(免費資料)2004年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試福建卷理科數(shù)學試題及答案

2004年普通高等學校招生福建卷理工類數(shù)學試題第卷（選擇題 共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的. 1復數(shù)的值是（ ）A1 B1 C32 D322tan15+cot15的值是（ ）A2 B2+ C4 D3命題p：若a、bR，則|a|+|b|1是|a+b|1的充分而不必要條件； 命題q：函數(shù)y=的定義域是（，13，+.則（ ）A“p或q”為假 B“p且q”為真 Cp真q假 Dp假q真4已知F1、F2是橢圓的兩個焦點，過F1且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點，若ABF2是真正三角形，則這個橢圓的離心率是（ ）A B C D5已知m、n是不重合的直線，、是不重合的平面，有下列命題：若m，n，則mn；若m，m，則；若=n，mn，則m且m；若m，m，則.其中真命題的個數(shù)是（ ）A0 B1 C2 D36某校高二年級共有六個班級，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入4名學生，要安排到該年級的兩個班級且每班安排2名，則不同的安排方案種數(shù)為（ ）A B C D7已知函數(shù)y=log2x的反函數(shù)是y=f1(x)，則函數(shù)y= f1(1x)的圖象是（ ）8已知、是非零向量且滿足(2) ，(2) ，則與的夾角是（ ）A B C D9若(1-2x)9展開式的第3項為288，則的值是（ ）A2 B1 C D10如圖，A、B、C是表面積為48的球面上三點，AB=2，BC=4，ABC=60，O為球心，則直線OA與截面ABC所成的角是（ ）AarcsinBarccosCarcsinDarccos11定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(x+2)，當x3，5時，f(x)=2|x4|，則（ ）Af(sin)f(cos1)Cf(cos)f(sin2)12如圖，B地在A地的正東方向4 km處，C地在B地的北偏東30方向2 km處，河流的沒岸PQ（曲線）上任意一點到A的距離比到B的距離遠2 km.現(xiàn)要在曲線PQ上選一處M建一座碼頭，向B、C兩地轉(zhuǎn)運貨物.經(jīng)測算，從M到B、M到C修建公路的費用分別是a萬元/km、2a萬元/km，那么修建這兩條公路的總費用最低是（ ）A(22)a萬元B5a萬元C(2+1) a萬元D(2+3) a萬元第卷（非選擇題 共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在答題卡的相應位置.13直線x+2y=0被曲線x2+y26x2y15=0所截得的弦長等于 .14設函數(shù) 在x=0處連續(xù)，則實數(shù)a的值為 .15某射手射擊1次，擊中目標的概率是0.9.他連續(xù)射擊4次，且各次射擊是否擊中目標相互之間沒有影響.有下列結(jié)論：他第3次擊中目標的概率是0.9；他恰好擊中目標3次的概率是0.930.1；他至少擊中目標1次的概率是1-0.14.其中正確結(jié)論的序號是 （寫出所有正確結(jié)論的序號）.16如圖1，將邊長為1的正六邊形鐵皮的六個角各切去一個全等的四邊形，再沿虛線折起，做成一個無蓋的正六棱柱容器.當這個正六棱柱容器的底面邊長為 時，其容積最大.三、解答題：本大題共6小題，共74分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17（本小題滿分12分）設函數(shù)f(x)=，其中向量=(2cosx，1)，=(cosx， sin2x)，xR.（）若f(x)=1且x，求x；（）若函數(shù)y=2sin2x的圖象按向量=(m，n)(|m|)平移后得到函數(shù)y=f(x)的圖象，求實數(shù)m、n的值.18（本小題滿分12分）甲、乙兩人參加一次英語口語考試，已知在備選的10道試題中，甲能答對其中的6題，乙能答對其中的8題.規(guī)定每次考試都從備選題中隨機抽出3題進行測試，至少答對2題才算合格.（）求甲答對試題數(shù)的概率分布及數(shù)學期望；（）求甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率.19（本小題滿分12分）在三棱錐SABC中，ABC是邊長為4的正三角形，平面SAC平面ABC，SA=SC=2，M、N分別為AB、SB的中點.（）證明：ACSB；（）求二面角NCMB的大小；（）求點B到平面CMN的距離.20（本小題滿分12分）某企業(yè)2003年的純利潤為500萬元，因設備老化等原因，企業(yè)的生產(chǎn)能力將逐年下降.若不能進行技術(shù)改造，預測從今年起每年比上一年純利潤減少20萬元，今年初該企業(yè)一次性投入資金600萬元進行技術(shù)改造，預測在未扣除技術(shù)改造資金的情況下，第n年（今年為第一年）的利潤為500(1+)萬元（n為正整數(shù)）.（）設從今年起的前n年，若該企業(yè)不進行技術(shù)改造的累計純利潤為An萬元，進行技術(shù)改造后的累計純利潤為Bn萬元（須扣除技術(shù)改造資金），求An、Bn的表達式；（）依上述預測，從今年起該企業(yè)至少經(jīng)過多少年，進行技術(shù)改造后的累計純利潤超過不進行技術(shù)改造的累計純利潤？21（本小題滿分14分） 已知f(x)=(xR)在區(qū)間1，1上是增函數(shù).（）求實數(shù)a的值組成的集合A；（）設關(guān)于x的方程f(x)=的兩個非零實根為x1、x2.試問：是否存在實數(shù)m，使得不等式m2+tm+1|x1x2|對任意aA及t1，1恒成立？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請說明理由.22（本小題滿分12分）如圖，P是拋物線C：y=x2上一點，直線l過點P且與拋物線C交于另一點Q.（）若直線l與過點P的切線垂直，求線段PQ中點M的軌跡方程；（）若直線l不過原點且與x軸交于點S，與y軸交于點T，試求的取值范圍.2004年普通高等學校招生福建卷理工類數(shù)學試題參考答案一、1.A 2.C 3.D 4.A 5.B 6.C 7.C 8.B 9.A 10.D 11.D 12.B二、134 14.1/2 15.1，3 16.2/3 三、17. 本小題主要考查平面向量的概念和計算，三角函數(shù)的恒等變換及其圖象變換的基本技能，考查運算能力.滿分12分.解：（）依題設，f(x)=2cos2x+sin2x=1+2sin(2x+).由1+2sin(2x+)=1，得sin(2 x +)=.-x，-2x+，2x+=-，即x=-.（）函數(shù)y=2sin2x的圖象按向量c=(m，n)平移后得到函數(shù)y=2sin2(xm)+n的圖象，即函數(shù)y=f(x)的圖象.由（）得 f(x)=2sin2(x+)+1.|m|，m=-，n=1.18.本小題主要考查概率統(tǒng)計的基礎(chǔ)知識，運用數(shù)學知識解決問題的能力.滿分12分.解：（）依題意，甲答對試題數(shù)的概率分布如下：0123P甲答對試題數(shù)的數(shù)學期望E=0+1+2+3=.（）設甲、乙兩人考試合格的事件分別為A、B，則P(A)=，P(B)=.因為事件A、B相互獨立，方法一：甲、乙兩人考試均不合格的概率為P()=P()P()=1)(1)=.甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為P=1P()=1=.答：甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為.方法二：甲、乙兩人至少有一個考試合格的概率為P=P(A)+P(B)+P(AB)=P(A)P()+P()P(B)+P(A)P(B)=+=.答：甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為.19.本小題主要考查直線與直線，直線與平面，二面角，點到平面的距離等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力和邏輯推理能力.滿分12分.解法一：（）取AC中點D，連結(jié)SD、DB.SA=SC，AB=BC，ACSD且ACBD，AC平面SDB，又SB平面SDB，ACSB.（）AC平面SDB，AC平面ABC，平面SDB平面ABC.過N作NEBD于E，NE平面ABC，過E作EFCM于F，連結(jié)NF，則NFCM.NFE為二面角NCMB的平面角.平面SAC平面ABC，SDAC，SD平面ABC. 又NE平面ABC，NESD.SN=NB，NE=SD=，且ED=EB.在正ABC中，由平幾知識可求得EF=MB=，在RtNEF中，tanNFE=2，二面角NCMB的大小是arctan2.（）在RtNEF中，NF=，SCMN=CMNF=，SCMB=BMCM=2.設點B到平面CMN的距離為h，VB-CMN=VN-CMB，NE平面CMB，SCMNh=SCMBNE，h=.即點B到平面CMN的距離為.解法二：（）取AC中點O，連結(jié)OS、OB.SA=SC，AB=BC，ACSO且ACBO.平面SAC平面ABC，平面SAC平面 ABC=ACSO面ABC，SOBO.如圖所示建立空間直角坐標系Oxyz.則A（2，0，0），B（0，2，0），C（2，0，0），S（0，0，2），M(1，0)，N(0，).=（4，0，0），=（0，2，2），=（4，0，0）（0，2，2）=0，ACSB.（）由（）得=（3，0），=（1，0，）.設n=（x，y，z）為平面CMN的一個法向量， n=3x+y=0，則 取z=1，則x=，y=-，n=x+z=0，n=(，1)，又=(0，0，2)為平面ABC的一個法向量， cos(n，)=.二面角NCMB的大小為arccos.（）由（）（）得=（1，0），n=（，1）為平面CMN的一個法向量，點B到平面CMN的距離d=.20.本小題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式、數(shù)列求和、不等式的等基礎(chǔ)知識，考查運用數(shù)學知識解決實際問題的能力.滿分12分.解：（）依題設，An=(50020)+(50040)+(50020n)=490n10n2；Bn=500(1+)+(1+)+(1+)600=500n100.（）BnAn=(500n100) (490n10n2)=10n2+10n100=10n(n+1) 10.因為函數(shù)y=x(x+1) 10在（0，+）上為增函數(shù)，當1n3時，n(n+1) 1012100.僅當n4時，BnAn.答：至少經(jīng)過4年，該企業(yè)進行技術(shù)改造后的累計純利潤超過不進行技術(shù)改造的累計純利潤.21.本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，導數(shù)的應用和不等式等有關(guān)知識，考查數(shù)形結(jié)合及分類討論思想和靈活運用數(shù)學知識分析問題和解決問題的能力.滿分14分.解：（）f(x)= ，f(x)在1，1上是增函數(shù)，f(x)0對x1，1恒成立，即x2ax20對x1，1恒成立. 設(x)=x2ax2，方法一： 1a1，對x1，1，f(x)是連續(xù)函數(shù)，且只有當a=1時，f(-1)=0以及當a=1時，f(1)=0A=a|1a1. 方法二：或 0a1 或 1a0 1a1.對x1，1，f(x)是連續(xù)函數(shù)，且只有當a=1時，f(1)=0以及當a=-1時，f(1)=0A=a|1a1.（）由=，得x2ax2=0， =a2+80x1，x2是方程x2ax2=0的兩非零實根，x1+x2=a，x1x2=2，從而|x1x2|=.1a1，|x1-x2|=3.要使不等式m2+tm+1|x1x2|對任意aA及t1，1恒成立，當且僅當m2+tm+13對任意t1，1恒成立，即m2+tm20對任意t1，1恒成立. 設g(t)=m2+tm2=mt+(m22)，方法一： g(1)=m2m20，g(1)=m2+m20，m2或m2.所以，存在實數(shù)m，使不等式m2+tm+1|x1x2|對任意aA及t1，1恒成立，其取值范圍是m|m2，或m2.方法二：當m=0時，顯然不成立；當m0時， m0，g(1)=m2m20 或 m0，y20.由y=x2， 得y=x.過點P的切線的斜率k切= x1，直線l的斜率kl=-，直線l的方程為yx12= (xx1)，方法一：聯(lián)立消去y，得x2+xx122=0.M是PQ的中點 x0=-，y0=x12(x0x1)消去x1，得y0=x02+1(x00)，PQ中點M的軌跡方程為y=x2+1(x0).方法二：由y1=x12，y2=x22，x0=，得y1y2=x12x22=(x1+x2)(x1x2)=x0(x1x2)，則x0=kl=-，x1=，將上式代入并整理，得y0=x02+1(x00)，PQ中點M的軌跡方程為y=x2+1(x0).（）設直線l:y=kx+b，依題意k0，b0，則T(0，b).分別過P、Q作PPx軸，QQy軸，垂足分別為P、Q，則. 由 y=x2 ， y=kx+b 消去x，得y22(k2+b