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1,第五章 解線性方程組的直接方法,計算方法, 矩陣三角分解法,2,本講內容,一般線性方程組 LU 分解與 PLU 分解,對稱正定線性方程組 平方根法Cholesky 分解,對角占優(yōu)三對角線性方程組 追趕法,3,LU 分解,矩陣的 LU(Doolittle) 分解,矩陣的 LDR 分解,克洛脫 (Crout) 分解,4,計算 LU 分解,利用矩陣乘法直接計算 LU 分解,L U = A,比較等式兩邊的第一行得：,u1j = a1j,比較等式兩邊的第一列得：,比較等式兩邊的第二行得：,比較等式兩邊的第二列得：,( j = 1, n ),( i = 2, n ),( j = 2, n ),( i = 3, n ),5,計算 LU 分解,第 k 步：此時 U 的前 k-1 行和 L 的前 k-1 列已經求出,直到第 n 步，便可求出矩陣 L 和 U 的所有元素。,6,LU 分解算法,算法 ：(LU 分解 ),Matlab程序參見：ex51.m,乘除法運算量：(n3 - n)/3,為了節(jié)省存儲空間，通常用 A 的絕對下三角部分來存放 L (對角線元素無需存儲)，用 A 的上三角部分來存放 U,7,PLU 分解,矩陣的 PLU 分解,Matlab程序：上機練習,8,Cholesky 分解,對稱正定矩陣的三角分解Cholesky 分解,定理：設 A 是對稱矩陣，若 A 的所有順序主子式都不為 0，則 A 可唯一分解為 其中 L 為單位下三角陣，D 為對角矩陣,A = LDLT,定理：（Cholesky分解）若 A 對稱正定，則 A 可唯一分解為 其中 L 為下三角實矩陣，且對角元素都大于 0,A = LLT,9,計算 Cholesky 分解,Cholesky 分解的計算,直接比較等式兩邊的元素,計算公式,10,Cholesky 分解算法,算法 ：(Cholesky 分解 ),11,平方根法,A 對稱正定,算法 ：(解對稱正定線性方程組的平方根法 ),12,改進的 Cholesky 分解,計算公式,改進的 Cholesky 分解,13,改進的 Cholesky 分解,for j = 1 to n end,i = j +1, , n,算法 ：(改進的 Cholesky 分解 ),優(yōu)點：避免開方運算,14,改進的平方根法,A 對稱正定,算法 ：(解對稱正定線性方程組的改進的平方根法 ),15,追趕法,對角占優(yōu)的三對角矩陣的 LU 分解,計算公式,i =

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