)柌煌耆远ɡ?、歐幾里得第五公設(shè)的不可證明或獨(dú)立性及非歐幾何的確立這好象又是一種“肯定”性的結(jié)論，等等為了便于理解，我們?cè)囎鲆粋€(gè)不太恰當(dāng)?shù)谋扔鳎喝绻皵?shù)學(xué)如下棋”，那么“單車難破士象全”就是一個(gè)下棋系統(tǒng)外部證明的結(jié)論前者是數(shù)學(xué)的證明，而后者則是關(guān)于數(shù)學(xué)的證明；前者是內(nèi)在的，而后者則是外在的；前者是數(shù)學(xué)研究，而后者則是研究數(shù)學(xué)“注重聯(lián)系，提高（學(xué)生）對(duì)數(shù)學(xué)整體的認(rèn)識(shí)”是普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）中的教學(xué)建議之一它不僅強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的發(fā)展既有內(nèi)在的需要、又有外在的推動(dòng)，而且還認(rèn)為，在教學(xué)中，“要注重?cái)?shù)學(xué)的不同分支和不同內(nèi)容之間的聯(lián)系，數(shù)學(xué)與日常生活的聯(lián)系，數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系”31但是，我們認(rèn)為，如果要想真正提高學(xué)生（甚至教師）對(duì)數(shù)學(xué)整體的認(rèn)識(shí)，只靠上述“三重聯(lián)系”是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，還非得考慮哈代所謂的“數(shù)學(xué)系統(tǒng)的外部證明”不可因?yàn)椤叭魏嗡降臄?shù)學(xué)教學(xué)的最終目的無(wú)疑是使學(xué)生對(duì)他所要處理的數(shù)學(xué)對(duì)象有一個(gè)可靠的直覺(jué)”32否則，“對(duì)數(shù)學(xué)整體的認(rèn)識(shí)”最多只能停留在“某種數(shù)學(xué)能力”的水平上，而不可能達(dá)到“某種數(shù)學(xué)智慧”的層次此外，包括“了解數(shù)學(xué)真理的相對(duì)性”在內(nèi)的“正確的數(shù)學(xué)觀”（這些都是普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）基本理念中的“體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值”和滲透于各模塊之中的“數(shù)學(xué)文化內(nèi)容”的有機(jī)構(gòu)成）的“逐步形成”是非得有這種數(shù)學(xué)智慧的“攪和”或引領(lǐng)不可這是毫無(wú)疑問(wèn)的至于如何在課標(biāo)中陳述、如何在教材中呈現(xiàn)、以及如何在課程、教學(xué)和評(píng)價(jià)中貫徹，都是一些很值得我們做專題研究的G.H.哈代關(guān)于數(shù)學(xué)證明的認(rèn)識(shí)與他關(guān)于數(shù)學(xué)的對(duì)象和數(shù)學(xué)的本質(zhì)的認(rèn)識(shí)不無(wú)一致：“我本人常常認(rèn)為數(shù)學(xué)家首先是一個(gè)觀察家，凝視著遠(yuǎn)處的山脈，寫(xiě)下觀察的記錄他的目的是盡可能清楚地識(shí)別出不同的山峰，并向他人報(bào)告有一些山峰他很容易就能識(shí)別，其他有些山峰就顯得模糊不清山峰A他看得很清楚，山峰B卻只能瞥見(jiàn)隱約的輪廓終于他辨認(rèn)出一條山脊，由A出發(fā)延伸到頭，在B處達(dá)到頂峰現(xiàn)在B被固定在他的視野，從這一點(diǎn)出發(fā)他又可以做出進(jìn)一步的發(fā)現(xiàn)在其他情形，他也許能識(shí)別出一條消失在遠(yuǎn)方的山脊，并猜測(cè)它通向一座隱沒(méi)在云海中或地平線下的山峰但當(dāng)他看見(jiàn)一座山峰，他相信它在那兒無(wú)非是因?yàn)樗匆?jiàn)了它如果他希望別的人也能看見(jiàn)這座山峰，他就直接指出它來(lái)，或者通過(guò)那條幫助他自己認(rèn)出山峰的山脊來(lái)指點(diǎn)當(dāng)他的學(xué)生也看見(jiàn)了這座山峰，那么他的研究，他的論證與證明也就大功告成”33我們認(rèn)為，在這個(gè)過(guò)程中，還必定充滿著對(duì)數(shù)學(xué)美、以及數(shù)學(xué)的普遍性和深刻性的追求與欣賞關(guān)于上述比喻，正如G.H.哈代自己所言：如果我們把它推向極端，就會(huì)得出非常矛盾的結(jié)論嚴(yán)格地說(shuō)，并沒(méi)有數(shù)學(xué)證明這樣的東西但是，這個(gè)比喻卻能賦予我們?nèi)齻€(gè)方面的想象一是對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程的想象，二是對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過(guò)程的很好近似，三是對(duì)數(shù)學(xué)外部6證明的粗略圖像34從某種角度來(lái)看，這“三種想象”正是我們新課程標(biāo)準(zhǔn)及其指導(dǎo)下的教材編寫(xiě)、課堂教學(xué)、課程與教學(xué)評(píng)價(jià)等所需要的指引和方向批判地理解G.H.哈代關(guān)于數(shù)學(xué)的對(duì)象、數(shù)學(xué)的本質(zhì)和數(shù)學(xué)證明的認(rèn)識(shí)，對(duì)于重新審視我們這個(gè)時(shí)代的數(shù)學(xué)教育研究和當(dāng)前的數(shù)學(xué)課程改革，具有非常積極的意義。從某種意義上來(lái)說(shuō)，這個(gè)時(shí)代并不缺少新念頭、新理念、新思想、新方法和新理論，所缺少的是如何從不同角度吸收大數(shù)學(xué)家們的思想的合理性、所缺少的是類似于G.H.哈代擁有的“為數(shù)學(xué)而數(shù)學(xué)”或“為藝術(shù)而藝術(shù)”的一以貫之的精神、思想和踐行注釋：1另一個(gè)領(lǐng)袖人物是利特爾伍德；“劍橋分析學(xué)派”前期的“數(shù)學(xué)物理學(xué)派”主要以分析為工具，其代表人物是巴貝奇和麥克斯韋.2如，哈代元法、哈代定理和哈代空間等.3影響或促進(jìn)數(shù)學(xué)教育發(fā)展的主要因素，除了數(shù)學(xué)本身之外，還有社會(huì)、政治、經(jīng)濟(jì)、科技、文化，以及教育方面等.4這是人類思想史上最著名的哲學(xué)爭(zhēng)論之一，爭(zhēng)論的另一方是唯名論.唯名論者僅僅承認(rèn)殊相的存在，而實(shí)在論或柏拉圖主義者還承認(rèn)共相的實(shí)在性.5（英）.哈代.一個(gè)數(shù)學(xué)家的辯白M.李文林等編譯.南京：江蘇教育出版社，1996.P47.括號(hào)內(nèi)的文字由引者所加.6（英）.哈代.一個(gè)數(shù)學(xué)家的辯白M.李文林等編譯.南京：江蘇教育出版社，1996.P67.7恩格斯.反杜林論M.北京：人民出版社，1970.P35.8可參見(jiàn)：林夏水.數(shù)學(xué)的對(duì)象與性質(zhì)M.北京：社會(huì)科學(xué)文獻(xiàn)出版社，1994.括號(hào)內(nèi)的文字由引者所加.9（美）.丹齊爾.數(shù)科學(xué)的語(yǔ)言M.蘇仲湘譯.北京：商務(wù)印書(shū)館，1985.P5.括號(hào)內(nèi)的文字由引者所加.10（英）.懷特海.科學(xué)與近代世界M.北京：商務(wù)印書(shū)館，1989.P20.括號(hào)內(nèi)的文字由引者所加.11恩格斯.自然辯證法M.北京：人民出版社，1971.P236.12可參見(jiàn)：胡作玄（編著）.布爾巴基學(xué)派的興衰現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的一條主線M.上海：知識(shí)出版社，1984；布爾巴基等.數(shù)學(xué)的建筑M.胡作玄等編譯.南京：江蘇教育出版社，1999.13“希爾伯特計(jì)劃”是指，用有窮方法去論證具有無(wú)窮對(duì)象域的古典數(shù)學(xué)的形式系統(tǒng)不可能導(dǎo)致邏輯矛盾.具體來(lái)說(shuō)就是，為了證明整個(gè)數(shù)學(xué)的和諧性或一致性或無(wú)矛盾，首先把古典數(shù)學(xué)的某一基本理論嚴(yán)格形式化，再加上邏輯演算，并把這兩部分綜合起來(lái)，整理為一個(gè)形7式公理系統(tǒng)，然后再進(jìn)一步形式化，構(gòu)成一個(gè)相當(dāng)于以上公理系統(tǒng)的形式語(yǔ)言系統(tǒng)；其次從不假定實(shí)無(wú)窮的有窮觀點(diǎn)出發(fā)，建立一個(gè)邏輯系統(tǒng)作為研究上述形式語(yǔ)言系統(tǒng)的工具（由于研究形式語(yǔ)言系統(tǒng)的邏輯性質(zhì)需要用到數(shù)論，因此也要建立一個(gè)不假定實(shí)無(wú)窮的初等數(shù)論.這樣建立起來(lái)的邏輯和數(shù)論就是通常我們所謂的“元數(shù)學(xué)”或“有窮邏輯”）；最后運(yùn)用元數(shù)學(xué)來(lái)研究形式語(yǔ)言系統(tǒng)的邏輯性質(zhì)，特別是其中的證明，這也就是所謂的“證明論”（其目的是論證某一形式語(yǔ)言系統(tǒng)不包含邏輯矛盾.如果這個(gè)目的達(dá)到了，我們就可以保證那個(gè)形式語(yǔ)言系統(tǒng)所表達(dá)的數(shù)學(xué)理論是不會(huì)產(chǎn)生矛盾的）.14歌德