角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù).ppt

三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù) 周期信號的復(fù)指數(shù)級數(shù) 周期信號的功率特性 對稱信號的傅里葉級數(shù) 傅里葉有限級數(shù),4.2傅立葉級數(shù),傅里葉生平,1768年生于法國 1807年提出“任何周期信號都可用正弦函數(shù)級數(shù)表示” 1829年狄里赫利第一個給出收斂條件 拉格朗日反對發(fā)表 1822年首次發(fā)表在“熱的分析理論” 一書中,4.2傅立葉級數(shù),傅立葉的兩個最主要的貢獻,“周期信號都可表示為諧波關(guān)系的正弦信號的加權(quán)和”傅里葉的第一個主要論點 “非周期信號都可用正弦信號的加權(quán)積分表示” 傅里葉的第二個主要論點,4.2傅立葉級數(shù),周期信號與傅立葉級數(shù),周期信號可展開成正交函數(shù)線性組合的無窮級數(shù)： 三角函數(shù)式的 傅立里葉級數(shù) cosn1t,sinn1t 復(fù)指數(shù)函數(shù)式的傅里葉級數(shù) e j n 1t ,4.2傅立葉級數(shù),一、三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù),直流 分量,基波分量 n =1,諧波分量 n1,4.2傅立葉級數(shù),直流系數(shù),余弦分量 系數(shù),正弦分量 系數(shù),4.2傅立葉級數(shù),狄利赫利條件：,在一個周期內(nèi)只有有限個間斷點； 在一個周期內(nèi)有有限個極值點； 在一個周期內(nèi)函數(shù)絕對可積，即 一般周期信號都滿足這些條件.,4.2傅立葉級數(shù),三角函數(shù)是正交函數(shù),4.2傅立葉級數(shù),周期信號的另一種三角函數(shù)正交集表示,4.2傅立葉級數(shù),幾種系數(shù)之間的關(guān)系,4.2傅立葉級數(shù),周期信號的頻譜,周期信號頻譜的周期信號頻譜的數(shù)學(xué)表達式,4.2傅立葉級數(shù),信號的頻譜:振幅譜,相位譜.,f(t),解:,(n為奇數(shù)),(n為偶數(shù)為0),例1：計算下圖傅立葉級數(shù)和頻譜,4.2傅立葉級數(shù),(n為奇數(shù))(n為偶數(shù)時為0),4.2傅立葉級數(shù),單邊譜和雙邊譜,4.2傅立葉級數(shù),1單邊頻譜,若周期信號 的傅里葉展開式為：,則對應(yīng)的幅度頻譜 和相位頻譜 稱為單邊頻譜,（a）單邊幅度頻譜 （b）單邊相位頻譜,周期信號的單邊頻譜,4.2傅立葉級數(shù),2雙邊頻譜,若 周期信號的傅里葉展開式為：,4.2傅立葉級數(shù),周期復(fù)指數(shù)信號的頻譜圖的特點,引入了負頻率變量，沒有物理意義，只是數(shù)學(xué)推導(dǎo)； Fn 一般是復(fù)函數(shù)， 當(dāng) Fn 是實函數(shù)時，可用Fn的正負表示0和相位， 幅度譜和相位譜合一。,4.2傅立葉級數(shù),周期信號的譜線只出現(xiàn)在基波頻率的整數(shù)倍的頻率處。直觀看出：各分量的大小，各分量的頻移，,Cn,4.2傅立葉級數(shù),頻譜由不連續(xù)的譜線組成，每一條譜線代表一個正弦分量，即頻譜具有離散性。 頻譜的每條譜線都只能出現(xiàn)在基波頻率的整數(shù)倍的頻率上，即頻譜具有諧波性。 頻譜的各條譜線的高度，即各次諧波的振幅總是隨著諧波次數(shù)的增大而逐漸減?。划?dāng)諧波次數(shù)無限增大時，諧波分量的振幅也就無限趨小，即頻譜具有收斂性。,周期信號頻譜特點,4.2傅立葉級數(shù),二、周期信號的復(fù)指數(shù)級數(shù),由前知 由歐拉公式 其中,引入了負頻率,4.2傅立葉級數(shù),指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)的系數(shù),兩種傅氏級數(shù)的系數(shù)間的關(guān)系,4.2傅立葉級數(shù),兩種傅氏級數(shù)的系數(shù)間的關(guān)系,4.2傅立葉級數(shù),周期復(fù)指數(shù)信號的頻譜圖,-,4.2傅立葉級數(shù),周期復(fù)指數(shù)信號頻譜圖的特點,引入了負頻率變量，沒有物理意義，只是數(shù)學(xué)推導(dǎo)； cn 是實函數(shù)，F(xiàn)n 一般是復(fù)函數(shù)，F(xiàn)n =(1/2)cn; 每個分量幅度分在對稱的頻率分量上； 當(dāng) Fn 是實函數(shù)時，可用Fn 的正負表示0和相位， 幅度譜和相位譜合一；,4.2傅立葉級數(shù),三、周期信號的功率特性,P為周期信號的平均功率 符合帕斯瓦爾定理,4.2傅立葉級數(shù),四、對稱信號的傅里葉級數(shù),四種對稱： 偶函數(shù) ：f (t )=f (-t) 奇函數(shù) ：f (t )= - f (-t) 半周期重疊對稱：f(t)=f(tT/2) 奇諧函數(shù) ：半周期鏡像對稱f(t)=-f(tT/2) 任意周期函數(shù)有：,偶函數(shù)項 奇函數(shù)項,4.2傅立葉級數(shù),周期偶函數(shù)只含直流和,其中a是實數(shù) bn=0 Fn是實數(shù),4.2傅立葉級數(shù),例2:周期三角函數(shù)是偶函數(shù),E,f(t),T1/2,-T1/2,t,4.2傅立葉級數(shù),周期奇函數(shù)只含正弦項,Fn為虛數(shù),4.2傅立葉級數(shù),例3：周期鋸齒波是奇函數(shù),E/2,-E/2,T1/2,-T1/2,f(t),t,0,4.2傅立葉級數(shù),半周期重疊對稱,半周期對稱 平移半個周期與原波形完全重合 波形不變,4.2傅立葉級數(shù),半周期重疊對稱波形,實際周期為T/2，實際角頻率為20，基波和諧波頻率均為0的偶數(shù)倍，只有偶次諧波分量。,0,T/2,-T/2,A,4.2傅立葉級數(shù),半周期重疊對稱的傅氏級數(shù),4.2傅立葉級數(shù),奇諧函數(shù) ：,沿時間軸移半個周期； 沿時間軸反轉(zhuǎn)重合； 波形不變； 半周期對稱,4.2傅立葉級數(shù),奇諧函數(shù) 的波形：,f(t),T1/2,-T1/2,0,t,4.2傅立葉級數(shù),奇諧函數(shù)的傅立葉級數(shù),奇諧函數(shù)的偶次諧波的系數(shù)為0,4.2傅立葉級數(shù),例4：利用傅立葉級數(shù)的對稱性判斷所含有的頻率分量,周期偶函數(shù)，奇諧函數(shù)，只含基波和奇次諧波的余弦分量,周期奇函數(shù)，奇諧函數(shù)，只含基波和奇次次諧波的正弦分量,4.2傅立葉級數(shù),含有直流分量和正弦分量,只含有正弦分量,含有直流分量和余弦分量,4.2傅立葉級數(shù),五、傅里葉有限級數(shù),如果完全逼近，則 n= ; 實際中，n=N, N是有限整數(shù)。 如果 N愈接近 n ，則 其均方誤差愈小 若用2N1項逼近，則,4.2傅立葉級數(shù),誤差函數(shù)和均方誤差,誤差函數(shù) 均方誤差,4.2傅立葉級數(shù),例5: 對稱方波, 是偶函數(shù)且奇諧函數(shù),只有奇次諧波的余弦項。,E/2,-E/2,T1/4,-T1/4,t,4.2傅立葉級數(shù),對稱方波有限項的傅里葉級數(shù),N=1 N=2 N=3,4.2傅立葉級數(shù),有限項的N越大，誤差越小例如: N=11,4.2傅立葉級數(shù),由以上可見：,N越大，越接近方波 快變信號，高頻分量，主要影響跳變沿； 慢變信號，低頻分量，主要影響頂部； 任一分量的幅度或相位發(fā)生相對變化時，波形將會失真 有吉伯斯現(xiàn)象發(fā)生,4.2傅立葉級數(shù),典型周期信號的傅立葉級數(shù),周期矩形脈沖信號 周期鋸齒脈沖信號 周期三角脈沖信號 周期半波脈沖信號 周期全波脈沖信號,4.2傅立葉級數(shù),1. 周期矩形脈沖信號,f(t),t,0,E,-T,T,4.2傅立葉級數(shù),4.2傅立葉級數(shù),2.周期矩形脈沖的傅立葉級數(shù),4.2傅立葉級數(shù),x(t),Fn,t,0,0,E,T,-T,4.2傅立葉級數(shù),頻譜分析表明：,離散頻譜，譜線間隔為基波頻率，脈沖周期越大，譜線越密。 各分量的大小與脈幅成正比，與脈寬成正比，與周期成反比。 各譜線的幅度按 包絡(luò)線變化。過零點為： 主要能量在第一過零點內(nèi)。主帶寬度為：,4.2傅立葉級數(shù),周期矩形的頻譜變化規(guī)律：,若T不變，在改變的情況 若不變，在改變T時的情況,T,4.2傅立葉級數(shù),對稱方波是周期矩形的特例