高中數(shù)學(xué)第二章平面向量2.3平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示2.3.4平面向量共線的坐標(biāo)表示學(xué)案.docx

23.4平面向量共線的坐標(biāo)表示學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件.2.能根據(jù)平面向量的坐標(biāo)，判斷向量是否共線.3.掌握三點(diǎn)共線的判斷方法知識(shí)點(diǎn)平面向量共線的坐標(biāo)表示已知下列幾組向量：(1)a(0,3)，b(0,6)；(2)a(2,3)，b(4,6)；(3)a(1,4)，b(3，12)；(4)a，b.思考1上面幾組向量中，a，b有什么關(guān)系？答案(1)(2)中b2a，(3)中b3a，(4)中ba.思考2以上幾組向量中，a，b共線嗎？答案共線思考3當(dāng)ab時(shí)，a，b的坐標(biāo)成比例嗎？答案坐標(biāo)不為0時(shí)成比例思考4如果兩個(gè)非零向量共線，你能通過(guò)其坐標(biāo)判斷它們是同向還是反向嗎？答案能將b寫成a形式，0時(shí)，b與a同向，0時(shí)，b與a反向梳理(1)設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0，a，b共線，當(dāng)且僅當(dāng)存在實(shí)數(shù)，使ab.(2)如果用坐標(biāo)表示，可寫為(x1，y1)(x2，y2)，當(dāng)且僅當(dāng)x1y2x2y10時(shí)，向量a，b(b0)共線注意：對(duì)于(2)的形式極易寫錯(cuò)，如寫成x1y1x2y20或x1x2y1y20都是不對(duì)的，因此要理解并熟記這一公式，可簡(jiǎn)記為：縱橫交錯(cuò)積相減1若向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，且ab，則.()提示當(dāng)y1y20時(shí)不成立2若向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，且x1y1x2y20，則ab.()3若向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，且x1y2x2y10，則ab.()類型一向量共線的判定與證明例1(1)下列各組向量中，共線的是()Aa(2,3)，b(4,6)Ba(2,3)，b(3,2)Ca(1，2)，b(7,14)Da(3,2)，b(6，4)考點(diǎn)向量共線的坐標(biāo)表示題點(diǎn)向量共線的判定與證明答案D解析A選項(xiàng)，(2)634240，a與b不平行；B選項(xiàng)，22334950，a與b不平行；C選項(xiàng)，114(2)7280，a與b不平行；D選項(xiàng)，(3)(4)2612120，ab，故選D.(2)在下列向量組中，可以把向量a(3,7)表示出來(lái)的是()Ae1(0,1)，e2(0，2)Be1(1,5)，e2(2，10)Ce1(5,3)，e2(2,1)De1(7,8)，e2(7，8)考點(diǎn)向量共線的坐標(biāo)表示題點(diǎn)向量共線的判定與證明答案C解析平面內(nèi)不共線的兩個(gè)向量可以作基底，用它能表示此平面內(nèi)的任何向量，因?yàn)锳，B，D都是兩個(gè)共線向量，而C不共線，故C可以把向量a(3,7)表示出來(lái)反思與感悟向量共線的判定與證明題目應(yīng)充分利用向量共線定理或向量共線的坐標(biāo)條件進(jìn)行判斷，特別是利用向量共線的坐標(biāo)條件進(jìn)行判斷時(shí)，要注意坐標(biāo)之間的搭配跟蹤訓(xùn)練1下列各組向量中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的是()Ae1(0,0)，e2(1，2)Be1(1,2)，e2(5,7)Ce1(3,5)，e2(6,10)De1(2，3)，e2考點(diǎn)向量共線的坐標(biāo)表示題點(diǎn)向量共線的判定與證明答案B解析A選項(xiàng)，e10，e1e2，不可以作為基底；B選項(xiàng)，1725170，e1與e2不共線，故可以作為基底；C選項(xiàng)，310560，e1e2，故不可以作為基底；D選項(xiàng)，2(3)0，e1e2，不可以作為基底故選B.類型二利用向量共線求參數(shù)例2已知a(1,2)，b(3,2)，當(dāng)k為何值時(shí)，kab與a3b平行？考點(diǎn)向量共線的坐標(biāo)表示的應(yīng)用題點(diǎn)利用向量共線求參數(shù)解方法一kabk(1,2)(3,2)(k3,2k2)，a3b(1,2)3(3,2)(10，4)，kab與a3b平行，(k3)(4)10(2k2)0，解得k.方法二由方法一知kab(k3,2k2)，a3b(10，4)，當(dāng)kab與a3b平行時(shí)，存在唯一實(shí)數(shù)，使kab(a3b)由(k3,2k2)(10，4)得解得k.引申探究1若例2條件不變，判斷當(dāng)kab與a3b平行時(shí)，它們是同向還是反向？解由本例知當(dāng)k時(shí)，kab與a3b平行，這時(shí)kabab(a3b)，0，kab與a3b反向2在本例中已知條件不變，若問(wèn)題改為“當(dāng)k為何值時(shí)，akb與3ab平行？”，又如何求k的值？解akb(1,2)k(3,2)(13k,22k)，3ab3(1,2)(3,2)(6,4)，akb與3ab平行，(13k)4(22k)60，解得k.反思與感悟根據(jù)向量共線條件求參數(shù)問(wèn)題，一般有兩種思路，一是利用向量共線定理ab(b0)，列方程組求解，二是利用向量共線的坐標(biāo)表達(dá)式x1y2x2y10求解跟蹤訓(xùn)練2已知向量a(1，m)，b(m,2)，若ab，則實(shí)數(shù)m等于()AB.C或D0考點(diǎn)向量共線的坐標(biāo)表示的應(yīng)用題點(diǎn)利用向量共線求參數(shù)答案C解析由ab知12m2，即m或m.類型三三點(diǎn)共線問(wèn)題例3已知A(1，3)，B，C(9,1)，求證：A，B，C三點(diǎn)共線考點(diǎn)平面向量共線的坐標(biāo)表示題點(diǎn)三點(diǎn)共線的判定與證明證明，(91,13)(8,4)，7480，且AB，有公共點(diǎn)A，A，B，C三點(diǎn)共線反思與感悟(1)三點(diǎn)共線問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是向量共線問(wèn)題，兩個(gè)向量共線只需滿足方向相同或相反，兩個(gè)向量共線與兩個(gè)向量平行是一致的，利用向量平行證明三點(diǎn)共線需分兩步完成：證明向量平行；證明兩個(gè)向量有公共點(diǎn)(2)若A，B，C三點(diǎn)共線，即由這三個(gè)點(diǎn)組成的任意兩個(gè)向量共線跟蹤訓(xùn)練3已知(k,2)，(1,2k)，(1k，1)，且相異三點(diǎn)A，B，C共線，則實(shí)數(shù)k_.考點(diǎn)向量共線的坐標(biāo)表示的應(yīng)用題點(diǎn)利用三點(diǎn)共線求參數(shù)答案解析(1k,2k2)，(12k，3)，由題意可知，所以(3)(1k)(2k2)(12k)0，解得k(k1不合題意舍去).1已知向量a(2，1)，b(x1,2)，若ab，則實(shí)數(shù)x的值為()A2B2C3D3考點(diǎn)向量共線的坐標(biāo)表示的應(yīng)用題點(diǎn)利用向量共線求參數(shù)答案D解析因?yàn)閍b，所以22(1)(x1)0，得x3.2與a(12,5)平行的單位向量為()A.B.C.或D.考點(diǎn)向量共線的坐標(biāo)表示的應(yīng)用題點(diǎn)已知向量共線求向量的坐標(biāo)答案C解析設(shè)與a平行的單位向量為e(x，y)，則或3若a(，cos)，b(3，sin)，且ab，則銳角_.考點(diǎn)向量共線的坐標(biāo)表示的應(yīng)用題點(diǎn)已知向量共線求參數(shù)答案解析a(，cos)，b(3，sin)，ab，sin3cos0，即tan，又為銳角，故.4已知三點(diǎn)A(1,2)，B(2,4)，C(3，m)共線，則m的值為_考點(diǎn)向量共線的坐標(biāo)表示的應(yīng)用題點(diǎn)利用三點(diǎn)共線求參數(shù)答案6解析(2,4)(1,2)(1,2)(3，m)(1,2)(2，m2)A，B，C三點(diǎn)共線，即向量，共線，1(m2)220，m6.5已知梯形ABCD，其中ABCD，且DC2AB，三個(gè)頂點(diǎn)A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為_考點(diǎn)向量共線的坐標(biāo)表示的應(yīng)用題點(diǎn)已知三點(diǎn)共線求點(diǎn)的坐標(biāo)答案(2,4)解析在梯形ABCD中，ABCD，DC2AB，2.設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，y)，則(4,2)(x，y)(4x,2y)，(2,1)(1,2)(1，1)，(4x,2y)2(1，1)，即(4x,2y)(2，2)，解得故點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,4)1兩個(gè)向量共線條件的表示方法已知a(x1，y1)，b(x2，y2)，(1)當(dāng)b0，ab.(2)x1y2x2y10.(3)當(dāng)x2y20時(shí)，即兩向量的相應(yīng)坐標(biāo)成比例2向量共線的坐標(biāo)表示的應(yīng)用(1)已知兩個(gè)向量的坐標(biāo)判定兩向量共線聯(lián)系平面幾何平行、共線知識(shí)，可以證明三點(diǎn)共線、直線平行等幾何問(wèn)題要注意區(qū)分向量的共線、平行與幾何中的共線、平行(2)已知兩個(gè)向量共線，求點(diǎn)或向量的坐標(biāo)，求參數(shù)的值，求軌跡方程要注意方程思想的應(yīng)用，向量共線的條件，向量相等的條件等都可作為列方程的依據(jù).一、選擇題1(2017青島高一檢測(cè))下列向量中，與向量c(2,3)不共線的一個(gè)向量p等于()A(5,4) B.C.D.考點(diǎn)向量共線的坐標(biāo)表示題點(diǎn)向量共線的判定與證明答案A解析因?yàn)橄蛄縞(2,3)，對(duì)于A,243570，所以A中向量與c不共線2下列各組向量中，能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底的是()Ae1(2,2)，e2(1,1)Be1(1，2)，e2(4，8)Ce1(1,0)，e2(0，1)De1(1，2)，e2考點(diǎn)向量共線的坐標(biāo)表示題點(diǎn)向量共線的判定與證明答案C解析選項(xiàng)C中，e1，e2不共線，可作為一組基底3已知向量a(1,0)，b(0,1)，ckab(kR)，dab，如果cd，那么()Ak1且c與d同向Bk1且c與d反向Ck1且c與d同向Dk1且c與d反向考點(diǎn)向量共線的坐標(biāo)表示的應(yīng)用題點(diǎn)已知向量共線求參數(shù)答案D4已知三點(diǎn)A(1,1)，B(0,2)，C(2,0)，若和是相反向量，則D點(diǎn)坐標(biāo)是()A(1,0) B(1,0)C(1，1) D(1,1)考點(diǎn)向量共線的坐標(biāo)表示的應(yīng)用題點(diǎn)已知向量共線求向量的坐標(biāo)答案C5已知向量a(2,3)，b(1,2)，若(manb)(a2b)，則等于()A2B2CD.考點(diǎn)向量共線的坐標(biāo)表示的應(yīng)用題點(diǎn)已知向量共線求參數(shù)答案C解析由題意得manb(2mn,3m2n)，a2b(4，1)，(manb)(a2b)，(2mn)4(3m2n)0，故選C.6已知向量a(x,3)，b(3，x)，則下列敘述中，正確個(gè)數(shù)是()存在實(shí)數(shù)x，使ab；存在實(shí)數(shù)x，使(ab)a；存在實(shí)數(shù)x，m，使(mab)a；存在實(shí)數(shù)x，m，使(mab)b.A0B1C2D3考點(diǎn)向量共線的坐標(biāo)表示題點(diǎn)向量共線的判定與證明答案B解析只有正確，可令m0，則mabb，無(wú)論x為何值，都有bb.7已知向量(1，3)，(2，1)，(k1，k2)，若A，B，C三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)k應(yīng)滿足的條件是()Ak2BkCk1Dk1考點(diǎn)向量共線的坐標(biāo)表示的應(yīng)用題點(diǎn)利用三點(diǎn)共線求參數(shù)答案C解析因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形，則A，B，C三點(diǎn)共線，則，又(1,2)，(k，k1)，所以2k(k1)0，即k1.二、填空題8已知向量a(m,4)，b(3，2)，且ab，則m_.考點(diǎn)向量共線的坐標(biāo)表示的應(yīng)用題點(diǎn)已知向量共線求參數(shù)答案6解析因?yàn)閍b，所以由(2)m430，解得m6.9(2017廣東陽(yáng)江高一期末)已知(6,1)，(4，k)，(2,1)若A，C，D三點(diǎn)共線，則k_.考點(diǎn)向量共線的坐標(biāo)表示的應(yīng)用題點(diǎn)利用三點(diǎn)共線求參數(shù)答案4解析因?yàn)?6,1)，(4，k)，(2,1)，所以(10，k1)又A，C，D三點(diǎn)共線，所以，所以1012(k1)0，解得k4.10已知點(diǎn)A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，O(0,0)，則AC與OB的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為_考點(diǎn)向量共線的坐標(biāo)表示的應(yīng)用題點(diǎn)已知三點(diǎn)共線求點(diǎn)的坐標(biāo)答案(3,3)解析由O，P，B三點(diǎn)共線，可設(shè)(4，4)，則(44,4)又(2,6)，由與共線，得(44)64(2)0，解得，所以(3,3)，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,3)11設(shè)(2，1)，(3,0)，(m,3)，若A，B，C三點(diǎn)能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_考點(diǎn)向量共線的坐標(biāo)表示的應(yīng)用題點(diǎn)利用三點(diǎn)共線求參數(shù)答案m|mR且m6解析A，B，C三點(diǎn)能構(gòu)成三角形，不共線又(1,1)，(m2,4)，141(m2)0.解得m6.m的取值范圍是m|mR且m6三、解答題12已知向量a(2,3)，b(1,2)，若ma4b與a2b共線，求m的值考點(diǎn)向量共線的坐標(biāo)表示的應(yīng)用題點(diǎn)已知向量共線求參數(shù)解ma4b(2m,3m)(4,8)(2m4,3m8)，a2b(2,3)(2,4)(4，1)，因?yàn)閙a4b與a2b共線，所以4(3m8)(1)(2m4)0，得m2.13平面上有A(2，1)，B(1,4)，D(4，3)三點(diǎn)，點(diǎn)C在直線AB上，且，連接DC延長(zhǎng)至E，使|，求點(diǎn)E的坐標(biāo)考點(diǎn)向量共線的坐標(biāo)表示的應(yīng)用題點(diǎn)已知向量共線求點(diǎn)的坐標(biāo)解，A為BC的中點(diǎn)，設(shè)C(xC，yC)，則(xC2，yC1)(1，5)，xC3，yC6，C點(diǎn)的坐標(biāo)為(3，6)，又|，且E在DC的延長(zhǎng)線上，設(shè)E(x，y)，則(x3，y6)(4x，3y)，得解得故點(diǎn)E的坐標(biāo)是.四、探究與拓展14已知兩點(diǎn)A(3，4)，B(9,2)在直線AB上，求一點(diǎn)P使|.考點(diǎn)向量共線的坐標(biāo)表示的應(yīng)用題點(diǎn)已知向量共線求點(diǎn)的坐標(biāo)解設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，若點(diǎn)P在線段AB上，