高等代數(shù)課件(北大版)第五章二次型§.ppt

2019/7/18,數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,第五章 二次型,5.1 二次型的矩陣表示,5.2 標(biāo)準(zhǔn)形,5.3 唯一性,5.4 正定二次型,章小結(jié)與習(xí)題,2019/7/185. 4 正定二次型,數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,一、正定二次型,二、正定矩陣,三、n元實(shí)二次型的分類,5.4 正定二次型,四、小結(jié),2019/7/185. 4 正定二次型,數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,、正定二次型,則稱f 為正定二次型.,2019/7/185. 4 正定二次型,數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,2、正定性的判定,1）實(shí)二次型 正定,2）設(shè)實(shí)二次型,f 正定,證：充分性顯然. 下證必要性，若 f 正定，取,則,2019/7/185. 4 正定二次型,數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,經(jīng)過(guò)非退化線性替換 XCY 化成,則，,3）非退化線性替換不改變二次型的正定性.,任取一組不全為零的數(shù) 令,證明：設(shè)正定二次型,2019/7/185. 4 正定二次型,數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,所以，非退化線性替換不改變二次型的正定性.,同理，若 正定，則 正定.,2019/7/185. 4 正定二次型,數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,秩 n （ 的正慣性指數(shù)）.,變成標(biāo)準(zhǔn)形,由2), 正定,即， 的正慣性指數(shù)pn秩 .,數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,規(guī)范形為,5）正定二次型 的標(biāo)準(zhǔn)形為,2019/7/185. 4 正定二次型,數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,二、正定矩陣,1、定義 設(shè)A為實(shí)對(duì)稱矩陣，若二次型,正定二次型的規(guī)范形為,是正定的，則稱A為正定矩陣.,2、正定矩陣的判定,2) 實(shí)對(duì)稱矩陣A正定,1）實(shí)對(duì)稱矩陣A正定 A與單位矩陣E合同.,A與E合同,即存在可逆矩陣C，使,可見，正定矩陣是可逆矩陣.,存在可逆矩陣C，使,2019/7/185. 4 正定二次型,數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,3）實(shí)對(duì)稱矩陣A正定 A與任一正對(duì)角矩陣合同.,即，D與E合同.,為任一正對(duì)角矩陣，則,若,2019/7/185. 4 正定二次型,數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,例1、設(shè) A 為 n 階正定矩陣，證明,（5）若 B 亦是正定矩陣，則 AB 也是正定矩陣；,（2） 是正定矩陣；,（1） 是正定矩陣；,（3） 是正定矩陣；,（4） 是正定矩陣（m為任意整數(shù)）；,2019/7/185. 4 正定二次型,數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,證：,（1）由于 A 正定，則存在可逆矩陣 P，使,于是有，,故， 正定.,（2）由于A 正定，對(duì) 都有,因此有,令,故， 正定.,即， 與單位矩陣E合同.,則Q可逆，且,2019/7/185. 4 正定二次型,數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,，由（1）（2）即得 正定.,當(dāng) m2k 時(shí)，,即， 與單位矩陣E合同，所以 正定.,（4）由于 A 正定，知 為 n 階可逆對(duì)稱矩陣 ，,2019/7/185. 4 正定二次型,數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,（5）由于A、B正定，對(duì) 都有,因此有,故，AB 正定.,當(dāng) m2k1 時(shí)，,即， 與正定矩陣A合同，而 A與單位矩陣E合同，,所以 與E合同，即 正定.,2019/7/185. 4 正定二次型,數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,3、正定矩陣的必要條件,1）實(shí)對(duì)稱矩陣 正定,取,正定.,證：若A正定 ，則二次型,則,2019/7/185. 4 正定二次型,數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,反之不然. 即， 為對(duì)稱矩陣，且,但A未必正定. 如,所以A不是正定的.,注意,當(dāng) 時(shí)，有,2019/7/185. 4 正定二次型,數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,2) 實(shí)對(duì)稱矩陣A正定,但 不是正定二次型.,如,注意,證：若A正定，則存在可逆矩陣C ，使,從而,反之不然. 即實(shí)對(duì)稱矩陣A，且 A未必正定.,2019/7/185. 4 正定二次型,數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,4、順序主子式、主子式 、,稱為A為第k階順序主子矩陣;,設(shè)矩陣,稱為A的第k階順序主子式.,2019/7/185. 4 正定二次型,數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,3） k 級(jí)行列式,稱為A的一個(gè)k 階主子式.,即行指標(biāo)與列指標(biāo)相同的k階子式,2019/7/185. 4 正定二次型,數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,5、（定理6）,A的順序主子式 Pk 全大于零.,證:必要性.設(shè) 正定，對(duì)每一個(gè)k,令,2019/7/185. 4 正定二次型,數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,是正定的，從而 正定.,對(duì)任意一不全為零的數(shù) 有,充分性： 對(duì)n作數(shù)學(xué)歸納法.,n1時(shí)， 正定. 結(jié)論成立.,假設(shè)對(duì)于n1元二次型結(jié)論成立，下證n元的情形.,2019/7/185. 4 正定二次型,數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,又A的順序主子式全大于零，所以A1的順序主子式,由歸納假設(shè)，A1正定，即存在可逆矩陣G，使,令,則,也全大于零.,設(shè),2019/7/185. 4 正定二次型,數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,則,令,再令,則,2019/7/185. 4 正定二次型,數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,由判定充要條件3). 知A正定，所以 正定.,再令,則有,兩邊取行列式，得,又 0 ，,即 為正對(duì)角矩陣.,2019/7/185. 4 正定二次型,數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,例2、判定下面二次型是否正定.,其順序主子式,正定.,解： 的矩陣,2019/7/185. 4 正定二次型,數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,解： 的矩陣,A的第k階順序主子式Pk,（習(xí)題7）,2019/7/185. 4 正定二次型,數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,正定.,2019/7/185. 4 正定二次型,數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,例3、證明：若實(shí)對(duì)稱矩陣A正定 ，則A的任意一個(gè),k 階主子式,證：作二次型,（習(xí)題9）,2019/7/185. 4 正定二次型,數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,其中，,對(duì)任意一不全為零的數(shù) , 有,從而，,由于 A 正定，有 正定，即有,行列式大于零，即,即， 是正定二次型，因此其矩陣的,2019/7/185. 4 正定二次型,數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,三、n元實(shí)二次型的分類,設(shè)n元二次型, ，則 稱為半正定二次型., ，則 稱為半負(fù)定二次型., 則 稱為負(fù)定二次型.,既不是半正定，也不是半負(fù)定，則 稱為,1定義,不定二次型.,2019/7/185. 4 正定二次型,數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,注：,正定矩陣 負(fù)定矩陣 半正定矩陣 半負(fù)定矩陣 不定矩陣,相應(yīng)于二次型的分類，n 級(jí)實(shí)對(duì)稱矩陣可分類為：,2019/7/185. 4 正定二次型,數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,1）實(shí)二次型 正定,負(fù)定；,實(shí)對(duì)稱矩陣A正定 A負(fù)定.,半負(fù)定；,2）實(shí)二次型 半正定,實(shí)對(duì)稱矩陣A半正定 A半負(fù)定.,2、判定,2019/7/185. 4 正定二次型,數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,3） 定 理 7, 半正定 ；,( 或 A半正定； ), 秩 = 秩(A) = （正慣性指數(shù)）；, A合同于非負(fù)對(duì)角陣，即存在可逆陣C，使,則下列有條件等價(jià)：, 存在 ，使, A的所有主子式皆大于或等于零.（補(bǔ)充題9）,由此可得， A半正定,（習(xí)題14）,設(shè)n元實(shí)二次型,2019/7/185. 4 正定二次型,數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,四、小結(jié),1、正定（負(fù)定、半正定、半負(fù)定、不定）二 次型；,基本概念,2、順序主子式、主子式,正定（負(fù)定、半正定、半負(fù)定、不定）矩陣；,基本結(jié)論,1、非退化線性替換保持實(shí)二次型的正定（負(fù)定、,半正定、半負(fù)定、不定）性不變.,2019/7/185. 4 正定二次型,數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,負(fù)定（半負(fù)定）.,2、實(shí)二次型 正定（半正定）,3、實(shí)二次型 f (x1,x2,xn)XAX 正定,A 與 E 合同，即存在可逆陣C，使ACC .,f 的正慣性指數(shù) p 等于 n,A