空間解析幾何及多元函數(shù)微分學(xué)期末復(fù)習(xí).ppt

2、空間解析幾何(Ch8) 重點(diǎn)考察,向量運(yùn)算,點(diǎn)在直線或點(diǎn)在平面上的投影,3、多元函數(shù)微分學(xué)(Ch9)：,方向?qū)?shù)和梯度不考；拉格朗日乘子法不考,兩個(gè)變量的抽象函數(shù)和隱函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)不考；,方程組情形的隱函數(shù)求偏導(dǎo)不考；,多元函數(shù)的極限不考；,不考,4、重積分(Ch10)：,5、曲線積分與曲面積分(Ch11)：,兩類曲線積分的關(guān)系 不考,兩類曲面積分的關(guān)系 不考,斯托克斯公式 不考,第八章 空間解析幾何,（一）向量運(yùn)算：數(shù)量積、向量積,（二）點(diǎn)在平面上的投影,（三）點(diǎn)在直線上的投影,數(shù)量積,定義表達(dá)式：,坐標(biāo)表達(dá)式：,常用公式,（3）兩向量的夾角公式：,（4）,一、向量的運(yùn)算,向量積,定義表達(dá)式：,坐標(biāo)表達(dá)式：,常用公式,方向:,且符合右手規(guī)則,模 :,/,向量的位置關(guān)系:,例. 設(shè),計(jì)算,并求,夾角 的正弦與余弦 .,答案:,答案:,例. 已知向量,的夾角,且,解：,解:,空間平面方程,一般式,點(diǎn)法式,截距式,1. 空間平面與直線的方程,二、點(diǎn)在平面或點(diǎn)在直線上的投影,基本思路：,定點(diǎn)、定向,空間直線方程,一般式,對(duì)稱式,參數(shù)式,點(diǎn),方向向量,分析:,點(diǎn)在平面上的投影,點(diǎn)在直線上的投影,分析:,解:,代入平面方程:,第九章,（一）基本概念,（二）多元函數(shù)微分法,（三）多元函數(shù)微分法的應(yīng)用,多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用,一、基本概念（1）,1. 多元函數(shù)的定義、極限 、連續(xù),會(huì)求多元函數(shù)的定義域,判斷極限不存在及求極限的方法（換元、夾逼準(zhǔn)則）,會(huì)利用多元函數(shù)的連續(xù)性求極限,二元函數(shù)z = f (x , y) 在（x0 , y0）處連續(xù),多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù).,例,定義域,解：,2. 幾個(gè)基本概念的關(guān)系,書P76 :5 ; P129 :1,沿任意方向 l 的 方向?qū)?shù)存在,求偏導(dǎo)數(shù)和全微分,1. 顯函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)：固定其余變量對(duì)某個(gè)變量求導(dǎo),二、多元函數(shù)微分法,求一點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)的方法,先代后求,先求后代,1,2. 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t,需注意因變量、中間變量、自變量之間的關(guān)系。,例. 設(shè),求,解:,y,x,3. 隱函數(shù)求導(dǎo)公式,1、一元隱函數(shù),2、二元隱函數(shù),注：對(duì)“抽象函數(shù)”和“隱函數(shù)”會(huì)求“一階”偏導(dǎo)數(shù)即可。,解：,設(shè),則,例. 設(shè),4. 全微分,z = f (x , y),例. 設(shè),則,例. 設(shè),則,三、多元函數(shù)微分法的應(yīng)用,1.在幾何中的應(yīng)用,求曲線在切線及法平面,(關(guān)鍵: 抓住切向量),求曲面的切平面及法線 (關(guān)鍵: 抓住法向量),3. 極值與最值問題,極值的必要條件與充分條件,求條件極值的方法 (代入法, 拉格朗日乘數(shù)法),求解最值問題,2. 方向?qū)?shù)與梯度(公式),1. 空間曲線的切線與法平面,切線方程,法平面方程,空間光滑曲線,切向量,解：,切線方程,法平面方程,切點(diǎn)：,切向量：,曲面方程：,法線方程,1) 隱式情況 .,切平面方程,2. 空間曲面的切平面與法線,曲面方程：,切平面方程,法線方程,2) 顯式情況.,法線的方向余弦,例. 求球面,在點(diǎn)(1 , 2 , 3) 處,的切平面及法線方程.,解:,所以球面在點(diǎn) (1 , 2 , 3) 處有:,切平面方程,即,法線方程,法向量,令,上求一點(diǎn) , 使該點(diǎn)處的法線垂直于,例. 在曲面,并寫出該法線方程 .,提示: 設(shè)所求點(diǎn)為,則法線方程為,利用,得,平面,法線垂直于平面,點(diǎn)在曲面上,例. 證明曲面,與定直線平行,證: 曲面上任一點(diǎn)的法向量,取定直線的方向向量為,則,(定向量),故結(jié)論成立 .,的所有切平面恒,時(shí), 具有極值,1) 當(dāng),A0 時(shí)取極大值;,A0 時(shí)取極小值.,2) 當(dāng),3) 當(dāng),時(shí), 沒有極值.,時(shí), 不能確定 , 需另行討