概率論與數(shù)理統(tǒng)計A第5章.ppt

概率論與數(shù)理統(tǒng)計 第5章 大數(shù)定律和中心極限定理,5.1 大數(shù)定律,大數(shù)定律 依概率收斂定義及性質(zhì) 隨機(jī)變量序列服從大數(shù)定律,大量隨機(jī)試驗中,大數(shù)定律的客觀背景,大量拋擲硬幣 正面出現(xiàn)頻率,字母使用頻率,生產(chǎn)過程中的 廢品率,一、大數(shù)定律,定理1（切比雪夫定理的特殊情況）,切比雪夫,則對任意的0，有,做前 n 個隨機(jī)變量的算術(shù)平均,證,由切比雪夫不等式,上式中令,得,說明,二、依概率收斂定義及性質(zhì),定義,性質(zhì),請注意 :,問題 :,伯努利,設(shè)nA是n重貝努里試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A發(fā)生的概率，,是事件A發(fā)生的頻率.,設(shè) nA 是n次獨立重復(fù)試驗中事件A發(fā) 生的次數(shù)，p是事件A在一次試驗中發(fā)生 的概率，則對于任意正數(shù) 0 ，有,定理2（貝努里大數(shù)定律）,或,伯努利,證明,證畢,注,貝努里大數(shù)定律表明，當(dāng)重復(fù)試驗次數(shù)n充分大時，事件A發(fā)生的頻率nA/n與事件A的概率p有較大偏差的概率很小.,或,下面給出的獨立同分布下的大數(shù)定律，不要求隨機(jī)變量的方差存在.,設(shè)隨機(jī)變量序列X1,X2, 相互獨立，服從同一分布，具有數(shù)學(xué)期E(Xi)=, i=1,2,， 則對于任意正數(shù) ，有,定理3（辛欽大數(shù)定律）,辛欽,1、辛欽大數(shù)定律為尋找隨機(jī)變量的期望值提供了一條實際可行的途徑.,注,2、伯努利大數(shù)定律是辛欽定理的特殊情況.,3、辛欽定理具有廣泛的適用性.,要估計某地區(qū)的平均畝產(chǎn)量 ， 要收割某些有代表性塊，例如n 塊 地. 計算其平均畝產(chǎn)量，則當(dāng)n 較 大時，可用它作為整個地區(qū)平均畝 產(chǎn)量的一個估計.,三、小結(jié),大 數(shù) 定 律,大數(shù)定律以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式表達(dá)了隨機(jī)現(xiàn)象最根本的性質(zhì)之一：,平均結(jié)果的穩(wěn)定性,5.2 中心極限定理,依分布收斂 中心極限定理,中心極限定理的客觀背景,在實際問題中許多隨機(jī)變量是由相互獨立隨機(jī)因素的綜合（或和)影響所形成的.,例如：炮彈射擊的 落點與目標(biāo)的偏差， 就受著許多隨機(jī)因 素（如瞄準(zhǔn)，空氣 阻力，炮彈或炮身結(jié)構(gòu)等）綜合影響的.每個隨機(jī)因素對彈著點（隨機(jī)變量和）所起的作用都是很小的.那么彈著點服從怎樣分布哪 ？,如果一個隨機(jī)變量是由大量相互獨立的隨機(jī)因素的綜合影響所造成，而每一個別因素對這種綜合影響中所起的作用不大. 則這種隨機(jī)變量一般都服從或近似服從正態(tài)分布.,自從高斯指出測量誤差服從正態(tài) 分布之后，人們發(fā)現(xiàn)，正態(tài)分布在 自然界中極為常見.,現(xiàn)在我們就來研究獨立隨機(jī)變量之和所特有的規(guī)律性問題.,高斯,當(dāng)n無限增大時，這個和的極限分布是什么呢？,由于無窮個隨機(jī)變量之和可能趨于，故我們不研究n個隨機(jī)變量之和本身而考慮它的標(biāo)準(zhǔn)化的隨機(jī)變量.,在概率論中，習(xí)慣于把和的分布收斂于正態(tài)分布這一類定理都叫做中心極限定理.,依分布收斂,一、中心極限定理,定理1（獨立同分布下的中心極限定理）,注,3、雖然在一般情況下，我們很難求出 的分布的確切形式，但當(dāng)n很大時，可以求出近似分布.,定理2（李雅普諾夫(Liapounov)定理),請注意 :,定理3(棣莫佛拉普拉斯（De Laplace定理）,設(shè)隨機(jī)變量 (n=1,2,)服從參數(shù)n,p(0p1) 的二項分布，則對任意x，有,證,定理表明，當(dāng)n很大，0p1是一個定值時（或者說，np(1-p)也不太小時），二項變量 的分布近似正態(tài)分布 N(np,np(1-p).,即,下面演示不難看到中心極限定理的客觀背景,二、例題,例1,于是,解,例2. (供電問題)某車間有200臺車床, 在生產(chǎn)期間由于需要檢修、調(diào)換刀具、變換位置及調(diào)換工件等常需停車. 設(shè)開工率為0.6, 并設(shè)每臺車床的工作是獨立的，且在開工時需電力1千瓦.,問應(yīng)供應(yīng)多少瓦電力就能以99.9%的概率保證該車間不會因供電不足而影響生產(chǎn)?,用X表示在某時刻工作著的車床數(shù)，,解：對每臺車床的觀察作為一次試驗，每次試驗,是觀察該臺車床在某時刻是否工作, 工作的概率0.6 ,共進(jìn)行200次獨立重復(fù)試驗.,依題意，,XB(200,0.6),現(xiàn)在的問題是：,求滿足,設(shè)需N臺車床工作，,（由于每臺車床在開工時需電力1千瓦，N臺工作所需電力即N千瓦.）,由德莫佛-拉普拉斯極限定理,近似N(0,1),于是 P(XN)= P(0XN),這里 np=120, np(1-p)=48,由3準(zhǔn)則， 此項為0。,查正態(tài)分布函數(shù)表得,從中解得N141.5,即所求N=142.,也就是說, 應(yīng)供應(yīng)142 千瓦電力就能以99.9%的概率保證該車間不會因供電不足而影響生產(chǎn).,例3,解,例1 根據(jù)以往經(jīng)驗，某種電器元件的壽命服從均值為100小時的指數(shù)分布. 現(xiàn)隨機(jī)地取16只，設(shè)它們的壽命是相互獨立的. 求這16只元件的壽命的總和大于1920小時的概率.,三、課堂練習(xí),例2 在一個罐子中,裝有10個編號為0-9的同樣的球，從罐中有放回地抽取若干次，每次抽一個，并記下號碼.,(1) 至少應(yīng)取球多少次才能使“0”出現(xiàn)的頻率在0.09-0.11之間的概率至少是0.95?,(2)用中心極限定理計算在100次抽取中,數(shù)碼“0”出現(xiàn)次數(shù)在7和13之間的概率.,由題給條件知，諸Xi獨立，,16只元件的壽命的總和為,且E(Xi)=100, D(Xi)=10000,依題意，所求為P(Y1920),設(shè)第i只元件的壽命為Xi , i=1,2, ,16,例1解答：,E(Y)=1600,D(Y)=160000,P(Y1920)=1-P(Y1920),=1-(0.8),1-,=1-0.7881=0.2119,（1)解：設(shè)應(yīng)取球n次，0出現(xiàn)頻率為,由中心極限定理,例2解答：,欲使,即,查表得,從中解得,即至少應(yīng)取球3458次才能使“0”出現(xiàn)的頻率在0.09-0.11之間的概率至少是0.95.,（2）解：在100次抽取中, 數(shù)碼“0”出現(xiàn)次數(shù)為,由中心極限定理,即,其中E(Xk)=0.1, D(Xk)=0.09,即在100次抽取中，數(shù)碼“0”出現(xiàn)次數(shù)在7和13之間 的概率為0.6826.,=0.6826,四、小結(jié),中 心 極 限 定