2014高考百天仿真沖刺卷（理科數(shù)學(xué)試卷三）

第 1 頁 共 10 頁 2014 高考百天仿真沖刺卷 數(shù) 學(xué) (理 ) 試 卷 （ 三 ） 第 卷 （ 選擇題 共 40分） 一、本大題共 8小題 ， 每小題 5分 ， 共 40分 。 在每小題 列 出的四個選項中 ，選出符合 題目要求的 一項。 （ 1）“ 2x ”是“ 2 4x ”的 （ A）充分非必要條件 （ B）必要非充分條件 （ C）充要條件 （ D）既不充分也不必要條件 （ 2） 已知數(shù)列 na為等差數(shù)列，且1 2a，2313aa，那么則4 5 6a a a等于 （ A） 40 （ B） 42 （ C） 43 （ D） 45 （ 3）已知函數(shù) ()fx對任意的 x R 有 ( ) ( ) 0f x f x ，且當(dāng) 0x 時， ( ) ln ( 1)f x x，則函數(shù) ()fx的大致圖像為 （ A） （ B） （ C） （ D） （ 4）已知平面上不重合的四點 P ， A ， B ， C 滿足 0P A P B P C ，且 A B A C m A P ，那么實數(shù) m 的值為 （ A） 2 （ B） 3 （ C） 4 （ D） 5 （ 5）若右邊的程序框圖輸出的 S 是 126 ，則條件可為 （ A） 5n （ B） 6n （ C） 7n （ D） 8n （ 6） 已知 ( , )2 , 1ta n ( )47 ,那么 cossin 的值為 （ A）51 （ B）57 （ C）57 （ D）43 （ 7）已知函數(shù) 31)21()( xxf x ，那么在下列區(qū)間中含有函數(shù) )(xf 零點的是 （ A） )31,0( （ B） )21,31( （ C） )32,21( （ D） )1,32( （ 8）空間點到平面的距離定義如下：過空間一點作平面的垂線，這個點和垂足之間的距離叫做這個點到這個平面的距離已知平面 ， ， 兩兩互相垂直，點 A ，點 A 到 ， 的距離都是 3 ，點 P是 上的動點，滿足 P 到 的距離是 P 到點 A 距離的 2 倍，則點 P 的軌跡上的點到 的距離的最小值是 O x y O x y O y x O x y 第 2 頁 共 10 頁 40 50 60 70 80 90 體重 (kg) 頻率組距 0.005 0.010 0.020 0.030 0.035 0.015 0.025 O A D B C （ A） 33 （ B） 323 （ C） 36 （ D） 3 第 卷（非選擇題 共 110 分） 二、填空題：本大題共 6小題，每小題 5分，共 30分。 （ 9）如果 2( i)(1 i)mm是實數(shù) ,那么實數(shù) m （ 10） 已知曲線 C 的參數(shù)方程為 2 c o s ,s inxy（ 為參數(shù)） ， 則曲線上點 C 到直線 3 4 4 0xy 的距離的最大值為 （ 11）從某地高中男生中隨機(jī)抽取 100名同學(xué)，將他們的體重（單位： kg）數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖）由圖中數(shù)據(jù)可知體重的平均值為 kg；若要從體重在 60 , 70），70 ， 80) , 80 , 90三組內(nèi)的男生中，用分層抽樣的方法選取 12 人參加一項活動，再從這 12 人選兩人當(dāng)正負(fù)隊長，則這兩人身高不在同一組內(nèi)的概率為 （ 12）如圖， 已知圓 O 的半徑為 3 ，從圓 O 外一點 A引切線 AD 和割線 ABC ，圓心 O 到 AC 的距離為 22 ， 3AB ， 則 切 線 AD 的長為 （ 13）過拋物線 2 2 ( 0 )y p x p的焦點作傾斜角為 60 的直線，與拋物線分別交于 A ， B 兩點（點 A 在 x 軸上方）， AFBF （ 14）已知數(shù)列 na滿足：1 1a，2 2a ，3 3a，4 4a ，5 5a ，且當(dāng) n 5時，1 1 2 1nna a a a ， 若 數(shù) 列 nb滿足對任意 *Nn ，有2 2 21 2 1 2n n nb a a a a a a ，則 b5= ；當(dāng) n 5 時， nb 三、解答題：本大題共 6小題，共 80分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。 （ 15）（本小題共 13分） 在 ABC 中，角 A ， B ， C 的對邊分別為 a ， b ， c 分，且滿足 2 c o sc o sc b BaA （）求角 A 的大?。?（）若 25a ，求 ABC 面積的最大值 第 3 頁 共 10 頁 （ 16）（本小題共 14分） 已知四棱錐 P ABCD 的底面是菱形 60BC D， 2A B P B P D ， 3PC ， AC 與 BD交于 O 點， E ， H 分別為 PA ， OC 的中點 （）求證： EC 平面 BDE ； （）求證： PH 平面 ABCD ； （）求直線 CE 與平面 PAB 所成角的正弦值 （ 17）（本小題共 13分） 甲、乙、丙三人參加了一家公司的招聘面試，面試合格者可正式簽約，甲表示只要面試合格就簽約 .乙、丙則約定：兩人面試都合格就一同簽約，否則兩人都不簽約 .設(shè)甲面試合格的概率為 ，乙、丙面試合格的概率都是 ，且面試是否合格互不影響 （ ） 求 至少有 1人面試合格的概率； （ ） 求 簽約人數(shù) 的分布列 和數(shù)學(xué)期望 （ 18）（本小題共 13分） 已知 函數(shù) 2( ) l n , ( )xxf x x x g x ee （ ）求函數(shù) ()fx 在區(qū)間 1,3 上的最小值； （ ）證明：對 任意 , (0 , )mn ，都有 ( ) ( )f m g n 成立 O E C A B D P H 第 4 頁 共 10 頁 （ 19）（本小題共 13分） 已知 橢圓 22 1 ( 0 )yx abab 的 離心率為 22， 且兩個焦點和短軸的 一 個端點 是一個等腰三角形的頂點 斜率為 ( 0)kk 的 直線 l 過 橢圓的上 焦點 且與 橢圓 相交 于 P ， Q 兩點 ，線段 PQ 的垂直平分線與y 軸相交于點 (0, )Mm （ ）求橢圓的方程； （ ） 求 的取值范圍 ； （）試用 表示 MPQ 的 面積，并求面積的最大值 (20) （本小題共 14分） 對于 )2( nn *N ，定義一個如下數(shù)陣： nnnnnnnnaaaaaaaaaA212222111211 其中對任意的 ni 1 ， nj 1 ，當(dāng) i 能整除 j 時， 1ija；當(dāng) i 不能整除 j 時， 0ija設(shè)njjjni ijaaaajt 211)( （）當(dāng) 6n 時，試寫出數(shù)陣66A并計算 61)(jjt ； （）若 x 表示不超過 x 的最大整數(shù)，求證： njjt1)( ni in1 ； （）若 njjtnnf1)(1)( ， dxxng n 1 1)( ，求證： ( ) 1 ( ) ( ) 1g n f n g n 第 5 頁 共 10 頁 2013 高考百天仿真沖刺卷 數(shù)學(xué) (理 )試卷（ 三 ）參考答案 一、選擇題 （本大題共 8小題，每小題 5分，共 40分） （ 1） B （ 2） B （ 3） A （ 4） C （ 5） C （ 6） B （ 7） B （ 8） C 二、填空題（本大題共 6小題，每小題 5分，共 30分） （ 9） 1 （ 10） 3 （ 11） 5.64 32 （ 12） 15 （ 13） 3 （ 14） 65 n70 注：兩個空的填空題第一個空填對得 2分，第二個空填對得 3分 三、解答題（本大題共 6小題，共 80分） （ 15）（共 13分） 第 6 頁 共 10 頁 解：（）因為 2 c o sc o sc b BaA ， 所以 ( 2 ) c o s c o sc b A a B 由正弦定理，得 ( 2 s i n s i n ) c o s s i n c o sC B A A B 整理得 2 s i n c o s s i n c o s s i n c o sC A B A A B 所以 2 s i n c o s s i n ( ) s i nC A A B C 在 ABC 中， sin 0C 所以 1cos2A，3A （）由余弦定理 2 2 2 1c o s22b c aA bc， 25a 所以 22 2 0 2 2 0b c b c b c 所以 20bc ，當(dāng)且僅當(dāng) bc 時取“ =” 所以三角形的面積 1 s i n 5 32S b c A 所以三角形面積的最大值為 53 （ 16）（共 14分） （）證明：因為 E ， O 分別為 PA ， AC 的中點， 所以 EO PC 又 EO 平面 BDE ,PC 平面 BDE 所以 PC 平面 BDE （）證明：連結(jié) OP ， 因為 PB PD ， 所以 OP BD 在菱形 ABCD 中， BD AC ， 又因為 O P A C O ， 所以 BD 平面 PAC 又 PH 平面 PAC ， 所以 BD PH 在直角三角形 POB 中， 1OB ， 2PB ， 所以 3OP 又 3PC ， H 為 OC 的中點，所以 PH OC 又因為 B D O C O 所以 PH 平面 ABCD （）解：過點 O 作 OZ PH ，所以 OZ 平面 ABCD 如圖，以 O 為原點， OA ， OB ， OZ 所在直線為 ,x yz 軸，建立空間直角坐標(biāo)系 可得， ( 3, 0, 0)A ， (0,1,0)B ， ( 3, 0, 0)C ， 33( , 0, )22P ， 33( , 0, )44E 所以 ( 3 ,1, 0 )AB ， 3 3 3( , 0 , )22AP ， 5 3 3( , 0 , )44CE 設(shè) ( , , )x y zn 是平面 PAB 的一個法向量，則 00ABAP nn，即 303 3 3 022xyxz ， O E C D B A H 第 7 頁 共 10 頁 令 1x ，則 (1, 3 , 3 )n 設(shè)直線 CE 與平面 PAB 所成的角為 ，可得 4s i n c o s ,7n CE 所以直線 CE 與平面 PAB 所成角的正弦值為 47 （ 17）（共 13分） 解：（ ）用 A， B， C分別表示事件甲、乙、丙面試合格 .由題意知 A， B， C相互獨立， 且 . 至少有 1人面試合格的概率是 （ ） 的可能取值為 0， 1， 2， 3. = = 的分布列是 0 1 2 3 的期望 （ 18）（共 13分） （ ） 解：由 ( ) lnf x x x ，可得 ( ) ln 1f x x 當(dāng) 1( 0 , ) , ( ) 0 , ( )x f x f xe 單調(diào)遞減， 當(dāng) 1( , ) , ( ) 0 , ( )x f x f xe 單調(diào)遞增 . 所以函數(shù) ()fx 在區(qū)間 1,3 上單調(diào)遞增， 又 (1) 0f ， 所以函數(shù) ()fx 在區(qū)間 1,3 上的最小值為 0 第 8 頁 共 10 頁 （ ） 證明： 由（）可知 ( ) l n ( ( 0 , ) )f x x x x 在 1xe時取得最小值， 又 11()fee， 可知 1()fme 由 2()xxgx ee，可得 1( )xxgx e 所以當(dāng) ( 0 , 1 ) , ( ) 0 , ( )x g x g x單調(diào)遞增， 當(dāng) (1 , ) , ( ) 0 , ( )x g x g x 單調(diào)遞減 . 所以函數(shù) ( )( 0)g x x 在 1x 時取得最大值， 又 1(1)ge， 可知 1()gne， 所以 對 任意 , (0 , )mn ，都有 ( ) ( )f m g n 成立 （ 19）（共 13分） 解：（）依題意可得，22ac， cb ， 又 222 cba ， 可得 1, 2ba 所以橢圓方程為 2 2 12y x （） 設(shè)直線 l 的方程為 1y kx， 由 221,1,2y kxy x 可得 22( 2 ) 2 1 0k x k x 設(shè)1 1 2 2( , ) , ( , )P x y Q x y， 則12 2 2 2kxx k ，12 2 1 2xx k 可得1 2 1 2 2 4( ) 2 2y y k x x k 設(shè)線段 PQ 中點為 N ，則點 N 的坐標(biāo)為222( , )22kkk， 由題意有 1 kkMN， 可得 2222 12m kkkk 可得21 2m k ， 又 0k ， 所以 102m （）設(shè)橢圓上焦點為 F ， 第 9 頁 共 10 頁 則1212M P QS F M x x . 221 2 1 2 1 2 228 ( 1 )( ) 4( 2 )kx x x x x xk ， 由21 2m k ，可得 2 12k m 所以12218 ( 1 )8 ( 1 )1mx x m mm 又 1FM m ， 所以 32 (1 )M P QS m m . 所以 MPQ 的 面積為 3)1(2 mm （210 m） 設(shè) 3)1()( mmmf ， 則 )41()1()( 2 mmmf 可知 )(mf 在區(qū)間 )41,0(單調(diào)遞增，在區(qū)間 )21,41(單調(diào)遞減 所以，當(dāng)41m時， )(mf 有最大值6427)41( f 所以，當(dāng)41m時， MPQ 的 面積有最大值863 （ 20）（共 1分） （）解：依題意可得， 10000001000000100010010010101011111166A 14423221)(61jjt （）解：由題意可知， )(jt 是數(shù)陣nnA的第 j 列的和， 因此 njjt1)( 是數(shù)陣 nnA 所有數(shù)的和 而數(shù)陣nnA所有數(shù)的和也可以考慮按行相加 對任意的 ni 1 ，不超過 n 的倍數(shù)有 i1 ， i2 ， iin 因此數(shù)陣nnA的第 i 行中有 in個，其余是 0 ，即第 i 行的和為 in 所以 njjt1)( ni in1