自動(dòng)控制原理胡壽松第五版第二章.ppt

第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,主要內(nèi)容: 1.數(shù)學(xué)模型的概念,建模的原則 2.傳遞函數(shù) 3.系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號(hào)流圖,2.1.1 什么是數(shù)學(xué)模型? 所謂的數(shù)學(xué)模型，是描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性及各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式?？刂葡到y(tǒng)定量分析的基礎(chǔ)。 2.1.2 數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn) 1) 相似性：不同性質(zhì)的系統(tǒng)，具有相同的數(shù)學(xué)模型。抽象的變量和系統(tǒng) 2) 簡(jiǎn)化性和準(zhǔn)確性：忽略次要因素，簡(jiǎn)化之，但不能太簡(jiǎn)單，結(jié)果合理 3) 動(dòng)態(tài)模型：變量各階導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的微分方程。性能分析 4) 靜態(tài)模型：靜態(tài)條件下，各變量之間的代數(shù)方程。放大倍數(shù) 2.1.3 數(shù)學(xué)模型的類型 1)微分方程：時(shí)域 其它模型的基礎(chǔ) 直觀 求解繁瑣 2)傳遞函數(shù)：復(fù)頻域 微分方程拉氏變換后的結(jié)果 3)頻率特性：頻域 分析方法不同，各有所長(zhǎng),2-1 數(shù)學(xué)模型的概念,2.1.4 數(shù)學(xué)模型的建立方法 1) 分析法：根據(jù)系統(tǒng)各部分的運(yùn)動(dòng)機(jī)理，按有關(guān)定理列方程，合在一起。 2) 實(shí)驗(yàn)法：黑箱問(wèn)題。施加某種測(cè)試信號(hào)，記錄輸出，用系統(tǒng)辨識(shí)的方法，得到數(shù)學(xué)模型。 建模原則：選擇合適的分析方法確定相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型簡(jiǎn)化,2.2.1 列寫(xiě)微分方程式的一般步驟 1) 分析系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的因果關(guān)系，確定系統(tǒng)的輸入量、輸出量及內(nèi)部中間變量，搞清各變量之間的關(guān)系。 2) 忽略一些次要因素，合理簡(jiǎn)化。,2.2 系統(tǒng)微分方程的建立,3) 根據(jù)相關(guān)基本定律，列出各部分的原始方程式。 4) 列寫(xiě)中間變量的輔助方程。 方程數(shù)與變量數(shù)相等！ 5) 聯(lián)立上述方程，消去中間變量，得到只包含輸入輸出的方程式。 6) 將方程式化成標(biāo)準(zhǔn)形。 與輸出有關(guān)的放在左邊，與輸入有關(guān)的放在右邊，導(dǎo)數(shù)項(xiàng)按降階排列，系數(shù)化為有物理意義的形式。,三個(gè)基本的無(wú)源元件：質(zhì)量m,彈簧k,阻尼器f 對(duì)應(yīng)三種阻礙運(yùn)動(dòng)的力:慣性力ma;彈性力ky;阻尼力fv 例2-1 彈簧-質(zhì)量-阻尼器串聯(lián)系統(tǒng)。 試列出以外力F(t)為輸入量，以質(zhì)量的位移y(t)為 輸出量的運(yùn)動(dòng)方程式。,解：遵照列寫(xiě)微分方程的一般步驟有： （1）確定輸入量為F(t)，輸出量為y(t)，作用于質(zhì) 量m的力還有彈性阻力Fk(t)和粘滯阻力Ff(t)，均作為 中間變量。 （2）設(shè)系統(tǒng)按線性集中參數(shù)考慮，且無(wú)外力作用時(shí)， 系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)。,2.2.2 機(jī)械平移系統(tǒng)舉例,（3）按牛頓第二定律列寫(xiě)原始方程，即,（5）將以上輔助方程式代入原始方程,消去中 間變量,得,（6）整理方程得標(biāo)準(zhǔn)形,（4）寫(xiě)中間變量與輸出量的關(guān)系式,2.2.3 電路系統(tǒng)舉例 例2-2 電阻電感電容串聯(lián)系統(tǒng)。R-L-C串聯(lián)電路，試列出以u(píng)r(t)為輸入量，uc(t)為輸出量的網(wǎng)絡(luò)微分方程式。,令Tm2 = m/k，Tf = f/k ，則方程化為,量綱s(課本上有推導(dǎo),p28)，靜態(tài)放大倍數(shù)1/K,解：（1）確定輸入量為ur(t)，輸出量為uc(t)，中間變量為i(t)。,（4）列寫(xiě)中間變量i與輸出變量uc 的關(guān)系式:,（5）將上式代入原始方程，消去中間變量得,（2）網(wǎng)絡(luò)按線性集中參數(shù)考慮且忽略輸出端負(fù)載效應(yīng)。 （3）由KVL寫(xiě)原始方程：,i(t),（6）整理成標(biāo)準(zhǔn)形，令T1 = L/R，T2 = RC，則方程化為,2.2.4 線性微分方程的一般特征 觀察實(shí)際物理系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，若用線性定常特性來(lái)描述，則方程一般具有以下形式：,式中，c(t)是系統(tǒng)的輸出變量，r(t)是系統(tǒng)的輸入變量。 從工程可實(shí)現(xiàn)的角度來(lái)看，上述微分方程滿足以下約束： （1）方程的系數(shù)為實(shí)常數(shù)，由系統(tǒng)自身參數(shù)決定； （2）左端的階次比右端的高,n=m。這是因?yàn)閷?shí)際物理系統(tǒng)均有慣性或儲(chǔ)能元件； （3）方程式兩端的各項(xiàng)的量綱應(yīng)一致。利用這點(diǎn)，可以檢查微分方程式的正確與否。,相似系統(tǒng)的定義：任何系統(tǒng)，只要它們的微分方程具有相同的形式。在方程中，占據(jù)相同位置的量，相似量。 上面兩個(gè)例題介紹的系統(tǒng)，就是相似系統(tǒng)。,例2-1,例2-2,令uc=q/C,模擬技術(shù)：當(dāng)分析一個(gè)機(jī)械系統(tǒng)或不易進(jìn)行試驗(yàn)的系統(tǒng)時(shí)，可以建造一個(gè)與它相似的電模擬系統(tǒng)，來(lái)代替對(duì)它的研究。,直流電動(dòng)機(jī)是將電能轉(zhuǎn)化為機(jī)械能的一種典型的機(jī)電轉(zhuǎn)換裝置。在電樞控制的直流電動(dòng)機(jī)中，由輸入的電樞電壓ua在電樞回路產(chǎn)生電樞電流ia ，再由電樞電流ia與激磁磁通相互作用產(chǎn)生電磁轉(zhuǎn)矩MD ，從而使電樞旋轉(zhuǎn)，拖動(dòng)負(fù)載運(yùn)動(dòng)。 Ra和La分別是電樞繞組總電阻和總電感。在完成能量轉(zhuǎn)換的過(guò)程中，其繞組在磁場(chǎng)中切割磁力線會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)反電勢(shì)Ea，其大小與,2.2.5 電樞控制的直流電動(dòng)機(jī),激磁磁通及轉(zhuǎn)速成正比，方向與外加電樞電壓ua相反。 下面推導(dǎo)其微分方程式。 （1）取電樞電壓ua為控制輸入，負(fù)載轉(zhuǎn)矩ML為擾動(dòng)輸入，電動(dòng)機(jī)角速度為輸出量； （2）忽略電樞反應(yīng)、磁滯、渦流效應(yīng)等影響，當(dāng)激磁電流不變if 時(shí)，激磁磁通視為不變，則將變量關(guān)系看作線性關(guān)系； （3）列寫(xiě)原始方程式 電樞回路方程：,電動(dòng)機(jī)軸上機(jī)械運(yùn)動(dòng)方程：,J 負(fù)載折合到電動(dòng)機(jī)軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量; MD 電樞電流產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)矩; ML 合到電動(dòng)機(jī)軸上的總負(fù)載轉(zhuǎn)矩。 （4）列寫(xiě)輔助方程 Ea = ke ke 電勢(shì)系數(shù)，由電動(dòng)機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)確定。 MD = km ia km 轉(zhuǎn)矩系數(shù)，由電動(dòng)機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)確定。 （5）消去中間變量，得,令機(jī)電時(shí)間常數(shù)Tm :,令電磁時(shí)間常數(shù)Ta :,1)當(dāng)電樞電感較小時(shí)，可忽略，可簡(jiǎn)化上式如下：,2-22 一階系統(tǒng),2)對(duì)微型電機(jī)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J很小，且Ra 、La都可忽略,測(cè)速發(fā)電機(jī),3) 隨動(dòng)系統(tǒng)中，取為輸出,4) 在實(shí)際使用中，轉(zhuǎn)速常用n（r/min）表示,設(shè) ML=0,一.復(fù)習(xí)拉氏變換及其性質(zhì) 1.定義 記 X(s) = Lx(t) 2.進(jìn)行拉氏變換的條件 1)t 0，x(t)=0；當(dāng)t 0，x(t)是分段連續(xù)； 2)當(dāng)t充分大后滿足不等式 x(t) Mect，M，c是常數(shù)。 3.性質(zhì)和定理 1)線性性質(zhì) L ax1(t) + bx2(t) = aX1(s) + bX2(s),2-4 線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù),2)微分定理,若 ,則,若x1(0)= x2(0) = = 0，x(t)各重積分在t=0的值為0時(shí)，,3)積分定律,X（-1）(0)是x(t)dt 在t=0的值。同理,5)初值定理 如果x(t)及其一階導(dǎo)數(shù)是可拉氏變換的，并且,4)終值定理 若x(t)及其一階導(dǎo)數(shù)都是可拉氏變換的，lim x(t)存在，并且sX(s)除原點(diǎn)為單極點(diǎn)外，在j軸上及其右半平面內(nèi)應(yīng)沒(méi)有其它極點(diǎn)，則函數(shù)x(t)的終值為：,存在，則,6)延遲定理 L x(t )1(t ) = esX(s) Leat x(t) = X(s + a) 7)時(shí)標(biāo)變換,8)卷積定理,4.舉例 例2-3 求單位階躍函數(shù) x(t)=1(t)的拉氏變換。 解：,例2-4 求單位斜坡函數(shù)x(t)=t的拉氏變換。 解：,例2-5 求正弦函數(shù)x(t) = sint 的拉氏變換。 解：,以上幾個(gè)函數(shù)是比較常用的，還有一些常用函數(shù)的拉氏變換可查表求得。,例2-6 求函數(shù)x(t)的拉氏變換。,+,解： x(t) = x1(t) + x2(t) =A1(t) A1(t t0 ),例2-7 求e at 的拉氏變換。 解:,例2-8 求e 0.2 t 的拉氏變換。解：,，求x(0)， x()。 解：,例2-9 若,二.復(fù)習(xí)拉氏反變換 1.定義 由象函數(shù)X(s)求原函數(shù)x(t),2.求拉氏反變換的方法 根據(jù)定義，用留數(shù)定理計(jì)算上式的積分值 查表法,部分分式法 一般，象函數(shù)X(s)是復(fù)變量s的有理代數(shù)公式，即,通常m n，a1 , , an； b0 , , bm 均為實(shí)數(shù)。首先將X(s)的分母因式分解，則有,式中p1 , , pn是 D(s) = 0的根，稱為X(s)的極點(diǎn)。分兩種情況討論： （1） D(s) = 0無(wú)重根。,式中ci 是待定常數(shù)，稱為X(s)在極點(diǎn)si 處的留數(shù)。,（2） D(s) = 0有重根。設(shè)有r個(gè)重根p1 ，則,i = r+1, , n,3. 舉例 例2-10,，求原函數(shù)x(t)。,解： s2 + 4s + 3 = (s + 3)(s + 1),的原函數(shù)x(t)。,例2-11 求,解：s2 + 2s + 2 = (s+1)2 + 1 = (s +1 + j)(s +1 j),的原函數(shù)x(t)。 解：,例2-12 求,用微分方程求解，需確定積分常數(shù)，階次高時(shí)麻煩；當(dāng)參數(shù)或結(jié)構(gòu)變化時(shí)，需重新列方程求解，不利于分析系統(tǒng)參數(shù)變化對(duì)性能的影響。 用拉氏變換求解微分方程的一般步驟： 1)對(duì)微分方程兩邊進(jìn)行拉氏變換。 2)求解代數(shù)方程，得到微分方程在s 域的解。 3)求s 域解的拉氏反變換，即得微分方程的解。,2.4.1. 線性常系數(shù)微分方程的求解,例2-13 求解微分方程：,解：兩邊取拉氏變換 s2Y(s) sy(0) y(0) + 3sY(s) 3y(0) +2Y(s)=5/s,y(t) = 5/2 5 et + 3/2 e2t,初始條件：y(0)= 1, y(0) =2,例2-14 圖示的RC電路，當(dāng)開(kāi)關(guān)K突然接通后，試求出電容電壓uc(t)的變化規(guī)律。,解：設(shè)輸入量為ur (t)，輸出量為uc (t)。由KVL寫(xiě)出電路方程,電容初始電壓為uc(0)，對(duì)方程兩端取拉氏變換,當(dāng)輸入為階躍電壓ur (t) = u0 1(t)時(shí)， 得,式中右端第一項(xiàng)是由輸入電壓ur (t)決定的分量，是當(dāng)電容初始狀態(tài)uc(0) =0 時(shí)的響應(yīng)，故稱零狀態(tài)響應(yīng)；,第二項(xiàng)是由電容初始電壓uc(0)決定的分量，是當(dāng)輸入電壓ur (t)=0時(shí)的響應(yīng)，故稱零輸入響應(yīng)。,用拉氏變換求解的優(yōu)點(diǎn)： 1）復(fù)雜的微分方程變換成簡(jiǎn)單的代數(shù)方程 2）求得的解是完整的，初始條件已包含在拉氏變換中,不用另行確定積分常數(shù) 3）若所有的初值為0，拉氏變換式可直接用s 代替 , 得到。 當(dāng)然，階次高時(shí)，求拉氏反變換也不太容易，幸運(yùn)的是，往往并不需要求出解，可用圖解法預(yù)測(cè)系統(tǒng)的性能，可用相關(guān)性質(zhì)得到解的特征，初值、終值等，滿足工程需要。,2.4.2 傳遞函數(shù)的定義和實(shí)際意義,微分方程是時(shí)域中的數(shù)學(xué)模型，傳遞函數(shù)是采用L 法求解微分方程時(shí)引申出來(lái)的復(fù)頻域中的數(shù)學(xué)模型，它不僅可以表征系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，而且可以用來(lái)研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)變化時(shí)對(duì)系統(tǒng)性能的影響，是經(jīng)典控制理論中最重要的模型。,1 定義 在線性定常系統(tǒng)中，當(dāng)初始條件為零時(shí)，系統(tǒng)輸出拉氏變換與輸入拉氏變換的比，稱為傳遞函數(shù)，用G(S)表示。,即,例2-7中，若令uc(0) = 0，則有,于是,可見(jiàn)，輸入與輸出之間的關(guān)系僅取決于電路的結(jié)構(gòu)形式及其參數(shù)（固有特性）,與輸入的具體形式無(wú)關(guān)，無(wú)論輸入如何，系統(tǒng)都以相同的傳遞作用輸出信息或能量，因此稱之為傳遞函數(shù)。 傳遞函數(shù)是代數(shù)式，其傳遞作用還經(jīng)常用方框圖直觀的表示：,Uc(s) = G(s) Ur(s),一般的，設(shè)線性定常系統(tǒng)的微分方程式為,式中，r(t)是輸入量，c(t)是輸出量。 在零初始條件下，對(duì)上式兩端進(jìn)行拉氏變換得,(a0sn + a1sn1 + + an1s + an )C(s)= (b0sm + b1sm1 + + am1s + am )R(s) 按定義，其傳遞函數(shù)為,G(s)是由微分方程經(jīng)線性拉氏變換得到，故等價(jià)，只是把時(shí)域變換到復(fù)頻域而已，但它是一個(gè)函數(shù)，便于計(jì)算和采用方框圖表示，廣泛應(yīng)用。 其分母多項(xiàng)式就是微分方程的特征多項(xiàng)式，決定系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。從描述系統(tǒng)的完整性來(lái)說(shuō)，它只能反應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)部分。但在工程實(shí)際當(dāng)中： 1）都是零初始條件的，即系統(tǒng)在輸入作用前是相對(duì)靜止的，即輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)在t =0的值為零。 2）輸入在t =0以后才作用于系統(tǒng)，即輸入及其各階導(dǎo)數(shù)在t =0的值為零； 對(duì)于非0初始條件時(shí)，可采用疊加原理。,2.4.3 傳遞函數(shù)的性質(zhì) (a)傳遞函數(shù)是一種數(shù)學(xué)模型，與系統(tǒng)的微分方程相對(duì)應(yīng)。 (b)傳遞函數(shù)是系統(tǒng)本身的一種屬性，與輸入量的大小和性質(zhì)無(wú)關(guān)。 (c)傳遞函數(shù)只適用于線性定常系統(tǒng)，因?yàn)槔献儞Q是一種線性變換。 (d)傳遞函數(shù)描述的是一對(duì)確定的變量之間的傳遞關(guān)系，對(duì)中間變量不反應(yīng)。 (e)傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的，因而它不能反映在非零初始條件下系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)情況。（零狀態(tài)解） (f)傳遞函數(shù)一般為復(fù)變量s 的有理分式，它的分母多項(xiàng)式是系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式，且階次總是大于或等于分子多項(xiàng)式的階次，即n m。并且所有的系數(shù)均為實(shí)數(shù)。 (g)傳遞函數(shù)與脈沖響應(yīng)一一對(duì)應(yīng)，是拉氏變換與反變換的關(guān)系。 系統(tǒng)辨識(shí),2 G(s)的微觀結(jié)構(gòu),G(s)是關(guān)于s的有理分式，可分解成多種形式： 1）零極點(diǎn)表達(dá)式,可知：傳遞函數(shù)定，零、極點(diǎn)和kg唯一確定，反之亦然。因此傳遞函數(shù)可用零極點(diǎn)和傳遞系數(shù)等價(jià)表示。 零極點(diǎn)既可以是實(shí)數(shù)，也可以是復(fù)數(shù)，表示在復(fù)平面上，形成的圖稱傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)分布圖。反映系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。因此對(duì)系統(tǒng)的研究，可變成對(duì)系統(tǒng)傳函的零、極點(diǎn)的研究了，這就是根軌跡法(chaper4)。,2）時(shí)間常數(shù)表達(dá)式,較容易分解成一些典型環(huán)節(jié)，chapter5 應(yīng)用,例如，試畫(huà)出下面?zhèn)鬟f函數(shù)的零極點(diǎn)圖。,2-6 典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù),可看成是若干稱為典型環(huán)節(jié)的基本因子的乘積，一般認(rèn)為典型環(huán)節(jié)有6種，這些典型環(huán)節(jié),對(duì)應(yīng)典型電路。這樣劃分對(duì)系統(tǒng)分析和研究帶來(lái)很大的方便。 分述如下：,自動(dòng)控制系統(tǒng)可以用傳遞函數(shù)來(lái)描述，任一復(fù)雜的傳遞函數(shù)G(s)，都可表示為：,1.比例環(huán)節(jié) （杠桿，齒輪系，電位器，變壓器等） 運(yùn)動(dòng)方程式 c(t) = K r(t) 傳遞函數(shù) G(s) = K 單位階躍響應(yīng) C(s) = G(s) R(s) = K/s c(t) = K1(t) 可見(jiàn)，當(dāng)輸入量r(t)=1(t)時(shí)， 輸出量c(t)成比例變化。,r(t),1,c(t),K,2.慣性環(huán)節(jié) 微分方程式：,式中，T是慣性環(huán)節(jié)時(shí)間常數(shù)。慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)有一個(gè)負(fù)實(shí)極點(diǎn) p = 1/T，無(wú)零點(diǎn)。,傳遞函數(shù)：,1/T,單位階躍響應(yīng):,3.積分環(huán)節(jié) 微分方程式：,傳遞函數(shù)：,階躍響應(yīng)曲線是按指數(shù)上升的曲線。,0.632,0.865,0.95,0.982,1.0,T,2T,3T,4T,單位階躍響應(yīng)：,當(dāng)輸入階躍函數(shù)時(shí)，該環(huán)節(jié)的輸出隨時(shí)間直線增長(zhǎng)，增長(zhǎng)速度由1/T決定。當(dāng)輸入突然除去，積分停止，輸出維持不變，故有記憶功能。 4.微分環(huán)節(jié) 微分方程式為：,1,1,T,c(t) = T(t) 由于階躍信號(hào)在時(shí)刻t = 0有一躍變，其他時(shí)刻均不變化，所以微分環(huán)節(jié)對(duì)階躍輸入的響應(yīng)只在t = 0時(shí)刻產(chǎn)生一個(gè)響應(yīng)脈沖。,理想的微分環(huán)節(jié)在物理系統(tǒng)中很少獨(dú) 立存在，常見(jiàn)的為帶有慣性環(huán)節(jié)的微分特性，傳遞函數(shù)為：,傳遞函數(shù)為： G(s)=Ts 單位階躍響應(yīng)：,1,T,式中，T 0，0 1，n = 1/T，T 稱為振蕩環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)， 為阻尼比，n為自然振蕩頻率。振蕩環(huán)節(jié)有一對(duì)位于s左半平面的共軛極點(diǎn)：,傳遞函數(shù)為：,或,5.二階振蕩環(huán)節(jié) 微分方程式為：,單位階躍響應(yīng)：,式中，=cos1。響應(yīng)曲線 是按指數(shù)衰減振蕩的，故稱振 蕩環(huán)節(jié)。,1,舉例：RLC串連電路，平移系統(tǒng)，直流電機(jī),6.延遲環(huán)節(jié) 微分方程式為： c(t) = r(t ) 傳遞函數(shù)為： 單位階躍響應(yīng)：,c(t) = 1(t ),1,1,無(wú)理函數(shù)的工程近似：,A,B,2.7.1 結(jié)構(gòu)圖的定義及基本組成 1.結(jié)構(gòu)圖的定義 定義: 由具有一定函數(shù)關(guān)系的環(huán)節(jié)組成的，并標(biāo)明信號(hào)流向的系統(tǒng)的方框圖，稱為系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。,2-7 系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖 下圖為討論過(guò)的直流電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)，用方框圖可描述其結(jié)構(gòu)和作用原理，但卻不能定量分析，有了傳遞函數(shù)的概念后，就可迎刃而解。,轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)由三個(gè)環(huán)節(jié)（元件）構(gòu)成，把各元件的傳遞函數(shù)代入相應(yīng)的方框中，并標(biāo)明兩端對(duì)應(yīng)的變量，就得到了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖。 用G(s)代替相應(yīng)的元件，好處：補(bǔ)充了方框中各變量之間的定量關(guān)系，既能表明信號(hào)的流向，又直觀的了解元件對(duì)系統(tǒng)性能的影響；因此，它是對(duì)系統(tǒng)每個(gè)元件功能和信號(hào)流向的圖解表示，也就是對(duì)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的圖解表示。,2.結(jié)構(gòu)圖的基本組成 1）畫(huà)圖的4種基本元素 信號(hào)傳遞線 是帶有箭頭的直線，箭頭表示信號(hào)的傳遞方向，傳遞線上標(biāo)明被傳遞的信號(hào)。指向方框表示輸入，從方框出來(lái)的表示輸出。,r(t), R(s),分支點(diǎn) 表示信號(hào)引出或測(cè)量的位置，從同一位置引出的信號(hào)在數(shù)值和性質(zhì)方面完全相同。,r(t), R(s),r(t), R(s),方框 表示對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行的數(shù)學(xué)運(yùn)算。方框中的傳遞函數(shù)是單向的運(yùn)算算子，使得輸出與輸入有確定的因果關(guān)系。,R(s),R(s) U(s),U(s),C(s) = G(s)R(s),相加點(diǎn) 對(duì)兩個(gè)以上的信號(hào)進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，“ + ”號(hào)表示相加， “ ”號(hào)表示相減。外部信號(hào)作用于系統(tǒng)需通過(guò)相加點(diǎn)表示。,2）結(jié)構(gòu)圖的基本作用： (a) 簡(jiǎn)單明了地表達(dá)了系統(tǒng)的組成和相互聯(lián)系，可以方便地評(píng)價(jià)每一個(gè)元件對(duì)系統(tǒng)性能的影響。信號(hào)的傳遞嚴(yán)格遵照單向性原則，對(duì)于輸出對(duì)輸入的反作用，通過(guò)反饋支路單獨(dú)表示。 (b) 對(duì)結(jié)構(gòu)圖進(jìn)行一定的代數(shù)運(yùn)算和等效變換，可方便地求出整個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 (c) s=0時(shí)，表示的是各變量間的靜態(tài)特性，否則，動(dòng)態(tài)特性。 2.7.2 結(jié)構(gòu)圖的繪制步驟 (1) 列寫(xiě)每個(gè)元件的原始方程（保留所有變量，便于分析），要考慮相互間負(fù)載效應(yīng)。 (2) 設(shè)初始條件為零，對(duì)這些方程進(jìn)行拉氏變換，得到傳遞函數(shù)，然后分別以一個(gè)方框的形式將因果關(guān)系表示出來(lái)，而且這,些方框中的傳遞函數(shù)都應(yīng)具有典型環(huán)節(jié)的形式。 (3) 將這些方框單元按信號(hào)流向連接起來(lái)，就組成完整的結(jié)構(gòu)圖。 例2-16 畫(huà)出下圖所示RC網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖。,解：(1) 列寫(xiě)各元件的原始方程式,i,(2)取拉氏變換，在零初始條件下，表示成方框形式,(3)將這些方框依次連接起來(lái)得圖。,2.7.3 結(jié)構(gòu)圖的基本連接形式 1.三種基本連接形式 (1) 串聯(lián)。相互間無(wú)負(fù)載效應(yīng)的環(huán)節(jié)相串聯(lián)，即前一個(gè)環(huán)節(jié)的輸出是后一個(gè)環(huán)節(jié)的輸入，依次按順序連接。 故環(huán)節(jié)串聯(lián)后等效的傳遞函數(shù)等于各串聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的乘積。,由圖可知： U(s)=G1(s)R(s) C(s)=G2(s)U(s) 消去變量U(s) 得 C(s)= G1(s)G2(s)R(s) = G(s)R(s),(2) 并聯(lián)。并聯(lián)各環(huán)節(jié)有相同的輸入量，而輸出量等于各環(huán)節(jié)輸出量之代數(shù)和。,由圖有 C1(s) = G1(s)R(s) C2(s) = G2(s)R(s),R(s),C(s),C(s) = C1(s) C2(s) 消去C1(s) 和C2(s)，得 C(s) = G1(s) G2(s)R(s) = G(s)R(s) 故環(huán)節(jié)并聯(lián)后等效的傳遞函數(shù)等于各并聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的代數(shù)和。,(3) 反饋連接 連接形式是兩個(gè)方框反向 并接，如圖所示。相加點(diǎn)處 做加法時(shí)為正反饋，做減法 時(shí)為負(fù)反饋。,由圖有 C(s) = G(s)E(s) B(s) = H(s)C(s) E(s) = R(s) B(s) 消去B(s) 和E(s)，得 C(s) = G(s) R(s) H(s)C(s),上式稱為閉環(huán)傳遞函數(shù)，是反饋連接的等效傳遞函數(shù)。,定義： G(s)：前向通道傳遞函數(shù) E(s) C(s) H(s)：反饋通道傳遞函數(shù) C(s) B(s) H(s)=1 單位反饋系統(tǒng) G(s)H(s) 開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) E(S) B(s),式中負(fù)反饋時(shí)取“+”號(hào)， 正反饋時(shí)取“-”號(hào)。,2.閉環(huán)系統(tǒng)的常用傳遞函數(shù) 考察帶有擾動(dòng)作用下的閉環(huán)系統(tǒng)如圖所示。它代表了常見(jiàn)的閉環(huán)控制系統(tǒng)的一般形式。,（1）控制輸入下的閉環(huán)傳遞函數(shù) 令N(s) = 0 有,（2）擾動(dòng)輸入下的閉環(huán)傳遞函數(shù) 令R(s) = 0有,（3）兩個(gè)輸入量同時(shí)作用于系統(tǒng)的響應(yīng),（4）控制輸入下的誤差傳遞函數(shù),（5）擾動(dòng)輸入下的誤差傳遞函數(shù),（6）兩個(gè)輸入量同時(shí)作用于系統(tǒng)時(shí)的誤差,3.閉環(huán)控制系統(tǒng)的幾個(gè)特點(diǎn),閉環(huán)控制系統(tǒng)的優(yōu)點(diǎn)通過(guò)定量分析，更令人信服。 （1）外部擾動(dòng)的抑制較好的抗干擾能力 （2）系統(tǒng)精度有可能僅取決于反饋通道的精度 （3）各傳遞函數(shù)具有相同的特征方程式。動(dòng)態(tài)特性相同（固有屬性）與輸入和輸出無(wú)關(guān),2.7.4 結(jié)構(gòu)圖的等效變換 變換的原則：變換前后應(yīng)保持信號(hào)等效。 1 . 分支點(diǎn)后移,R,1/G,R,2 . 分支點(diǎn)前移,C,G,C,4 .比較點(diǎn)前移,3 . 比較點(diǎn)后移,F,F,5 .比較點(diǎn)互換或合并,2.7.5 結(jié)構(gòu)圖的簡(jiǎn)化 對(duì)于復(fù)雜系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖一般都有相互交叉的回環(huán)，當(dāng)需要確定系統(tǒng)的傳函時(shí)，就要根據(jù)結(jié)構(gòu)圖的等效變換先解除回環(huán)的交叉，然后按方框的連接形式等效，依次化簡(jiǎn)。,例2-17 用結(jié)構(gòu)圖化簡(jiǎn)的方法求下圖所示系統(tǒng)傳遞函數(shù)。,解：方法1,方法2,例2-18 用結(jié)構(gòu)圖化簡(jiǎn)的方法求下圖所示系統(tǒng)傳遞函數(shù)。,解：,2.8.1 信號(hào)流圖的基本概念 1.定義：信號(hào)流圖是表示一組聯(lián)立線性代數(shù)方程的圖。 先看最簡(jiǎn)單的例子。有一線性系統(tǒng)，它由下述方程式描述： x2 = a12 x1 式中， x1為輸入信號(hào)(變量)；x2為輸出信號(hào)(變量)；a12為兩信號(hào)之間的傳輸(增益)。即輸出變量等于輸入變量乘上傳輸值。若從因果關(guān)系上來(lái)看，x1為“因”，x2為“果”。這種因果關(guān)系，可用下圖表示。 信號(hào)傳遞關(guān)系 函數(shù)運(yùn)算關(guān)系 變量因果關(guān)系,x1,a12,x2,2-8 信號(hào)流圖及梅遜公式,下面通過(guò)一個(gè)例子，說(shuō)明信號(hào)流圖是如何構(gòu)成的。 設(shè)有一系統(tǒng)，它由下列方程組描述： x2 = a12 x1 + a32 x3 x3 = a23 x2 + a43 x4 x4 = a24 x2 + a34 x3 + a44 x4 x5 = a25 x2 + a45 x4 把內(nèi)部變量結(jié)構(gòu)和相互關(guān)系描述的 一清二楚,a43,a44,x1,a12,x2,x3,x4,x5,a23,a34,a45,a24,a25,a32,2.信號(hào)流圖的基本元素 (1) 節(jié)點(diǎn)：用來(lái)表示變量，用符號(hào)“ O ”表示，并在近旁標(biāo)出所代表的變量。 (2) 支路：連接兩節(jié)點(diǎn)的定向線段，用符號(hào)“”表示。 支路具有兩個(gè)特征： 有向性 限定了信號(hào)傳遞方向。支路方向就是信號(hào)傳遞的方向，用箭頭表示。 有權(quán)性 限定了輸入與輸出兩個(gè)變量之間的關(guān)系。支路的權(quán)用它近旁標(biāo)出的傳輸值(增益)表示。,3.信號(hào)流圖的幾個(gè)術(shù)語(yǔ) 節(jié)點(diǎn)及其類別 輸入節(jié)點(diǎn)(源點(diǎn)) 只有輸出支路的節(jié)點(diǎn)，它代表系統(tǒng)的輸入變量。如圖中x1。,混合節(jié)點(diǎn) 既有輸入支路，又有輸出支路的節(jié)點(diǎn)，如圖中x2、x3。,輸出節(jié)點(diǎn)(匯點(diǎn)) 只有輸入支路的節(jié)點(diǎn)，它代表系統(tǒng)的輸出變量。如圖中x4。,1,x2,通道及其類別 通道 從某一節(jié)點(diǎn)開(kāi)始，沿著支路的箭頭方向連續(xù)經(jīng)過(guò)一些支路而終止在另一節(jié)點(diǎn)的路徑。用經(jīng)過(guò)的支路傳輸?shù)某朔e來(lái)表示。 開(kāi)通道 如果通道從某一節(jié)點(diǎn)開(kāi)始，終止在另一節(jié)點(diǎn)上，而且通道中的每個(gè)節(jié)點(diǎn)只經(jīng)過(guò)一次。如a12 a23 a34 。,閉通道(回環(huán)) 如果通道的終點(diǎn)就是起點(diǎn)的開(kāi)通道。如a23 a32 ，a33 (自回環(huán)) 。,前向通道 從源節(jié)點(diǎn)到匯節(jié)點(diǎn)的開(kāi)通道。 不接觸回路 回路之間沒(méi)有公共的節(jié)點(diǎn)和支路。 4.信號(hào)流圖的基本性質(zhì) 1）信號(hào)流圖只能代表線性代數(shù)方程組。 2）節(jié)點(diǎn)表示系統(tǒng)的變量，表示所有流向該節(jié)點(diǎn)的信號(hào)之（代數(shù)）和；而從該節(jié)點(diǎn)流向各支路的信號(hào)，均用該節(jié)點(diǎn)變量表示。 3）信號(hào)在支路上沿箭頭單向傳遞，后一節(jié)點(diǎn)變量依賴于前一節(jié)點(diǎn)變量，即只有“前因后果”的因果關(guān)系。 4）支路相當(dāng)于乘法器，信號(hào)流經(jīng)支路時(shí)，被乘以支路增益而變換為另一信號(hào)。 5）對(duì)于給定的系統(tǒng)，信號(hào)流圖不唯一。,2.8.2 信號(hào)流圖的繪制方法 1.直接法 例2-19 RLC電路如圖2-28所示，試畫(huà)出信號(hào)流圖。,解：(1)列寫(xiě)原始方程,(2)取拉氏變換，考慮初始條件：i(0+)，uc(0+),(3)整理成因果關(guān)系,(4)畫(huà)出信號(hào)流圖如圖所示。,Ur(s),Uc(s),I(s),uc(0+),ic(0+),2.翻譯法 例2-20 畫(huà)出下圖所示系統(tǒng)的信號(hào)流圖。,解：按照翻譯法可直接作出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖所對(duì)應(yīng)的信號(hào)流圖。,R(s),E1(s),C(s),E2(s),G2(s),G1(s),-H(s),系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 信號(hào)流圖 變量 節(jié)點(diǎn) 輸入變量 源節(jié)點(diǎn) 比較點(diǎn) 引出點(diǎn) 混合節(jié)點(diǎn) 傳輸線 方框 支路 輸出端 匯節(jié)點(diǎn),2.8.3 梅遜增益公式 1.梅遜增益公式 輸入輸出節(jié)點(diǎn)間總傳輸?shù)囊话闶綖?式中P 總傳輸 (增益)； n 從源節(jié)點(diǎn)至匯節(jié)點(diǎn)前向通道總數(shù)； Pk 第K條前向通路的傳輸； 信號(hào)流圖的特征式； k 第k條前向通路特征式的余因子式,線性代數(shù)方程的克萊姆法則,為所有不同回環(huán)的增益之和；,為每?jī)蓚€(gè)互不接觸回環(huán)增益乘積之和 ；,為每三個(gè)互不接觸回環(huán)增益乘積之和；,為在中除去與第k條前向通路相接觸的回路后的特征式， 稱為第k條前向通路特征式的余因子。,解：信號(hào)流圖的組成：4個(gè)單回環(huán)，一條前向通道 =1 (bi + dj + fk + bcdefgm) + (bidj + bifk + djfk) bidjfk P1 = abcdefgh 1 = 1 0 = 1,例2-21 求圖所示系統(tǒng)的信號(hào)流圖輸入x0至輸出x8的總傳輸G。,例2-22 已知系統(tǒng)的信號(hào) 流圖如下，求輸入x1至輸出 x2和x3的傳輸。,解：?jiǎn)位芈罚?ac，abd，gi，ghj， aegh,兩兩互不接觸回路： ac與gi，ghj; abd與gi，ghj 1-(ac+gi+abd+ghj+aegf)+(acgi+acghj+abdgi+abdghj) x1到x2的傳輸： P1 = 2ab 1 = 1 (gi + ghj) P2 = 3gfab 2 = 1,x1到x3的傳輸： P1 = 3 1 = 1 ( ac + abd ) P2