解線性方程組的矩陣三角分解法.ppt

1,第五章 解線性方程組的直接方法,計(jì)算方法, 矩陣三角分解法,2,本講內(nèi)容,一般線性方程組 LU 分解與 PLU 分解,對(duì)稱正定線性方程組 平方根法Cholesky 分解,對(duì)角占優(yōu)三對(duì)角線性方程組 追趕法,3,LU 分解,矩陣的 LU(Doolittle) 分解,矩陣的 LDR 分解,克洛脫 (Crout) 分解,4,計(jì)算 LU 分解,利用矩陣乘法直接計(jì)算 LU 分解,L U = A,比較等式兩邊的第一行得：,u1j = a1j,比較等式兩邊的第一列得：,比較等式兩邊的第二行得：,比較等式兩邊的第二列得：,( j = 1, n ),( i = 2, n ),( j = 2, n ),( i = 3, n ),5,計(jì)算 LU 分解,第 k 步：此時(shí) U 的前 k-1 行和 L 的前 k-1 列已經(jīng)求出,直到第 n 步，便可求出矩陣 L 和 U 的所有元素。,6,LU 分解算法,算法 ：(LU 分解 ),Matlab程序參見(jiàn)：ex51.m,乘除法運(yùn)算量：(n3 - n)/3,為了節(jié)省存儲(chǔ)空間，通常用 A 的絕對(duì)下三角部分來(lái)存放 L (對(duì)角線元素?zé)o需存儲(chǔ))，用 A 的上三角部分來(lái)存放 U,7,PLU 分解,矩陣的 PLU 分解,Matlab程序：上機(jī)練習(xí),8,Cholesky 分解,對(duì)稱正定矩陣的三角分解Cholesky 分解,定理：設(shè) A 是對(duì)稱矩陣，若 A 的所有順序主子式都不為 0，則 A 可唯一分解為 其中 L 為單位下三角陣，D 為對(duì)角矩陣,A = LDLT,定理：（Cholesky分解）若 A 對(duì)稱正定，則 A 可唯一分解為 其中 L 為下三角實(shí)矩陣，且對(duì)角元素都大于 0,A = LLT,9,計(jì)算 Cholesky 分解,Cholesky 分解的計(jì)算,直接比較等式兩邊的元素,計(jì)算公式,10,Cholesky 分解算法,算法 ：(Cholesky 分解 ),11,平方根法,A 對(duì)稱正定,算法 ：(解對(duì)稱正定線性方程組的平方根法 ),12,改進(jìn)的 Cholesky 分解,計(jì)算公式,改進(jìn)的 Cholesky 分解,13,改進(jìn)的 Cholesky 分解,for j = 1 to n end,i = j +1, , n,算法 ：(改進(jìn)的 Cholesky 分解 ),優(yōu)點(diǎn)：避免開(kāi)方運(yùn)算,14,改進(jìn)的平方根法,A 對(duì)稱正定,算法 ：(解對(duì)稱正定線性方程組的改進(jìn)的平方根法 ),15,追趕法,對(duì)角占優(yōu)的三對(duì)角矩陣的 LU 分解,計(jì)算公式,i =