換底公式的推導(dǎo)及特殊換底公式及練習(xí).ppt

4.2 換底公式及其推論,一、從對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)說起,如果,（加法）,（減法）,（數(shù)乘）,注意：1.在實(shí)際解題過程中以上三式從左向右運(yùn)算不必考慮 ， 是否非負(fù)；但是從右向左運(yùn)算時(shí)必須保證 ， 非負(fù)；2.兩端的底數(shù)必須相同這就是說利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)只能解決同底數(shù)的對(duì)數(shù)運(yùn)算 .,則有：,2、利用計(jì)算器計(jì)算 和 .,二、換底公式,1、利用計(jì)算器計(jì)算 和 ；,結(jié)果：1、 2、,說明：第1題中是兩個(gè)常用對(duì)數(shù)，它們的底數(shù)都是10；第2題中是兩個(gè)自然對(duì)數(shù)，它們的底數(shù)都是e.利用科學(xué)計(jì)算器可以直接計(jì)算常用對(duì)數(shù)和自然對(duì)數(shù).,問題1 可否利用計(jì)算器求出 的值呢？,我們可設(shè) ，,對(duì)上式兩邊同取以10為底的對(duì)數(shù)可得,從而有,即,由,抽象推廣到一般情況可得重要,的對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換公式：,換底公式,說明：對(duì)數(shù)換底公式的證明方法并不唯一，前面對(duì) 的求值過程實(shí)際上就是一種證明方法，可類似證明對(duì)數(shù)換底公式，現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們寫出證明過程，并思考如何將以 為底 的對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換為以 為底的對(duì)數(shù)的比值.,證明,兩邊取以 為底的對(duì)數(shù)，得,即,，根據(jù)對(duì)數(shù)的定義，有,設(shè),令 ，,推論2,推論1,三、推論,則 就變形為,注：實(shí)際上由換底公式直接可得推論2， 請(qǐng)同學(xué)們自己推導(dǎo).,直接利用換底公式,推論3,證明,左邊,右邊,四、應(yīng)用,例1 計(jì)算：,例2 用科學(xué)計(jì)算器計(jì)算下列對(duì)數(shù)（精確到0.001）：,分析：對(duì)于實(shí)際問題的解答，其基本思路為： 1.分析實(shí)際問題； 2.建立數(shù)學(xué)模型； 3.利用數(shù)學(xué)方法求解； 4.解答.,例3 一種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì)，每經(jīng)過一年剩留的質(zhì)量約為原來的84%，估計(jì)約經(jīng)過多少年，該物質(zhì)的剩留量是原來的一半（結(jié)果保留1個(gè)有效數(shù)字）.,解：設(shè)最初的質(zhì)量為1，經(jīng)過x年，剩留量是y，則,經(jīng)過1年，剩留量是,經(jīng)過2年，剩留量是, 經(jīng)過x年，剩留量是,方法一：利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知 在 上是減函數(shù)，故可取 =1，2，3，4，5， 6， 直至對(duì)應(yīng)的 為止，如下表所示： 0 1 2 3 4 5 . 1 0.84 0.71 0.59 0.50 0.42 .,由表可知，當(dāng)時(shí) ，對(duì)應(yīng)的 , 即約經(jīng)過4年該物質(zhì)的剩留量是原來的一半.,方法二：,利用換底公式得,用科學(xué)計(jì)算器計(jì)算得,即月經(jīng)過4年，該物質(zhì)的剩留量是原來