鎮(zhèn)江高三數(shù)學答案正式稿.pdf

高三數(shù)學答案 第 1 頁（共 8 頁） 高三數(shù)學第一學期期末考試參考答案高三數(shù)學第一學期期末考試參考答案 2019.01.19 一、填空題一、填空題（每小題（每小題 5 分）分） 題號題號 答案答案 考查知識考查知識方法思想技能方法思想技能 出出 處處 來來 源源 1 0 2， 集合的運算 必修 1 P13 頁練習第 1 題改編 2 x x2 函數(shù)的定義域，不等式解法 必修 1P69 頁練習第 2 題改編 3 1 5 古典概型，分類討論 必修 3 課本 P104 頁練習第 6 題改編 4 8 算法運算 必修 3 課本 P39 頁練習第 13 題改編 5 3 3 旋轉(zhuǎn)體側(cè)面積體積計算 必修 2 表面積，體積課本題改編 6 5 6 拋物線與雙曲線性質(zhì)，運算 選修 2-1 課本 P58 頁習題第 5 題改編 7 1 2 等比數(shù)列基本量運算 必修 5 課本習題改編 8 2 3（ ，） 函數(shù)的奇偶性單調(diào)性，轉(zhuǎn)化 期中試卷第 12 題改編 9 8 7 三角變換，轉(zhuǎn)化、運算 必修 4 課本 P123 頁練習第 5 題改編 10 1 3 向量的數(shù)量積，運算 必修 5 課本習題改編 11 2 1 等差數(shù)列基本量，恒成立， 運算 必修 5 課本習題改編 12 3 基本不等式 必修 5 課本課本題改編 13 2a2 圓與圓的位置關(guān)系，轉(zhuǎn)化， 運算 必修 2 課本習題改編 14 1 ) 6 ， 函數(shù)、導數(shù)、不等式，恒成 立問題，分析運算 模擬題改編 二、解答題二、解答題【注意注意：請嚴格按照評分標準請嚴格按照評分標準，邏輯段分數(shù)中間邏輯段分數(shù)中間，不設(shè)中間分不設(shè)中間分】 15. 解： （1）由正弦定理 sinsinsin abc ABC ， 1 分分 且coscos3 coscBbCaB，得：sincossincos3sincosCBBCAB，3 分分 則有：3sincossin()sin()sinABBCAA， 5 分分 又），（0A，則0sinA， 6 分分 則 3 1 cosB. 7 分分 （2）因為），（0B，則0sinB， 22 12 2 sin1cos1( ) 33 BB， 9 分分 高三數(shù)學答案 第 2 頁（共 8 頁） 因為2CACBBAc. 10 分分 又22 3 22 2 2 1 sin 2 1 aBacS，得. 3a 12 分分 由余弦定理 222 1 2cos9423 29 3 bacacB ， 則3b.14 分分 【說明】本題主要考查正余弦定理、向量運算、三角變換求值與化簡，考查學生的字母符號 處理能力、運算、書寫表達能力. 16.證明（1）在四棱錐VABCD中： 因為VD 面ABCD，BC面ABCD，所以BCVD. 3 分分 因為底面ABCD是矩形，所以CDBC . 4 分分 又CD面VCD，VD面VCD，DVDCD，則BC 平面VCD.7 分分 （2）因為底面ABCD是矩形，所以ADBC， 8 分分 又AD面VBC，BC面VBC，則有AD面VBC， 11 分分 又面ADNM面MNVBC ，AD面ADNM，則ADMN. 14 分分 【說明】本題主要考查線面垂直、線面平行的判定和性質(zhì)；考查學生的邏輯推理能力、空間 想象能力、書寫表達能力. 17. 解： （1）因為三樓宇間的距離都為 2 千米，所以2ABACBC, 1 分分 因為樓宇 D 對樓宇 B，C 的視角為120，所以120BDC， 2 分分 （注意：此處不交代說明必須按標準扣分！ ）（注意：此處不交代說明必須按標準扣分！ ） 在BDC 中， 由 222 2cosBCBDDCBD DCBDC得： 3 分分 所以 22222 22cos120BDCDBD CDBDCDBD CD， 2 3BD CDBD CDBD CD. 則BD CD 4 3 ， 4 分分 當且僅當BDCD時， 此時30DBCDCB， 12 3 = cos303 BDCD ， （注意注意：此處一定要說明此處一定要說明BDCD能否能否成立成立） 5 分分 區(qū)域最大面積S SABC + SBCD = 11 22 sin60sin120 22 BD CD 4 3 3 （平方千米） 7 分分 （或者：因為直角三角形ABD，ACD 全等，區(qū)域最大面積： S SABD+SACD = 2SABD 14 3 2 23 AB BD（平方千米）. 7 分分） 高三數(shù)學答案 第 3 頁（共 8 頁） （2）設(shè)鋪設(shè)此鵝卵石路和防腐木路的總費用為y元， 在RtBDE 中，由（1）知： (0,) 3 BDE， 8 分分 則 2 3 3cos DE ， 2 3 tan 3 BE， 2 3 2tan 3 AEABBE， 9 分分 所以 2 32 3 22 ()(2tan ) 3cos3 ya EDa AEaa 2 32sin ()2 3cos aa ， (0,) 3 . 10 分分 記 2sin ( ) cos f ，令( ) f 2 1 2sin 0 cos ，解得 0,) 63 . 11 分分 當 0,) 6 時，( )0f，函數(shù)( )f為減函數(shù)； 當 ,) 6 3 時，( )0f；函數(shù)( )f為增函數(shù). 所以當 6 時，( )f取最小值，此時ay4 min （元）. 12 分分 答： （1）四棟樓宇圍成的四邊形區(qū)域 ABDC 面積的最大值為 4 3 3 平方千米； （2）鋪設(shè)此鵝卵石路和防腐木路的總費用的最小值為4a元. 14 分分 【說明說明】本題主要考查正余弦定理、基本不等式求最值、導數(shù)求最值；考查考查閱本題主要考查正余弦定理、基本不等式求最值、導數(shù)求最值；考查考查閱 讀理解能力、建模能力、字母運算能力、書寫表達能力讀理解能力、建模能力、字母運算能力、書寫表達能力. . 18. 解： （1）由長軸長42 a，準線間距離242 2 c a ，解得2a，2c, 2 分分 則2 222 cab，即橢圓方程為1 24 22 yx . 4 分分 （2）當直線l的斜率不存在， 此時6EF ，AEF的面積S=6 2 3 2 1 EFAD不合題意； 5 分分 當直線l的斜率存在，設(shè)直線l：) 1( xky，代入得： 0424)21 ( 2222 kxkxk，因為 D），（ 01在橢圓內(nèi)，所以0恒成立. 設(shè) 1122 ()()E xyF xy，則有 22 1 2 2 42 32 2(12) kk x k ， ， 6 分分 22 1212 ()()EFxxyy 2 12 1kxx 2 2 2 2 2 32 1 12 k k k ， 7 分分 點A到直線l的距離d為 2 1 3 k k ， 8 分分 高三數(shù)學答案 第 4 頁（共 8 頁） 則AEF的面積S= 2 2 2 2 21 2322 1 1 3 2 1 2 1 k k k k k EFd 10 21 2323 2 24 k kk . 9 分分 則1k，綜上，直線l的方程為01 yx和01 yx. 10 分分 （3）設(shè)直線AE： 1 1 (2) 2 y yx x ，令3x，得點) 2 5 3( 1 1 x y M，同理可得) 2 5 3( 2 2 x y N， 所以點Q的坐標 12 12 55 22 (3) 22 yy xx ， 12 分分 直線QD的斜率為 12 12 5 () 422 yy k xx ， 13 分分 而） 4)(2 42 ( 2 ) 1( 2 ) 1( 22 2121 2121 2 2 1 1 2 2 1 1 xxxx xxxx k x xk x xk x y x y 14 分分 由（2）中得 2 2 21 21 4 k k xx ， 2 2 21 21 42 k k xx ，代入上式得； 15 分分 12 12 22 yy xx 222 2222 4844(12)122 24848183 kkkk k kkkkk . 則有 5 6 k k ，所以 kk= 6 5 為定值. 16 分分 【說明說明】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)；考查直線方程、橢圓方程的求法；考查直線與橢本題考查橢圓的幾何性質(zhì)；考查直線方程、橢圓方程的求法；考查直線與橢 圓的為主關(guān)系；考查解析幾何中的定值問題處理方法；考查求解能力、代數(shù)運算能力圓的為主關(guān)系；考查解析幾何中的定值問題處理方法；考查求解能力、代數(shù)運算能力. . 研究研究：1 1. .如果設(shè)直如果設(shè)直線方程為線方程為1xmy是否解題過程簡單些？是否解題過程簡單些？ 2.2.解題時解題時，經(jīng)常用到經(jīng)常用到 1221 x yx y，你有哪些比較好的處理方法？，你有哪些比較好的處理方法？ 19. 解： （1）設(shè)等比數(shù)列 n a的公比為q（0q） ， 因為 1 2a ， 3 2411 64a aa q a q， 解得2q，則 n n a2. 1 分分 當1n時，2 11 ba，則1 1 b， 2 分分 當n2 時， 1 1 12 2 1 22 n n n aba ba bn ， 1 12 211 222 n nn aba babn ， 由 得： n nn nba2，則nbn. 綜上：nbn. 4 分分 （2）不等式 12 1111 (1)(1)(1) 22221 n n bbbb 對一切正整數(shù)n都成立， 即 1111 (1)(1)(1) 24221nn ， 高三數(shù)學答案 第 5 頁（共 8 頁） 因為 111 (1)(1)(1)0 242n ，當0 時，不等式顯然成立. 5 分分 當0時，則不等式等價于 1111 (1)(1)(1) 21 242 n n ， 111 ( )(1)(1)(1) 21 242 f nn n 設(shè)， 1111 (1)(1)(1)(1) 23 (1)21 23 24222 111 ( )22 (1)(1)(1) 21 242 n f nnn nn f nn n n 則 2 2 483 1 484 nn nn . 7 分分 所以(1)(2)(3)( )ffff n， max 12 ( )(1)3. 3 f nf 則 2 03 3 ，綜上 2 3 3 . 8 分分 （注意：如果考生（注意：如果考生直接分離直接分離 12 1 111 (1)(1)(1) 21 222 n n b bbb ，不不討論討論正負的正負的，評評 分標準為分標準為：單調(diào)性證明單調(diào)性證明 2 分，求最值求范圍分，求最值求范圍 2 分分） （3）數(shù)列 n c中，從 1 b至 k b（含 k b項）的所有項的和是： 1211 (1) 123)(222)224 2 kk k k k （， 10 分分 當9k 時，其和是 10 452410652019， 當10k 時，其和是 11 552420992019， 12 分分 又因為 2019-1065=954=4772， 14 分分 所以當 28 9(222 )477996m 時，2019 m T . 即存在996m ，使得2019 m T . 16 分分 【說明說明】本題考查等差數(shù)列，等比數(shù)列性質(zhì)，不等式恒成立問題；考查閱讀理解能力、運本題考查等差數(shù)列，等比數(shù)列性質(zhì)，不等式恒成立問題；考查閱讀理解能力、運 算化簡能力，數(shù)據(jù)估值處理能力算化簡能力，數(shù)據(jù)估值處理能力. . 20. 解： （1）當11ba，時，xxxfln)(， 1 分分 則有1 1 )( x xf，即01 1 1 ) 1 ( f . 3 分分 又1) 1 (f，則所求切線方程為1y； 4 分分 （2）當1a時，bxxxfln)(，則有 x bx b x xf 11 )(， 5 分分 函數(shù)的定義域為），（0， 高三數(shù)學答案 第 6 頁（共 8 頁） 若b0，則( )0fx恒成立，則)(xf的增區(qū)間為），（0； 6 分分 若0b，則由0)( x f，得 b x 1 . 1 (0)x b ，時，( )0fx，則)(xf的單增區(qū)間為），（ b 1 0， 7 分分 1 ( ,)x b 時，( )0fx，則)(xf單減區(qū)間為), 1 ( b . 8 分分 （3）因為 21,x x分別是方程0ln xxa的兩個根，即 1122 lnlnaxxaxx，. 兩式相減得 1212 )ln(lnxxxxa，則 1 2 12 ln x x xx a ， 9 分分 則不等式)0( ,)1 ( 21 mmxxma，可變?yōu)?21 1 2 12 )1 ( ln mxxm x x xx ， 兩邊同時除 1 x得： 1 2 1 2 1 2 1 ln 1 x x mm x x x x ， 10 分分 令 2 1 1 x tt x ，則有mtm t t 1 ln 1 在), 1 ( t上恒成立， 因為10ln0mmtt，即0 1 1 ln mtm t t， 11 分分 令 mtm t ttk 1 1 ln)(， 2 2 2 2 2 22 )1 ( ) 1( )1( )1 ( ) 1()1( )( mtmt m m ttm mtmt mtmt tk ， 當 2 2 (1)m m 1， 即m 2 1 時，0)( t k在), 1 ( 上恒成立， 則)(xk在)1 (，上單增， 又0) 1 (k，則0)(tk 在)1 (，上恒成立. 13 分分 當1 )1 ( 2 2 m m ，即 2 1 0 m時，則當) )1 ( , 1 ( 2 2 m m t 時，0)( t k， 則)(xk在) )1 ( 1 ( 2 2 m m ，上單減，則0) 1 ()(kxk，不符合題意. 15 分分 綜上：m 2 1 . 16 分分 【說明說明】主要考查運用導數(shù)求切線方程、研究函數(shù)的單調(diào)性；考查構(gòu)造法；考查轉(zhuǎn)化劃歸主要考查運用導數(shù)求切線方程、研究函數(shù)的單調(diào)性；考查構(gòu)造法；考查轉(zhuǎn)化劃歸 思想；考查運算能力、綜合分析和解決問題的能力思想；考查運算能力、綜合分析和解決問題的能力. . 21. 解： 3sin(2)(2)6sin(2) 333 yxxx ， 4 分分 則切線在 12 5 x處的斜率 5 6sin( )6 63 k ， 6 分分 高三數(shù)學答案 第 7 頁（共 8 頁） 當 12 5 x時，0) 3 6 5 (cos3y 7 分分 則切線方程為) 12 5 (60xy，即 2 5 6 xy. 10 分分 22. 解： （法一）（法一）設(shè)點)(yxM，點)( 00 yxB， 因為M為AB的中點，則有 2 0 2 2 00 y y x x，； 4 分分 則有yyxx222 00 ，. 6 分分 將點)( 00 yxB，代入圓 22 8120xyx得: 44)22( 22 yx，化簡為：1) 1( 22 yx. 即點M的軌跡方程為1) 1( 22 yx. 10分分 （法二）定義法（法二）定義法 設(shè)點)(yxM，圓心記為點 C)04(，AC的中點記為 M ，則)01 ( ， M 2 分分 所以MM為OMB 的中位線，則1 2 1 2 1 rBCMM， 動點 M 到定點 M 的距離為 1，M 軌跡為以 M 為圓心，以 1 為半徑的圓. 7 分分 則點 M 的軌跡方程為1) 1( 22 yx. 10 分分 23. 解：在直三棱柱 111 ABCABC中，有 ABAC，又 AA1AB，AA1AC， 以, 1 AAACAB為基底，建立空間直角坐標系如圖所示. 1 分分 因為 2AB ，4AC ， 1 3AA ，則)0 , 0 , 0(A，)0 , 0 , 2(B，)0 , 4 , 0(C， ) 3 , 0 , 0( 1 A，)3 , 0 , 2( 1 B，).3 , 4 , 0( 1 C 因為D是BC的中點. 所以).0 , 2 , 1 (D （1）)3 , 2 , 1( 1 DC 設(shè) n1=),( 111 zyx為平面 11 AB D的一個法向量， 因)0 , 0 , 2( 11 BA，) 3, 2 , 1( 1 DB 因為 1111 111 11 020 230 0 AB nx xyz B D n ， ， ， 不妨設(shè) n1=（2 , 3 , 0） ， 3 分分 x y z 1 A 1 B 1 C D A C B