高考數(shù)學(xué)不等式專題訓(xùn)練.doc.doc

上海高考網(wǎng)更多資源關(guān)注上海高考網(wǎng)（一）不等式1(排序不等式）設(shè),.21naaanbbb.21njjj,.,21是n,.,2,1的一個(gè)排列，則.221121112121nnjnjjnnnbababababababababan2(均值不等式)設(shè)naaa,.,21是n個(gè)正數(shù)，則naaan.21.21nnaaa3（柯西不等式）設(shè)),.2,1(,niRbaii則.)()(211212iniiniiniibaba等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)存在R，使得),.,2,1(niabii.從歷史角度看，柯西不等式又可稱柯西-布理可夫斯基-席瓦茲不等式變形：（1）設(shè)RbRaii,則.)()(11212niiniiniiibaba（2）設(shè)iiba,同號(hào)，且,0,iiba則.)()(1121niiiniiniiibaaba4（Jensen不等式）若)(xf是),(ba上的凸函數(shù)，則對(duì)任意),(,.,21baxxxn).(.)()(1).(2121nnxfxfxfnnxxxf5（冪均值不等式）設(shè))(0Rai則.).().(121121MnaaanaaaMnn證：作變換令iixa，則1iixa則.).().(12121nxxxxxxnMMnn因0所以,1則函數(shù)xxf)(是),0(上的凸函數(shù)，應(yīng)用Jensen不等式即得。6（切比雪夫不等式）設(shè)兩個(gè)實(shí)數(shù)組naaa.21，nbbb.21則上海高考網(wǎng)更多資源關(guān)注上海高考網(wǎng)).(1).(12211111121nnniiniinnnbababannbnabababan（該不等式的證明只用排序不等式及niiniiba11的表達(dá)式就可得證）7（一個(gè)基礎(chǔ)不等式）yxyx)1(1其中1,0,0,yx證：若yx,中有一個(gè)為零，則結(jié)論成立。設(shè)yx,均不為零，則原不等式等價(jià)于不等式).1()()(yxyx令,tyx則上式).1(tt記,)1()(tttf則1)(ttf當(dāng)；0)(,1tft0)(,10tft且,0)1(f所以函數(shù))(tf在1t取得最小值0，從而可得證結(jié)論。8（Holder不等式）設(shè)).,.2,1(0,nkbakk1,qp且111qp，則qnkqkpnkpkknkkbaba11111)()(（等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)qkpktba）證：在不等式7中令qkpkByAxp,1則有.11qkpkkkBqApBA所以nkqknkpkknkkBqApBA11111令nkqqkkknkppkkkbbBaaA1111)(,)(則得證Holder不等式。*9.與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的一個(gè)不等式xxxx)1ln(1，.0x（該不等式的證明利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)得出函數(shù)的單調(diào)性）*10三角函數(shù)有關(guān)的不等式xxxtansin)2,0(x*11。舒爾（Schur）不等式設(shè)Rzyx,，則0)()()(yzxzzzyxyyzxyxx證明：首先考慮設(shè)Rzyx,，則0)()()(yzxzzzyxyyzxyxxrrr由于對(duì)稱性可設(shè)0zyx上海高考網(wǎng)更多資源關(guān)注上海高考網(wǎng)（1）當(dāng)0r時(shí)左邊0)()()(21)()()(222222xzzyyxzxyzxyzyxyzxzzyxyzxyx所以結(jié)論成立；（2）當(dāng)0r時(shí)0zy，0zx，0rryx左邊0)()()()()()()()(2yxyzyyxyzxyxyzyyxyzxyxxzxzyzzyyxyzxyxxrrrrrrrr結(jié)論得證；（3）當(dāng)0r時(shí)0yx，0zx，0rryz左邊0)()()()()()()()(2zyyzyzxyzyyxyzxzyzzyyxyzxzyzzyyxyzxyxxrrrrrrrr結(jié)論得證。當(dāng)1r時(shí)有0)()()(yzxzzzyxyyzxyxx*12。閔可夫斯基（Minkowski）不等式如果nxxx,.,21與nyyy,.,21都是非負(fù)實(shí)數(shù)1p，那么pnipipnipippiniiyxyx111111)()()(證明：11)()()(piiipiiipiiyxyyxxyx應(yīng)用Holder不等式得ppiippipiiiyxxyxx1111)()()(，ppiippipiiiyxyyxy1111)()()(。從而得證。例1設(shè)Rcba,且,1abc求證.333222cbacba證：（1）由柯西不等式,)()(2222333cbacbacba而322222222223)()()(111()(3abccbacbacbacba由條件即得cbacba222所以結(jié)論成立。（2）由冪均值不等式（32,1）.)33()()3()3(3)3(32222132222222122222223222333cbacbacbacbacbacbacba（3）由切比雪夫不等式，不妨設(shè)cba，則.3)(222222333cbacbacbacba上海高考網(wǎng)更多資源關(guān)注上海高考網(wǎng)例2設(shè),1).,.,2,1(,01niiixnix求證.1111nxxxniiniii證：左邊=niiniixx11111（由柯西不等式的變形.111121niiniixnx）又212112)1()1()(1(niiininixx即)1(11nnxnii所以.1)1()1(111211nnnnnnnxxniinii又niiniixxn1212221)1.11)(結(jié)合上述兩式得證結(jié)論。例3：已知cba,為滿足1cba的正數(shù)，求證：.427111abccabbca證明：由柯西不等式的變形知.19)111(1112abcabcabcabccbaabccabbca而31)(312cbaabcabc所以原不等式成立。4cba,是正實(shí)數(shù)，求證：.8)(2)2()(2)2()(2)2(222222222bacbacacbacbcbacbaI證明：顯然222222222)(2)(4(2)(2)()(44)(2)2(cbacbcbacbacbcbaacbacba同理22222)(2)(4(2)(2)2(acbacacbacbacb，22222)(2)(4(2)(2)2(bacbabacbacbac所以可得222222)(2)(4()(2)(4()(2)(4(6bacbabacacbacacbcbacbcbaI若bacacbcba4,4,4（*），則)(323)(22)(22232)(2)(2222cbacbcbacbcba即222)(32)(2cbacba同理222)(32)(2cbaac，上海高考網(wǎng)更多資源關(guān)注上海高考網(wǎng)222)(32)(2cbabac所以831215221)(215296)(2)(5)(336)(2)222666(36)(2)(4(3)(2)(4(3)(2)(4(36)(2)(4()(2)(4()(2)(4(62222222222222222222222cbacbacbacbacbacbacbaacbcabcbababaccbaacacbcbacbcbabacbabacacbacacbcbacbcbaI（因?yàn)?.(3)111)()(2222222222cbacbacba）若上述假設(shè)（*）不成立，不妨設(shè)cba4，則2)(2)(4(2)(2)2(22222cbacbcbacbacba由柯西不等式)111()()(2222222acbbacbb故3)(2)2(222acbacb，同理.3)(2)2(222bacbac所以.8I綜上可知8I，當(dāng)且僅當(dāng)cba時(shí)等號(hào)成立。5若zyx,均大于1，求證.2111111222222yxzxzyzyxJ證明：事實(shí)上2222222222222222)111()1)(1()1)(1()1)(1)(111111(zyxyxzxzyzyxyxzxzyzyx故.23)(2)1()1()1()()()(23)(26662229)1)(1()1)(1()1)(1()3(2222222222222222222222222222222222222222224442222222222zyxxzzyyxzyxxzzyyxzyxxzzyyxzyxxzzyyxzyxxzzyyxzyxxzzyyxzyxyxzxzyzyxzyxJ（當(dāng)且僅當(dāng)1zyx時(shí)等號(hào)成立）6.已知cba,為正實(shí)數(shù)，證明：若4222abccba，則.3cba證：顯然cba,在區(qū)間0，2上，設(shè)cos2a，cos2b)2,0,上海高考網(wǎng)更多資源關(guān)注上海高考網(wǎng)當(dāng)c為正數(shù)時(shí)abccba222為增函數(shù)因此，對(duì)任意的正數(shù)ba,至多有一正數(shù)c滿足4222abccba。下面證明)cos(2)cos(2c滿足4222abccba事實(shí)上.1coscossinsincoscossinsincoscos2coscos2sinsincoscos2sinsincoscoscoscos)cos(coscos2)(coscoscos22222222222222222若2，則0)cos(2是c滿足條件的唯一值。下面證明，若2則不存在滿足條件的c。事實(shí)上，滿足條件的c一定滿足下面方程0)1cos(cos4coscos4222cc此時(shí)上面方程若有解21,cc，則0)1cos(cos40coscos4222121cccc從而21,cc均小于零，所以不存在滿足條件的c。因此cos2,cos2,cos2cba（,是一個(gè)銳角三角形的三個(gè)內(nèi)角）則3)3cos(32)coscos(cos2cba（上式利用xcos是2,0上的凹函數(shù)）所以結(jié)論得證。7.已知正數(shù)naaa,.,21，nbbb,.,21滿足條件：1.2121nnbbbaaa。求nnnbaabaabaa222221121.的最小值。解：先證明一個(gè)不等式tyzxtzyx222)(對(duì)所有的正數(shù)成立（事實(shí)上，上式等價(jià)于,)()(222ytzxtyyztx即0)(2yzxt顯然成立）于是，利用1n次如上不等式，得21).().(.2121221222221121nnnnnnbbbaaaaaabaabaabaa當(dāng)nbbbaaann1.2121時(shí)等號(hào)成立。故所求最小值為.21例8：設(shè)zyx,為正數(shù)，且1543zyx，求xzzyyx111的最小值。解：由1543zyx，即1)(3)(2)(xzzyyx。則由柯西不等式的變形知上海高考網(wǎng)更多資源關(guān)注上海高考網(wǎng).)321()(3)(2)()321()(3)3()(2)2(111122222xzzyyxxzzyyxxzzyyx且當(dāng))(33)(221xzzyyx及1543zyx時(shí)等號(hào)成立故xzzyyx111的最小值為.)321(2例3設(shè)1,abcdRdcba求證2)1(1)1(1)1(1)1(1addccbba證：設(shè)xwdwzczybyxa,Rwzyx,則原不等式等價(jià)于.2)1(1)1(1)1(1)1(1yxxwxwwzwzzyzyyx即.2111111111111yxwxwzwzyzyx由柯西不等式.)11(1)11(1)11(1)11(1)1111(1111111111112yxwxwzwzyzyxwzyxyxwxwzwzyzyx將上式分子與分母展開(kāi)，應(yīng)用柯西不等式可證原不等式成立。9.設(shè)正數(shù)zyxcba,滿足caybxbcxazabzcy,求函數(shù)zzyyxxzyxf111),(222最小值解：由已知條件可解abcbazacbcaybcacbx222222222222令222222222,cbabcaacb則),(,)(,)(,)(Rzyx從而)()()()()()()()()()()()()(),(2222zyxf上海高考網(wǎng)更多資源關(guān)注上海高考網(wǎng)下面估計(jì).21),(zyxf只需要證明.)()(34221)()()(2222利用均值不等式222)(從而結(jié)論成立即.21),(zyxf且等號(hào)當(dāng)21zyx即cba時(shí)成立。所以),(zyxf的最小值為.2110.證明：對(duì)任意自然數(shù)n，成立不等式.3.432n證：設(shè).).1(nkkak因?yàn)?2kkkaa如果1kak，則.2)1(221kkkkaakk所以，如果32a，則由數(shù)學(xué)歸納法可知.1nan也就是nnn)1(成立，但事實(shí)上顯然不成立，所以32a不成立。也就是原不等式得證。11.非負(fù)數(shù)naaa,.,21中最大的一個(gè)為a，證明不等式4).(.222122221anaaanaaann（并給出等號(hào)成立的條件）證：設(shè).21Mnaaan則.4)2(4.2222222221aMaaMaMMnaaan（因?yàn)閚aaaanaaaniaaannii.),.,2,1(21222212）等號(hào)成立，第一iiaaa2對(duì)每個(gè)i成立即0ia或者；aai第二.2aM這兩種情況都成立只有如下兩種情況（1）所有ia均為0；（2）n為偶數(shù)，2n個(gè),0ia其余的2n個(gè)).0(aaai12.已知)2；,.,2,1(,nniRxi滿足0,1|11niniiixx，求證.2121|1nixnii證：（1）設(shè)nxxx,.,21中大于0的實(shí)數(shù)有l(wèi)kkkxxx,.,21，不大于0的有nllkkkxxx,.,21，則由已知條件得.21；2111nliklikiixx所以上海高考網(wǎng)www.uji