2020版高中數(shù)學(xué)第三章數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入3.2.1復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算及其幾何意義練習(xí)新人教A版.docx

3.2.1復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算及其幾何意義課時(shí)過(guò)關(guān)能力提升基礎(chǔ)鞏固1.(6-2i)-(3i+1)等于()A.3-3iB.5-5iC.7+iD.5+5i解析:(6-2i)-(3i+1)=(6-1)+(-2-3)i=5-5i.故選B.答案:B2.若復(fù)數(shù)z滿足z+(3-4i)=1,則z的虛部是()A.-2B.4C.3D.-4解析:z=1-(3-4i)=-2+4i,所以z的虛部是4.答案:B3.在復(fù)平面內(nèi),已知點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2+3i,向量OB對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為-1+2i,則向量BA對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為()A.1+5iB.3+iC.-3-iD.1+i解析:因?yàn)锽A=OA-OB,所以BA對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(2+3i)-(-1+2i)=(2+1)+(3-2)i=3+i.故選B.答案:B4.若z1=2+i,z2=3+ai(aR),且z1+z2所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸上,則a的值為()A.3B.2C.1D.-1解析:z1+z2=2+i+3+ai=(2+3)+(1+a)i=5+(1+a)i.z1+z2所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸上,1+a=0.a=-1.答案:D5.若在復(fù)平面內(nèi)的ABCD中,AC對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)6+8i,BD對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)-4+6i,則DA對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是()A.2+14iB.1+7iC.2-14iD.-1-7i解析:設(shè)AB,AD對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1與z2,則z1+z2=6+8i,z2-z1=-4+6i,得2z2=2+14i,z2=1+7i,故DA對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是-1-7i.答案:D6.已知復(fù)數(shù)z1=3+2i,z2=1-3i,則復(fù)數(shù)z=z1-z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z位于復(fù)平面內(nèi)的第象限.答案:一7.已知z1=1+ai,z2=2a-3i,z3=a2+i(aR),若z1-z2+z3是純虛數(shù),則a=.解析:由已知得z1-z2+z3=(1-2a+a2)+(a+4)i.因?yàn)閦1-z2+z3是純虛數(shù),所以1-2a+a2=0,a+40,解得a=1.答案:18.已知z是復(fù)數(shù),|z|=3,且z+3i是純虛數(shù),則z=.解析:設(shè)z=a+bi(a,bR),則a+bi+3i=a+(b+3)i是純虛數(shù),a=0,b+30.又|z|=3,b=3,z=3i.答案:3i9.若|z-1|=1,試說(shuō)明復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡.分析:解答本題可根據(jù)復(fù)數(shù)的減法和模的幾何意義求解.解:根據(jù)復(fù)數(shù)的減法和模的幾何意義,知|z-1|=1表示復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到點(diǎn)(1,0)的距離為1,所以復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)(1,0)為圓心,以1為半徑的圓.10.已知z1=cos +isin ,z2=cos -isin ,且z1-z2=513+1213i,求cos(+)的值.解:因?yàn)閦1=cos+isin,z2=cos-isin,所以z1-z2=(cos-cos)+(sin+sin)i=513+1213i,所以cos-cos=513,sin+sin=1213.兩式平方相加可得(cos-cos)2+(sin+sin)2=2-2(coscos-sinsin)=2-2cos(+)=5132+12132=1,即2-2cos(+)=1,所以cos(+)=12.能力提升1.已知復(fù)數(shù)z1=12-32i,復(fù)數(shù)z2=cos 60+isin 60,則z1+z2等于()A.1B.-1C.12-32i D.12+32i答案:A2.如圖,在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z1,z2對(duì)應(yīng)的向量分別是OA,OB,則復(fù)數(shù)z1-z2=()A.-1+2iB.-2-2iC.1+2iD.1-2i解析:由題意,知z1=-2-i,z2=i,所以z1-z2=-2-2i,故選B.答案:B3.已知A,B分別是復(fù)數(shù)z1,z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn).若|z1+z2|=|z1-z2|,則AOB一定是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形解析:因?yàn)閨z1+z2|=|z1-z2|,所以由復(fù)數(shù)加減運(yùn)算的幾何意義知,以O(shè)A,OB為鄰邊的平行四邊形是矩形,故AOB是直角三角形.答案:B4.已知zC,|z-2|=1,則|z+2+5i|的最大值和最小值分別是()A.41+1和41-1 B.3和1C.52和34 D.39和3解析:由|z-2|=1知z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以(2,0)為圓心,半徑為1的圓上,而|z+2+5i|=|z-(-2-5i)|表示z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到點(diǎn)(-2,-5)的距離.而圓心(2,0)與(-2,-5)間的距離為41,故所求最大值為41+1,最小值為41-1.答案:A5.已知|z1|=1,|z2|=1,|z1+z2|=3,則|z1-z2|=.解析:在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)以原點(diǎn)O為起點(diǎn)作出z1,z2對(duì)應(yīng)的向量OZ1,OZ2,則向量OZ對(duì)應(yīng)z1+z2,Z2Z1對(duì)應(yīng)z1-z2.由題意知|OZ1|=1,|OZ2|=1,|OZ|=3,可得OZ1Z=120,所以Z2OZ1=60,即Z2OZ1是等邊三角形.所以在Z2OZ1中,|Z2Z1|=1,即|z1-z2|=1.答案:16.若復(fù)數(shù)z滿足z-1=cos +isin ,則|z|的最大值為.解析:因?yàn)閦-1=cos+isin,所以z=(1+cos)+isin,故|z|=(1+cos)2+sin2=2+2cos2+2=2,即|z|的最大值為2.答案:27.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在連接1+i和1-i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的線段上移動(dòng),設(shè)復(fù)數(shù)z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心,半徑為1的圓周上移動(dòng),求復(fù)數(shù)z1+z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面上移動(dòng)的范圍的面積.解:設(shè)=z1+z2,則z2=-z1,所以|z2|=|-z1|.因?yàn)閨z2|=1,所以|-z1|=1.此式說(shuō)明對(duì)于給定的z1,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以z1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為圓心,1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng).又z1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在連接1+i和1-i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的線段上移動(dòng),所以對(duì)應(yīng)點(diǎn)的移動(dòng)范圍的面積為S=22+12=4+,即復(fù)數(shù)z1+z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面上移動(dòng)的范圍的面積是4+.8.已知復(fù)數(shù)z1=1-2i和z2=4+3i分別對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的A,B兩點(diǎn).求:(1)A,B兩點(diǎn)間的距離;(2)線段AB的垂直平分線方程的復(fù)數(shù)形式,并化為實(shí)數(shù)表示的一般形式.解:(1)|AB|=|z2-z1|=|(4+3i)-(1-2i)|=|3+5i|=34.(2)線段AB的垂直平分線上任一點(diǎn)Z到A,B兩點(diǎn)的距離相等,設(shè)點(diǎn)Z對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z,由復(fù)數(shù)模的幾何意義,知|z-(1-2i)|=|z-(4+3i)|.設(shè)z=x+yi(x,yR),代入上式,知|(x-1)+(y+2)i|=