高中數(shù)學(xué)第二章平面向量的線性運(yùn)算2.2.1向量加法運(yùn)算及其幾何意義學(xué)案（無(wú)答案）新人教A版.docx

2.2平面向量的線性運(yùn)算22.1向量加法運(yùn)算及其幾何意義學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意義及其幾何意義.2.掌握向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，并能熟練地運(yùn)用這兩個(gè)法則作兩個(gè)向量的加法運(yùn)算.3.了解向量加法的交換律和結(jié)合律，并能依據(jù)幾何意義作圖解釋向量加法運(yùn)算律的合理性知識(shí)點(diǎn)一向量加法的定義及其運(yùn)算法則分析下列實(shí)例：(1)飛機(jī)從廣州飛往上海，再?gòu)纳虾ｏw往北京(如圖)，這兩次位移的結(jié)果與飛機(jī)從廣州直接飛往北京的位移是相同的(2)有兩條拖輪牽引一艘輪船，它們的牽引力分別是F13000N，F(xiàn)22000N，牽引繩之間的夾角為60(如圖)，如果只用一條拖輪來(lái)牽引，也能產(chǎn)生跟原來(lái)相同的效果思考1從物理學(xué)的角度，上面實(shí)例中位移、牽引力說(shuō)明了什么？體現(xiàn)了向量的什么運(yùn)算？答案后面的一次位移叫做前面兩次位移的合位移，四邊形OACB的對(duì)角線表示的力是與表示的力的合力體現(xiàn)了向量的加法運(yùn)算思考2上述實(shí)例中位移的和運(yùn)算、力的和運(yùn)算分別運(yùn)用了什么法則？答案三角形法則和平行四邊形法則梳理(1)向量加法的定義求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法(2)向量求和的法則向量求和的法則三角形法則已知非零向量a，b，在平面上任取一點(diǎn)A，作a，b，則向量叫做a與b的和，記作ab，即ab.這種求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則.對(duì)于零向量與任一向量a的和有a00aa平行四邊形法則以同一點(diǎn)O為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量a，b為鄰邊作OACB，則以O(shè)為起點(diǎn)的對(duì)角線就是a與b的和把這種作兩個(gè)向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則向量加法的三角形法則和平行四邊形法則實(shí)際上就是向量加法的幾何意義知識(shí)點(diǎn)二向量加法的運(yùn)算律思考1實(shí)數(shù)加法有哪些運(yùn)算律？答案交換律和結(jié)合律思考2根據(jù)圖中的平行四邊形ABCD，驗(yàn)證向量加法是否滿足交換律(注：a，b)答案，ab.，ba.abba.思考3根據(jù)圖中的四邊形ABCD，驗(yàn)證向量加法是否滿足結(jié)合律(注：a，b，c)答案()，(ab)c，又()，a(bc)，(ab)ca(bc)梳理向量加法的運(yùn)算律交換律abba結(jié)合律(ab)ca(bc)10aa0a.()2.()30.()4.()5|.()類型一向量加法的三角形法則和平行四邊形法則例1如圖(1)(2)，已知向量a，b，c，求作向量ab和abc.(1)(2)考點(diǎn)向量加法的定義及幾何意義題點(diǎn)求作和向量解(1)作法：在平面內(nèi)任意取一點(diǎn)O，作a，b，則ab.(2)在平面內(nèi)任意取一點(diǎn)O，作a，b，c，則abc.反思與感悟向量加法的平行四邊形法則和三角形法則的區(qū)別和聯(lián)系區(qū)別：(1)三角形法則中強(qiáng)調(diào)“首尾相接”，平行四邊形法則中強(qiáng)調(diào)的是“共起點(diǎn)”；(2)三角形法則適用于任意兩個(gè)非零向量求和，而平行四邊形法則僅適用于不共線的兩個(gè)向量求和聯(lián)系：(1)當(dāng)兩個(gè)向量不共線時(shí)，向量加法的三角形法則和平行四邊形法則是統(tǒng)一的；(2)三角形法則作出的圖形是平行四邊形法則作出的圖形的一半跟蹤訓(xùn)練1如圖所示，O為正六邊形ABCDEF的中心，化簡(jiǎn)下列向量(1)_；(2)_；(3)_.考點(diǎn)向量加法的定義及其幾何意義的應(yīng)用題點(diǎn)向量加法在平面幾何中的應(yīng)用答案(1)(2)(3)0類型二向量加法運(yùn)算律的應(yīng)用例2化簡(jiǎn)：(1)；(2)；(3).考點(diǎn)向量的加法運(yùn)算與運(yùn)算律題點(diǎn)化簡(jiǎn)向量解(1).(2)()0.(3)0.反思與感悟(1)根據(jù)向量加法的交換律使各向量首尾連接，再運(yùn)用向量的結(jié)合律調(diào)整向量順序后相加(2)向量求和的多邊形法則：.特別地，當(dāng)An和A1重合時(shí)，0.跟蹤訓(xùn)練2(2017上饒高一檢測(cè))向量()()化簡(jiǎn)后等于()A.B.C.D.考點(diǎn)向量的加法運(yùn)算與運(yùn)算律題點(diǎn)化簡(jiǎn)向量答案D解析向量()().類型三向量加法的實(shí)際應(yīng)用例3在靜水中船的速度為20m/min，水流的速度為10 m/min，如果船從岸邊出發(fā)沿垂直于水流的航線到達(dá)對(duì)岸，求船行進(jìn)的方向考點(diǎn)向量加法的定義及其幾何意義的應(yīng)用題點(diǎn)向量的加法在運(yùn)動(dòng)學(xué)中的應(yīng)用解作出圖形，如圖所示船速v船與岸的方向成角，由圖可知v水v船v實(shí)際，結(jié)合已知條件，四邊形ABCD為平行四邊形，在RtACD中，|v水|10m/min，|v船|20m/min，cos，60，從而船與水流方向成120的角船是沿與水流的方向成120的角的方向行進(jìn)引申探究1若本例中條件不變，則經(jīng)過(guò)1h，該船的實(shí)際航程是多少？解由例3知v船20m/min，v實(shí)際20sin6010(m/min)，故該船1h行駛的航程為1060600(m)(km)2若本例中其他條件不變，改為若船沿垂直水流的方向航行，求船實(shí)際行進(jìn)的方向與岸方向的夾角的正切值解如圖，作平行四邊形ABDC，則v實(shí)際，設(shè)船實(shí)際航向與岸方向的夾角為，則tan2.即船實(shí)際行進(jìn)的方向與岸方向的夾角的正切值為2.反思與感悟向量既有大小又有方向的特性在實(shí)際生活中有很多應(yīng)用，準(zhǔn)確作出圖象是解題關(guān)鍵跟蹤訓(xùn)練3如圖，用兩根繩子把重10N的物體W吊在水平桿子AB上，ACW150，BCW120，求A和B處所受力的大小(繩子的重量忽略不計(jì))考點(diǎn)向量加法的定義及其幾何意義的應(yīng)用題點(diǎn)向量的加法在物理學(xué)中的應(yīng)用解如圖所示，設(shè)，分別表示A，B所受的力，10N的重力用表示，則.由題意可得ECG18015030，F(xiàn)CG18012060.|cos30105(N)，|cos60105(N)A處所受的力為5N，B處所受的力為5N.1化簡(jiǎn)等于()A.B.C0D.考點(diǎn)向量的加法運(yùn)算與運(yùn)算律題點(diǎn)化簡(jiǎn)向量答案D解析.2.如圖，在正六邊形ABCDEF中，等于()A0B.C.D.考點(diǎn)向量的加法運(yùn)算與運(yùn)算律題點(diǎn)幾何圖形中的向量加法運(yùn)算答案D解析.3正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，則|為()A1B.C3D2考點(diǎn)向量加法的平行四邊形法則題點(diǎn)利用向量的加法求模答案B解析在正方形ABCD中，AB1，可知AC，所以|AC|.4.如圖所示，在四邊形ABCD中，則四邊形為()A矩形B正方形C平行四邊形D菱形考點(diǎn)向量加法的平行四邊形法則題點(diǎn)判定四邊形的形狀答案C解析，即，ABDC，ABDC，四邊形ABCD為平行四邊形5.如圖，已知ABCD，O是兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，E是CD的一個(gè)三等分點(diǎn)(靠近D點(diǎn))，求作：(1)；(2).考點(diǎn)向量加法的定義及幾何意義題點(diǎn)求作和向量解(1)延長(zhǎng)AC，在延長(zhǎng)線上截取CFAO，則向量即為所求(2)在AB上取點(diǎn)G，使AGAB，則向量即為所求1三角形法則和平行四邊形法則都是求向量和的基本方法，兩個(gè)法則是統(tǒng)一的，當(dāng)兩個(gè)向量首尾相連時(shí)，常選用三角形法則；當(dāng)兩個(gè)向量共起點(diǎn)時(shí)，常選用平行四邊形法則2向量的加法滿足交換律，因此在進(jìn)行多個(gè)向量的加法運(yùn)算時(shí)，可以按照任意的次序和任意的組合去進(jìn)行3使用向量加法的三角形法則時(shí)要特別注意“首尾相接”和向量的特征是從第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向第二個(gè)向量的終點(diǎn)向量相加的結(jié)果是向量，如果結(jié)果是零向量，一定要寫成0，而不應(yīng)寫成0.一、選擇題1化簡(jiǎn)等于()A.B.C0D.考點(diǎn)向量的加法運(yùn)算與運(yùn)算律題點(diǎn)化簡(jiǎn)向量答案D2如圖，四邊形ABCD是梯形，ADBC，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，則等于()A.B.C.D.考點(diǎn)向量的加法運(yùn)算與運(yùn)算律題點(diǎn)幾何圖形中的向量加法運(yùn)算答案B解析.3下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為()如果非零向量a與b的方向相同或相反，那么ab的方向必與a或b的方向相同；在ABC中，必有0；若0，則A，B，C一定為一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)；若a，b均為非零向量，則|ab|a|b|.A0B1C2D3考點(diǎn)向量加法的定義及幾何意義題點(diǎn)向量加法的三角形不等式答案B解析錯(cuò)，若ab0，則ab的方向是任意的；正確；錯(cuò)，當(dāng)A，B，C三點(diǎn)共線時(shí)，也滿足0；錯(cuò)，|ab|a|b|.4已知四邊形ABCD為菱形，則下列等式中成立的是()A.B.C.D.考點(diǎn)向量的加法運(yùn)算與運(yùn)算律題點(diǎn)幾何圖形中的向量加法運(yùn)算答案C解析對(duì)于A，；對(duì)于B，；對(duì)于C，又，所以；對(duì)于D，.5在矩形ABCD中，|4，|2，則向量的長(zhǎng)度為()A2B4C12D6考點(diǎn)向量加法的平行四邊形法則題點(diǎn)利用向量的加法求模答案B解析因?yàn)?，所以的長(zhǎng)度為的模的2倍又|2，所以向量的長(zhǎng)度為4.6若在ABC中，ABAC1，|，則ABC的形狀是()A正三角形B銳角三角形C斜三角形D等腰直角三角形考點(diǎn)向量加法的平行四邊形法則題點(diǎn)判定四邊形的形狀答案D解析以AB，AC為鄰邊作平行四邊形ABDC，ABAC1，AD，ABD為直角，該四邊形為正方形，BAC90，ABC為等腰直角三角形，故選D.二、填空題7如圖，在平行四邊形ABCD中，O是AC和BD的交點(diǎn)(1)_；(2)_.考點(diǎn)向量的加法運(yùn)算與運(yùn)算律題點(diǎn)幾何圖形中的向量加法運(yùn)算答案(1)(2)08已知點(diǎn)G是ABC的重心，則_.考點(diǎn)向量的加法運(yùn)算與運(yùn)算律題點(diǎn)化簡(jiǎn)向量答案0解析如圖所示，連接AG并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AE到點(diǎn)D，使GEED，則，0，0.9小船以10km/h的靜水速度按垂直于對(duì)岸的方向行駛，同時(shí)河水的流速為10 km/h，則小船實(shí)際航行速度的大小為_km/h.考點(diǎn)向量加法的定義及其幾何意義的應(yīng)用題點(diǎn)向量的加法在運(yùn)動(dòng)學(xué)中的應(yīng)用答案20解析如圖，設(shè)船在靜水中的速度為|v1|10km/h，河水的流速為|v2|10 km/h，小船實(shí)際航行速度為v0，則由|v1|2|v2|2|v0|2，得(10)2102|v0|2，所以|v0|20km/h，即小船航行速度的大小為20 km/h.10在菱形ABCD中，DAB60，|1，則|_.考點(diǎn)向量加法的平行四邊形法則題點(diǎn)利用向量的加法求模答案1解析在菱形ABCD中，連接BD，DAB60，BAD為等邊三角形，又|1，|1，|1.三、解答題11如圖所示，已知電線AO與天花板的夾角為60，電線AO所受拉力|F1|24N，繩BO與墻壁垂直，所受拉力|F2|12N求F1和F2的合力大小考點(diǎn)向量加法的定義及其幾何意義的應(yīng)用題點(diǎn)向量的加法在物理學(xué)中的應(yīng)用解如圖，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，得到合力FF1F2.在OCA中，|24，|12，OAC60，OCA90，|12.F1與F2的合力大小為12N，方向?yàn)榕cF2成90角豎直向上12如圖所示，P，Q是ABC的邊BC上兩點(diǎn)，且BPQC.求證：.考點(diǎn)向量的加法運(yùn)算與運(yùn)算律題點(diǎn)證明幾何圖形中的向量等式證明，.與大小相等，方向相反，0，故0.四、探究與拓展13設(shè)非零向量a，b，c，若p，則|p|的取