概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)3.33.43.5.ppt

3 隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性,回顧：獨(dú)立事件,定義：設(shè) A, B 是兩個(gè)事件，若 P(AB) = P(A)P(B)，則稱事件 A, B 相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱 A, B 獨(dú)立,定理1：若 P(A) 0 ，則事件 A, B 獨(dú)立的充要條件是,或（若 P(B) 0）,定理2：若事件 A與B 相互獨(dú)立，則下列三對(duì)事件也獨(dú)立：,定義：若對(duì)于所有的實(shí)數(shù) x, y，有 PXx, Yy = PXx PYy， 則稱隨機(jī)變量X 和Y 是相互獨(dú)立的 設(shè) F(x, y)及FX (x)，F(xiàn)Y (y)分別是二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)及邊緣分布函數(shù)，則上式可記作 F (x, y) = FX (x) FY (y) 設(shè) f(x, y)及 fX (x)，fY (y)分別是二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度及邊緣概率密度，則上式也可記作 f(x, y) = fX (x) fY (y) 若(X,Y) 是二維離散型隨機(jī)變量，則對(duì)于(X,Y) 的所有可能取值 ( xi , yj ) ，有 P X = xi , Y = yj = PX = xi PY = yj ,（在平面上幾乎處處成立）,例 設(shè) 的聯(lián)合分布列為,證明 與 分布相互獨(dú)立。,容易算得證明 與 的邊緣分布列為：,容易驗(yàn)證：,類似可以驗(yàn)證：,對(duì)所有的,例：設(shè)二維正態(tài)隨機(jī)變量 (X, Y) 的概率密度為 其中 m1, m2, s12, s22, r 都是常數(shù)，且 s1 0， s2 0， 0| r |1,X N(m1, s12),Y N(m2, s22),證明：對(duì)于二維正態(tài)隨機(jī)變量 (X, Y) ， X 和Y 相互獨(dú)立的充分必要條件是 r = 0 ,若 r = 0，則對(duì)于所有的實(shí)數(shù) x, y，有 f(x, y) = fX (x) fY (y) ，即 X 和Y 相互獨(dú)立 若X 和Y 相互獨(dú)立，因?yàn)?f(x, y) , fX (x), fY (y) 是連續(xù)函數(shù)，所以對(duì)于所有的實(shí)數(shù) x, y，有 f(x, y) = fX (x) fY (y) 特別地，令 x = m1，y = m2，那么 從而 r = 0 ,r = 0,證明：對(duì)于二維正態(tài)隨機(jī)變量 (X, Y) ， X 和Y 相互獨(dú)立的充分必要條件是 r = 0 ,例：一負(fù)責(zé)人到達(dá)辦公室的時(shí)間均勻分布在 8 12 時(shí)，他的秘 書到達(dá)辦公室的時(shí)間均勻分布在 7 9 時(shí)，設(shè)兩人到達(dá)的時(shí)間相 互獨(dú)立，求他們到達(dá)辦公室的時(shí)間相差不超過(guò) 5 分鐘(1/12時(shí))的 概率,解：設(shè)負(fù)責(zé)人和他的秘書到達(dá)辦公室的時(shí)間分別為X 和 Y，則,因?yàn)閄 和 Y 相互獨(dú)立，所以,所求概率是,關(guān)于多維隨機(jī)變量,定理：設(shè) (X1, X2, , Xm) 和 (Y1, Y2, , Yn) 相互獨(dú)立，則 Xi ( i = 1, 2, , m ) 和 Yj ( j = 1, 2, , n ) 相互獨(dú)立 若 h，g 是連續(xù)函數(shù)，則 h (X1, X2, , Xm) 和 g (Y1, Y2, , Yn) 相互獨(dú)立,4 條件分布,回顧：條件概率,定義：對(duì)事件 A、B，若 ，則把 稱為在事件 A 發(fā)生的條件下事件 B 發(fā)生的概率，簡(jiǎn)稱 條件概率.,條件分布 一個(gè)分量取值固定的 條件下，另一個(gè)分量所具有的概 率分布.,二維離散型隨機(jī)變量的條件分布,設(shè)(X, Y)是二維離散型隨機(jī)變量，其聯(lián)合分布律為 (X, Y)關(guān)于 X 和關(guān)于 Y 的邊緣分布律為 假設(shè) p.j 0，考慮X = xi | Y = yj (i = 1, 2, ) 的概率,顯然， 1o 2o 所以上述的條件概率具有分布律的性質(zhì),定義：設(shè)(X, Y)是二維離散型隨機(jī)變量，對(duì)于固定的 j ，若 PY = yj 0，則 稱為在 Y = yj 條件下隨機(jī)變量 X 的條件分布律 同樣，對(duì)于固定的 i ，若 PX = xi 0，則 稱為在 X = xi 條件下隨機(jī)變量 Y 的條件分布律,例1 設(shè)二維離散型隨機(jī)變量 的分布列為,求: (1) 的條件下 的條件分布列；,(2) 的條件下 的條件分布列.,解 (1) 則,條件分布函數(shù)的概念,定義：函數(shù) 稱為二維隨機(jī)變量(X, Y)在 Y = y 條件下X 的條件分布 函數(shù). 同理，可定義在 X = x 條件 下Y 的條件分布函數(shù),幾何意義： 隨機(jī)點(diǎn)(X,Y) 落在以點(diǎn)(x, y) 為右端點(diǎn)且與 x 軸平行的射 線上的概率,二維連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布,設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量 (X, Y) 的概率密度為 f(x, y)，(X, Y)關(guān)于Y 的邊緣密度函數(shù)為 fY( y) 由于對(duì)任意的實(shí)數(shù) x, y，有PX = x = 0， PY = y = 0，因此不能直接利用條件概率公式引入“條件分布函數(shù)” ,定義 設(shè) 的密度函數(shù)為 對(duì)任意,一個(gè)固定的 當(dāng) 時(shí),稱,為已知 發(fā)生的條件下 的條件(概率)密,度函數(shù).類似地,對(duì)任意一個(gè)固定的,當(dāng) 時(shí),稱,為已知 發(fā)生的條件下 的條件(概率)密,度函數(shù).,易見(jiàn), 與 滿足作為密度函數(shù)的,兩個(gè)條件,例如,與條件密度函數(shù)相應(yīng)的分布函數(shù)為,稱為條件分布函數(shù).,例2 設(shè) 與 的聯(lián)合密度函數(shù)為,其中區(qū)域 為直線 以及 軸所圍的,區(qū)域，試求事件 發(fā)生時(shí) 的條件密度,函數(shù)。,解 首先計(jì)算關(guān)于 的邊緣密度函數(shù).當(dāng),時(shí)，,于是 在已知事件 發(fā)生的條件下,的值域?yàn)閰^(qū)間 且當(dāng) 時(shí)，,從而，所求條件密度函數(shù)為,因此,關(guān)于 的邊緣密度函數(shù)為,5 兩個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的分布,回顧：一維連續(xù)隨機(jī)變量函數(shù)的分布,一般方法：定義法,計(jì) 算 方 法,嚴(yán)格單調(diào)函數(shù),方法一：定義法,方法二：反函數(shù)法,（注：使反函數(shù)無(wú)意義的 ，定義概率密度為0）,二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布,設(shè) (X,Y) 的密度函數(shù)為 f(x, y) ，求 Z = g(X,Y) 的密度函數(shù) 解題思路： 先求出 Z = g(X,Y) 的分布函數(shù) FZ( z )： 再利用密度函數(shù)與分布函數(shù)之間的關(guān)系求出 Z = g(X,Y) 的密度函數(shù) fZ( z ) ：,1、和的分布 Z = X + Y,此時(shí),（交換積分次序）,特別地，當(dāng)X 和Y 相互獨(dú)立時(shí)，,這兩個(gè)公式稱為卷積公式，記作 fX*fY ，即,于是,（利用X, Y 的對(duì)稱性）,例：已知X 和Y 相互獨(dú)立，且 X N(0,1)， Y N(0,1)，試求 Z = X + Y 的概率密度,解：,于是,即有Z N(0,2) ,由已知,結(jié)論： 若X 和Y 相互獨(dú)立，X N(0,1)， Y N(0,1)，則 X + Y N(0,2),進(jìn)一步推廣：若 X1, X2, , Xn 相互獨(dú)立，且 Xi N(mi , si2)， i = 1, 2, , n， 記 ，則,推論： 若X 和Y 相互獨(dú)立，X N(m1, s12)，Y N(m2, s22) ， 則X + Y N(m1 + m2, s12 +s22) ,2.商的分布,設(shè) 的概率密度為 的分布函數(shù),為 概率密度為 則,其中 為由 確定的平面區(qū)域, 為由,確定的平面區(qū)域,如圖所示.令 則有,從而 的概率密度為,特別地， 與 相互獨(dú)立時(shí), 的概率密度為,其中 與 分別為 的邊緣概率密度.,例5 隨機(jī)變量 相互獨(dú)立, 均服從參數(shù),為 的指數(shù)分布,求 的密度函數(shù).,解 由題可得,由 相互獨(dú)立,所以,當(dāng) 時(shí),當(dāng) 時(shí),從而,3.一般情況,對(duì)于更一般的情況,如果 是二維連續(xù)型,隨機(jī)變量,概率密度為 則 的,分布函數(shù)為,其中 為平面區(qū)域 通過(guò)二重積分,求出分布函數(shù) 然后再求導(dǎo)得到 的概率,密度,當(dāng)X