控制系統(tǒng)的根軌跡法分析.ppt

4-4 控制系統(tǒng)的根軌跡法分析,一、控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,穩(wěn)定的系統(tǒng)，其閉環(huán)特征根必須全部位于s平面左半側(cè)，而且在s平面左半側(cè)距虛軸距離越遠(yuǎn)，其相對穩(wěn)定性越好。 根軌跡正好直觀地反映了系統(tǒng)閉環(huán)特征根在s平面上隨參數(shù)變化的情況，因此，由根軌跡很容易了解參數(shù)變化對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)變化范圍。,例:設(shè)某負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為,試?yán)L制根軌跡圖，并討論使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的K*取值范圍。,解：利用根軌跡的繪制法則(過程從略)可繪出K*從0變化到 時(shí)系統(tǒng)的根軌跡如圖所示。 由圖可見，當(dāng)0K*14及64K*195時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，而當(dāng)14K*64及K*195時(shí)，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。,把參數(shù)在一定范圍內(nèi)取值才能穩(wěn)定的系統(tǒng)叫條件穩(wěn)定系統(tǒng)。如前面所舉的例子中的系統(tǒng)就是條件穩(wěn)定系統(tǒng)。對于條件穩(wěn)定系統(tǒng)，可由根軌跡圖確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)取值范圍。 條件穩(wěn)定系統(tǒng)的工作性能不十分可靠，實(shí)際工作中，應(yīng)盡量通過參數(shù)的選擇或適當(dāng)?shù)男Ｕ椒ㄏ龡l件穩(wěn)定的問題。,二、控制系統(tǒng)的暫態(tài)性能分析,利用根軌跡法可清楚地看到開環(huán)根軌跡增益或其它開環(huán)系統(tǒng)參數(shù)改變時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)位置及其暫態(tài)性能的變化情況。,例：典型二階系統(tǒng)開環(huán)傳函為,當(dāng)變化時(shí)，作出系統(tǒng)的根軌跡如圖所示。,閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)為,圖中阻尼角與阻尼比的關(guān)系為,根據(jù)根軌跡我們可以確定系統(tǒng)工作在根軌跡上任一點(diǎn)時(shí)所對應(yīng)的，n 值，再根據(jù)暫態(tài)指標(biāo)的計(jì)算公式,可得到系統(tǒng)工作在該點(diǎn)的暫態(tài)性能。反過來，我們也可以根據(jù)系統(tǒng)暫態(tài)指標(biāo)的要求，確定系統(tǒng)特征根的位置。,方法：,（1）根據(jù)超調(diào)量的要求先求出阻尼角，再從原點(diǎn)以阻尼角引二條射線。 （2）根據(jù)調(diào)節(jié)時(shí)間的要求，計(jì)算出n 在s平面上畫出s的直線。由此確定滿足系統(tǒng)暫態(tài)性能指標(biāo)的區(qū)域。,若在該區(qū)域內(nèi)沒有合適的根軌跡，則應(yīng)在系統(tǒng)中加入極點(diǎn)、零點(diǎn)合適的校正裝置以改變根軌跡的形狀，使根軌跡進(jìn)入該區(qū)域。然后確定滿足要求的閉環(huán)極點(diǎn)位置及相應(yīng)的開環(huán)系統(tǒng)參數(shù)值。,例：單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為,若要求閉環(huán)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的最大超調(diào)量%18%，試確定系統(tǒng)的開環(huán)增益。,解：繪出 K由零變化到時(shí)系統(tǒng)的根軌跡如圖所示。當(dāng)K17時(shí)，根軌跡在實(shí)軸上有分離點(diǎn)。當(dāng)K240時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)是不穩(wěn)定的。根據(jù)%18 %的要求，求得阻尼角應(yīng)為60，在根軌跡圖上作60 的射線，并以此直線和根軌跡的交點(diǎn)A ，B作為滿足性能指標(biāo)要求的閉環(huán)系統(tǒng)主導(dǎo)極點(diǎn)，即閉環(huán)系統(tǒng)主導(dǎo)極點(diǎn)為,由根軌跡方程的幅值條件，可求得相應(yīng)于 A，B 點(diǎn)的 K*值為,再計(jì)算出系統(tǒng)的開環(huán)增益為,根據(jù)閉環(huán)極點(diǎn)之和等于常數(shù)的性質(zhì)，可求得系統(tǒng)另一閉環(huán)實(shí)極點(diǎn)為,它將不會(huì)使系統(tǒng)超調(diào)量增大，故取K 1.85可滿足要求。,三、 開環(huán)零點(diǎn)對系統(tǒng)根軌跡的影響,增加開環(huán)零點(diǎn)將引起系統(tǒng)根軌跡形狀的變化，因而影響了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性及其瞬態(tài)響應(yīng)性能，下面以三階系統(tǒng)為例來說明。 設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 如果在系統(tǒng)中增加一個(gè)開環(huán)零點(diǎn)，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)變?yōu)?下面來研究開環(huán)零點(diǎn)在下列三種情況下系統(tǒng)的根軌跡。,1. ，設(shè) ，則相應(yīng)系統(tǒng)的根軌跡如圖b)所示。由于增加一個(gè)開環(huán)零點(diǎn)，根軌跡相應(yīng)發(fā)生變化。 從根軌跡形狀變化看，系統(tǒng)性能的改善不顯著，當(dāng)系統(tǒng)增益超過臨界值時(shí)，系統(tǒng)仍將變得不穩(wěn)定，但臨界開環(huán)放大系數(shù)和臨界頻率都有所提高。,2. ，設(shè) ，相應(yīng)的根軌跡如圖c）所示,此時(shí)系統(tǒng)的開環(huán)增益取任何值時(shí)系統(tǒng)都將穩(wěn)定。閉環(huán)系統(tǒng)有三個(gè)極點(diǎn)，如設(shè)計(jì)得合適，系統(tǒng)將有兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)和一個(gè)實(shí)數(shù)極點(diǎn)，并且共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)距虛軸較近，即為共軛復(fù)數(shù)主導(dǎo)極點(diǎn)。在這種情況下，系統(tǒng)可近似看成一個(gè)二階欠阻尼比系統(tǒng)來進(jìn)行分析。 3. ，設(shè) ，相應(yīng)系統(tǒng)根軌跡如圖 d）所示。 在此情況下，閉環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)距離軸較遠(yuǎn)，而實(shí)數(shù)極點(diǎn) 卻距離軸較近，這說明系統(tǒng)將有較低的瞬態(tài)響應(yīng)速度。,從以上三種情況來看，一般第二種情況比較理想，這時(shí)系統(tǒng)具有一對共軛復(fù)數(shù)主導(dǎo)極點(diǎn)，其瞬態(tài)響應(yīng)性能指標(biāo)也比較滿意。 可見，增加開環(huán)零點(diǎn)將使系統(tǒng)的根軌跡向左彎曲，并在趨向于附加零點(diǎn)的方向發(fā)生變形。如果設(shè)計(jì)得當(dāng)，控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和瞬態(tài)響應(yīng)性能指標(biāo)均可得到顯著改善。在隨動(dòng)系統(tǒng)中串聯(lián)超前網(wǎng)絡(luò)校正，在過程控制系統(tǒng)中引入比例微分調(diào)節(jié)，即屬于此種情況。,四、開環(huán)極點(diǎn)對系統(tǒng)根軌跡的影響,設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) 其對應(yīng)的系統(tǒng)根軌跡如圖 a）所示。 若系統(tǒng)增加開環(huán)極點(diǎn)，開環(huán)傳遞函數(shù)變?yōu)?其相應(yīng)的根軌跡如圖 b）所示。,五、控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能分析,系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差大小與系統(tǒng)的開環(huán)增益成反比，開環(huán)增益與根軌跡增益之間又有確定的比例關(guān)系，即,在根軌跡上確定滿足暫態(tài)性能的閉環(huán)極點(diǎn)后，可由根軌跡的幅度條件計(jì)算出 K* 值，然后由上式求得開環(huán)增益K*。若該 K*值不滿足系統(tǒng)提出的穩(wěn)態(tài)性能要求時(shí)，可采用增加開環(huán)系統(tǒng)的極、零點(diǎn)的方法來解決。,如下圖所示，設(shè)在開環(huán)系統(tǒng)中增加一對極點(diǎn)比零點(diǎn)更接近原點(diǎn)的實(shí)數(shù)極、零點(diǎn)pc和zc(稱為偶極子)，這一對實(shí)數(shù)極、零點(diǎn)對離原點(diǎn)較遠(yuǎn)的A，B點(diǎn)附近根軌跡形狀及A，B點(diǎn)的K*值影響很小，但卻使開環(huán)增益增加D倍，D zc /pc ，從而使系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能得到提高。,小 結(jié),根軌跡是以開環(huán)傳遞函數(shù)中的某個(gè)參數(shù)（一般是根軌跡增益）為參變量而畫出的閉環(huán)特征方程式的根軌跡圖。根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)零.極點(diǎn)在s平面上的分布，按照表所列出的規(guī)則，就能方便的畫出根軌跡的大致形狀。 根軌跡圖不僅使我們能直觀的看到參數(shù)的變化對系統(tǒng)性能的影響，而且還可以用它求出指定參變量或指定阻尼比相對應(yīng)的閉環(huán)極點(diǎn)。根據(jù)確定的閉環(huán)極點(diǎn)和已知的閉環(huán)零點(diǎn)，就能計(jì)算出 系統(tǒng)的輸出響應(yīng)及其性能指標(biāo)，從而避免了求解高階微分方程的麻煩。,例:已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 ,（1）畫出系統(tǒng)的根軌跡； （2）計(jì)算當(dāng)增益k為何值時(shí)，系統(tǒng)的阻尼比= ，并求此時(shí)系統(tǒng)的特征根；,（3）分析k對系統(tǒng)性能的影響，并求系統(tǒng)最小阻尼比所對應(yīng)的閉環(huán)極點(diǎn)。,解：（1）畫根軌跡 畫根軌跡其它問題略。 根軌跡的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)為：根據(jù)公式,N(s) D(s) N(s)D(s) 0,可得,解得,因此，分離點(diǎn)為-2.93，會(huì)合點(diǎn)為-17.07。 分離角和會(huì)合角分別 為 ，,根軌跡為圓，如下圖所示。,習(xí)題,（2）當(dāng),時(shí)，阻尼角,，表示,角的直線,代入特征方程整理后得,為OB，其方程為 ，,令實(shí)部和虛部分別為零，有,解得,由圖可知，當(dāng)k=5時(shí)直線OB與圓相切，系統(tǒng)的阻尼比 ，,特征根為,。,（3）對于分離點(diǎn)-2.93，由幅值條件可知,對于會(huì)合點(diǎn)-17.07，有,由根軌跡圖可知，當(dāng),的負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)，其瞬態(tài)響應(yīng)呈過阻尼狀態(tài)。當(dāng),時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)有一對共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，其瞬態(tài)響應(yīng)呈欠阻尼狀態(tài)。,時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)又有一對不等的負(fù),時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)有一對不等,當(dāng),瞬態(tài)響應(yīng)又呈過阻尼狀態(tài)。,實(shí)數(shù)極點(diǎn)，,由坐標(biāo)原點(diǎn)作根軌跡圓的切線，此切線就是直線OB，直線 OB與負(fù)實(shí)軸夾角的余弦就是系統(tǒng)的最小阻尼比，由（1）可知，此時(shí)系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)為 。,。,1：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，繪制系統(tǒng)的根軌跡。,（P102413）,解：,（1）起點(diǎn)：有三個(gè)開環(huán)極點(diǎn)，所以起點(diǎn)為 （2）終點(diǎn)：因沒有有限零點(diǎn)，所以三條根軌跡都將趨于無窮遠(yuǎn)。 （3）實(shí)軸上的根軌跡：根軌跡存在的區(qū)間為（，0。 （4）實(shí)軸上無分離點(diǎn)與會(huì)合點(diǎn)。 （5）根軌跡的漸近線。 漸近線的傾角：根據(jù)漸近線計(jì)算公式得,漸近線的交點(diǎn)：根據(jù)公式計(jì)算得,習(xí)題與作業(yè),根據(jù)以上分析計(jì)算結(jié)果，可繪制出系統(tǒng)的根軌跡如下圖所示。,（6）根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。 閉環(huán)系統(tǒng)特征方程,把s=j代入上式并分別令實(shí)部和虛部為零得,解得,系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為,解：,系統(tǒng)特征方程為 ，,利用根軌跡繪制法則，可以繪出當(dāng)從零變化到無窮大時(shí)等效系統(tǒng)的根軌跡。,也可寫成,（1）起點(diǎn)： s1 -1+j3，s2 -1-j3。