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第七章 常微分方程,本章學(xué)習(xí)要求：,了解微分方程、解、通解、初始條件和特解的概念. 了解下列幾種一階微分方程：變量可分離的方程、齊次方 程、一階線性方程、伯努利（Bernoulli）方程和全微分 方程.熟練掌握分離變量法和一階線性方程的解法. 會(huì)利用變量代換的方法求解齊次方程和伯努利方程. 知道下列高階方程的降階法：,了解高階線性微分方程階的結(jié)構(gòu)，并知道高階常系數(shù)齊線 性微分方程的解法. 熟練掌握二階常系數(shù)齊線性微分方程的解法. 掌握自由項(xiàng)（右端）為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余 弦函數(shù)以及它們的和或乘積的二階常系數(shù)非齊線性微分方 程的解法.,第三節(jié) 幾種可降階的高階常微分方程,二階和二階以上的微分方程，稱為高階微分方程。,通過(guò)變量代換將高階方程轉(zhuǎn)化為較低階的微分方程進(jìn)行求解的方法，稱為“降階法”。,“降階法”是解高階方程常用的方法之一。,這是變量可分離的方程，兩邊積分，得,即,解,解,這是一個(gè)一階微分方程。設(shè)其通解為,連續(xù)積分即可求解。,解,兩邊積分，得,即,再積分，得原方程的通解,解,分離變量，得,積分，得,連續(xù)積分 4 次，得原方程的通解為,于是，原方程化為,這是一個(gè)一階微分方程。設(shè)其通解為,這是一個(gè)變量分離方程，它的通解就是原方程的通解。,解,于是，原方程化為,兩邊積分，得,運(yùn)用分離變量法，得此方程的通解為,綜上所述，原方程的通解為,解,即,從而,即,運(yùn)用分離變量法求解此方程，即得原方程的通解：,形如,的方程稱為克萊羅方程，其中函數(shù) f 為可微函數(shù)。,可以直接寫出該方程的通解：,并且由下列方程組可求得該方程的奇解：,證,將克萊羅方程兩邊關(guān)于 x 求導(dǎo)，得,( 通解 ),解,原方程即,由題意,這是一個(gè)克萊羅方

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