北大附中高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題復(fù)習(xí)不等式（下）.doc

學(xué)科：數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容：不等式(下)例3 已知i、m、n是正整數(shù)，且1imn，（1）證明：niamimiani;（2）證明：。證明 （1）對(duì)于1im，有ami=m(mi+1),=，同理=。由于m，所以即 mianiniami（2）由二項(xiàng)式定理有(1+m)n=1+cn1m+cn2m2+cnnmn(1+n)m=1+cm1n+cm2n2+cmmnm由（1）知mianiniami (1imnicmi (kim,mmcnm nmcmm, mm+1cnm+1 0, mmcnn 0,1+ cn1m + cn2m2+ cnnmn 1+ cm1n+ cm2n2 + cmmnn，即(1+m)n(1+n)m成立。注 本題是2001年全國(guó)高考數(shù)學(xué)試題，上述證明方法關(guān)鍵是配對(duì)。除了上述證法外，本題還有許多另外的證法，下面另舉兩種證法。（1）法一：令n=m+k,（kn）對(duì)自然數(shù)t=1,2，i1,tm，有，從而得：1+1+(1+)i(1+)(1+)(1+)()i(m+k)im（m1）(mi+1)mi(m+k)(m+k1)(m+ki+1)即niamimiani法二：因?yàn)閕、m、n是正整數(shù)，且1imm(m+k) m(m+k) 2m2 (m+k)故m2 (m+k) 2m(m+k) 2m2 (m+k) 2m2 (m+k)，即左邊右邊，這說(shuō)明i=2時(shí)，原不等式成立。(ii)假設(shè)i=k時(shí)，成立。這說(shuō)明i=l+ k時(shí)，也成立。由(i)(ii)可知，對(duì)于滿(mǎn)足條件11f(n+1)f(n)當(dāng)k3,kn時(shí)，f(k)單調(diào)遞增，又kk+1(k+1)k,即k(k+1)于是經(jīng)過(guò)有限次傳遞，必有：(n+1)(1+n)m法二：（1+m）n(1+n)mnlg(1+m)mlg(1+n)令f(n)= ,n2又，即(1+n)n+1(2+n)n()n(1)nn2,1由貝努利不等式得（1）n1=，f（n）單調(diào)遞減，又m(1+m)n例5 設(shè)函數(shù)f(x)=logb(b0且b1)，（1）求f(x)的定義域；（2）當(dāng)b1時(shí)，求使f(x)0的所有x的值。解 （1）x22x+2恒正，f(x)的定義域是1+2ax0，即當(dāng)a=0時(shí)，f(x)定義域是全體實(shí)數(shù)。當(dāng)a0時(shí)，f(x)的定義域是（，+）當(dāng)a1時(shí)，在f(x)的定義域內(nèi)，f(x)01x22x+21+2axx22(1+a)x+10其判別式=4(1+a)24=4a(a+2)(i)當(dāng)0時(shí)，即2a0f(x)0x0xr且x1若a=2,f(x)0(x+1)20x且x1(iii)當(dāng)0時(shí)，即a0或a2時(shí)方程x22(1+a)x+1=0的兩根為x1=1+a,x2=1+a+若a0，則x2x10或若a0恒成立，故解之得：2k+2k+，（kz）。注 二次函數(shù)的在區(qū)間上最大值、最小值，只要考慮兩個(gè)端點(diǎn)及區(qū)間中對(duì)稱(chēng)軸所在位置之點(diǎn)。例8 設(shè)函數(shù)f(x)=ax，(1)解不等式f(x)1；(2)求a的取值范圍，使函數(shù)f(x)在區(qū)間0，+上是單調(diào)函數(shù)。解 (1)不等式f(x)1，即1+ax所以：(i)當(dāng)0a1，所給不等式的解集是x|0x(ii)a1時(shí)，所給不等式的解集是x|x0(iii)當(dāng)a=0時(shí)，所給不等式的解集是0(iv)當(dāng)1a0時(shí)，所給不等式的解集是x|x0(v)當(dāng)a1時(shí)，所給不等式的解集是x|x0(2)在區(qū)間0，+上任取x1，x2，使得x1x2f(x1)f(x2)= =(x1x2)()而要使f(x)在0，+上單調(diào)只須f(x1)f(x2)在0，+上恒正或恒負(fù)。又x2x10,x1x20，+(0，1)a1或a0例9 設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+8x+3a0。對(duì)于給定的負(fù)數(shù)a，有一個(gè)最大的正數(shù)l(a)，使得在整個(gè)區(qū)間0，l(a)上，不等式|f(x)|5恒成立。問(wèn)：a為何值時(shí)，l(a)最大？求出這個(gè)最大的l(a)，證明你的結(jié)論。解 f(x)=a(x+)2+3 a0，f(x)max=3(i)當(dāng)35，即8a0時(shí)，l(a)是方程ax2+8x+3=5的較小根，（ii）當(dāng)時(shí)，即a8時(shí)，l(a)是方程的較大根，即l(a)= =當(dāng)且僅當(dāng)a=8時(shí)，等號(hào)成立。由于，因此當(dāng)且僅當(dāng)a=8時(shí)，l(a)取最大值。注 本題是一個(gè)典型的函數(shù)、方程、不等式的綜合題。數(shù)形結(jié)合利于開(kāi)拓思路，找到解法。例10 設(shè)an是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，sn是其前n項(xiàng)和，(1)證明：lgsn+1；(2)是否存在常數(shù)c0，使得=lg(sn+1c)成立？證明你的結(jié)論。解 (1)an是由正數(shù)組成的等比數(shù)列a10,q0當(dāng)q=1時(shí)，sn=na1,sn+2=(n+2)a1sn+1=(n+1)a2snsn+2=na1(n+2)a1=n2a12+2na12n2a12+2na12+a12=(n+1)a12=s2n+1s nsn+2s2n+1當(dāng)q1時(shí)sn= sn+2= sn+1=s nsn+2=s2n+1=于是，s2n+1snsn+2=a12qn0綜上所述：s2n+1snsn+2lgsn+1(2)證法一：(i)當(dāng)q=1時(shí) (snc)(sn+2c)(sn+1c)2=(na1c)(n+2)a1c(n+1)a1c2=a