2013年山西省中考試題

2013年山西省中考試題 數(shù)學(xué) （解析） （滿分 120 分 考試時(shí)間 120 分鐘） 第 I卷 選擇題（共 24分） 一、 選擇題（本大題共 12 小題，每小題 2 分，共 24分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合要求，請選出并在答題卡上將該項(xiàng)涂黑） 1（ 2013 山西 ， 1， 2 分） 計(jì)算 2（ -3）的結(jié)果是（ ） A 6 B -6 C -1 D 5 【答案】 B 【 解析 】 異號相乘，得負(fù)，所以選 B。 2（ 2013 山西 ， 2， 2 分） 不等式組352 1 5xx的解集在數(shù)軸上表示為（ ） 【答案】 C 【 解析 】 解（ 1）得： 2x ，解（ 2）得： x 3，所以解集為 23x ，選 C。 3（ 2013 山西 ， 3， 2 分） 如圖是一個(gè)長方體包裝盒，則它的平面展開圖是（ ） 【答案】 A 【 解析 】 長方體的四個(gè)側(cè)面中，有兩個(gè)對對面的小長方形，另兩個(gè)是相對面的大長方形， B、C 中兩個(gè)小的與兩個(gè)大的相鄰，錯(cuò)， D 中底面不符合，只有 A 符合。 4（ 2013 山西 ， 4， 2 分） 某班實(shí)行每周量化考核制，學(xué)期末對考核成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果顯示甲、乙兩組的平均成績相同，方差分別是 S2 甲 =36， S2 乙 =30，則兩組成績的穩(wěn)定性：（ ） A甲組比乙組的成績穩(wěn)定 B乙組比甲組的成 績穩(wěn)定 C甲、乙兩組的成績一樣穩(wěn)定 D無法確定 【答案】 B 【 解析 】 方差小的比較穩(wěn)定，故選 B。 5（ 2013 山西 ， 5， 2 分） 下列計(jì)算錯(cuò)誤的是（ ） A x3+ x3=2x3 B a6a 3=a2 C12 2 3= D11 33 【答案】 B 【 解析 】 a6a 3 6 3 3aa ，故 B 錯(cuò)， A、 C、 D 的計(jì)算都正確。 6（ 2013 山西 ， 6， 2 分） 解分式方程22311xxx+=-時(shí)，去分母后變形為（ ） A 2+（ x+2） =3（ x-1） B 2-x+2=3（ x-1） C 2-（ x+2） =3（ 1- x） D 2-（ x+2） =3（ x-1） 【答案】 D 【 解析 】 原方程化為：3x， 去分母時(shí)，兩邊同乘以 x 1，得： 2（ x 2） 3（ x 1），選 D。 7（ 2013 山西 ， 7， 2 分） 下表是我省 11 個(gè)地市 5 月份某日最高氣溫（ ）的統(tǒng)計(jì)結(jié)果： 太原 大同 朔州 忻州 陽泉 晉中 呂梁 長治 晉城 臨汾 運(yùn)城 27 27 28 28 27 29 28 28 30 30x k b 1 . c o m 31 該日最高氣溫的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（ ） A 27 ， 28 B 28 ， 28 C 27 ， 27 D 28 ， 29 【答案】 B 【 解析 】 28出現(xiàn) 4次，最多，所以眾數(shù)為 28，由小到大排列為： 27,27,27,28,28,28,28,29,30,30,31，所以，中位數(shù)為 28，選 B。 8（ 2013 山西 ， 8， 2 分） 如圖，正方形地磚的圖案是軸對稱圖形，該圖形的對稱軸有（ ） A 1 條 B 2 條 C 4 條 D 8 條 【答案】 C 【 解析 】 這是一個(gè)正八邊 形，對稱軸有 4 條。 9（ 2013 山西 ， 9， 2 分） 王先生到銀行存了一筆三年期的定期存款，年利率是 4.25%，若到期后取出得到本息和（本金 +利息） 33852 元。設(shè)王先生存入的本金為 x 元，則下面所列方程正確的是（ ） A x+34.25%x=33825 B x+4.25%x=33825 C 34.25%x=33825 D 3(x+4.25%x)=33825 【答案】 A 【 解析 】 一年后產(chǎn)生的利息為 4.25%x，三年后產(chǎn)生的利息為： 3 4.25%x，再加上本金，得到 33852 元，所以， A 是正確 的。 10（ 2013 山西 ， 10， 2 分） 如圖，某地修建高速公路，要從 B 地向 C 地修一座隧道（ B，C 在同一水平面上），為了測量 B， C 兩地之間的距離，某工程師乘坐熱氣球從 C 地出發(fā)，垂直上升 100m 到達(dá) A 處，在 A 處觀察 B 地的俯角為 30，則 BC 兩地之間的距離為（ ） A 1003m B 502m C 503m D10033m 【答案】 A 【 解析 】 依題得： AC 100， ABC 30， tan30 ACBC， BC 100100 333，選 A。 11（ 2013 山西 ， 11， 2 分） 起重機(jī)將質(zhì)量為 6.5t 的貨物沿豎直方向提升了 2m，則起重機(jī)提升貨物所做的功用科學(xué)記數(shù)法表示為（ g=10N/kg）（ ） A 1.3106J B 13105J C 13104J D 1.3105J 【答案】 D 【 解析 】 質(zhì)量 m=6500kg， G=mg=65000，做功為 W=650,0 2=130000=1.3105J，選 D。 12（ 2013 山西 ， 1， 2 分 ） 如圖，四邊形 ABCD 是菱形， A=60， AB=2，扇形 BEF 的半徑為 2，圓心角為 60，則圖中陰影部分的面積是（ B ） A2332 B233 C 32 D 3 【答案】 B 【 解析 】 扇形 BEF 的面積為： S1= 60 4360= 23， 菱形 ABCD 的面積為 SABCD= 12 2 3 2 32 ， 如右圖，連結(jié) BD，易證： BDP BCQ，所以， BCQ 與 BAP 的面積之和為 BAD 的面積為： 3 ，因?yàn)樗倪呅?BPDQ 的面積為 3 ， 陰影部分的面積為：2 第 卷 非選擇題（共 96分） x k b 1 . c o m 二、填空題（本大題共 6 個(gè)小題，每小題 3 分，共 18 分。把答案寫在題中的橫線上） 13（ 2013 山西 ， 13， 3 分） 分解因式： 【答案】 （） 【 解析 】 原式提取公因式 a 即可，本題較簡單。 x k b 1 .co m 14（ 2013 山西 ， 14， 3 分） 四川雅安發(fā)生地震后，某校九（ 1）班學(xué)生開展獻(xiàn)愛心活動(dòng)，積極向?yàn)?zāi)區(qū)捐款。如圖是該班同學(xué)捐款的條形統(tǒng)計(jì)圖，寫出一條你從圖中所獲得的信息： 【答案】 該班有 50 人參與 了獻(xiàn)愛心活動(dòng)（只要與統(tǒng)計(jì)圖中所提供的信息相符即可得分） 【 解析 】 能得到的信息較多，答案不唯一，讀圖可得各組的人數(shù)分別為： 20、 5、 10、 15，加起來等于 50。 15（ 2013 山西 ， 15， 3 分） 一組按規(guī)律排列的式子： ，43a，65,87a,. 則第 n 個(gè)式子是 _X k B1 .cOM 【答案】221nan-（ n 為正整數(shù)） 【 解析 】 已知式子可寫成： 21a，43a，65,87a，分母為奇數(shù)，可寫成 2n-1，分子中字母 a的指數(shù)為偶數(shù) 2n。 16（ 2013 山西 ， 16， 3 分） 如圖，矩形 ABCD 在第一象限， AB 在 x 軸正半軸上， AB=3，BC=1，直線 y=12x-1 經(jīng)過點(diǎn) C 交 x 軸于點(diǎn) E，雙曲線ky x=經(jīng)過點(diǎn) D，則 k 的值為 _. 【答案】 1 【 解析 】 顯然 C 點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 1，將 y=1 代入，直線方程 y=12x-1，得 x=4，即 OB=4， 又 AB=3，所以， OA=1，所以 D 點(diǎn)坐標(biāo)為 (1,1)，代入雙曲線方程，可得 k=1。 17（ 2013 山西 ， 1， 2 分） 如圖，在矩形紙片 ABCD 中， AB=12， BC=5，點(diǎn) E 在 AB 上，將 DAE 沿 DE 折疊，使點(diǎn) A 落在對角線 BD 上的點(diǎn) A處，則 AE 的長為 _. 【答案】103 【 解析 】 由勾股定理求得： BD=13， DA=D A =BC=5， D A E= DAE=90， 設(shè) AE=x， 則 A E=x， BE=12 x， B A =13 5 8， 在 Rt E A B 中， 2 2 2(1 2 ) 8xx ，解得： x103，即 AE 的長為103 18（ 2013 山西 ， 18， 3 分） 如圖是我省某地一座拋物線形拱橋，橋拱在豎直平面內(nèi)，與水平橋面相交于 A， B 兩點(diǎn)，橋拱最高點(diǎn) C 到 AB 的距離為 9m， AB=36m， D， E 為橋拱底部的兩點(diǎn)，且 DE AB，點(diǎn) E 到直線 AB 的距離為 7m，則 DE 的長為 _m. 【答 案】 48 【 解析 】 以 C 為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如右上圖，依題意，得 B（ 18， 9）， 設(shè)拋物線方程為： 2y ax ，將 B 點(diǎn)坐標(biāo)代入，得 a 136，所以，拋物線方程為：2136yx ， E 點(diǎn)縱坐標(biāo)為 y 16，代入拋物線方程， 16 2136x，解得： x 24，所以， DE 的長為 48m。 三、解答題（本大題共 8 個(gè)小題，共 78 分。解答應(yīng) 寫出文字說明、證明過程或演算步驟） 19（本題共 2 個(gè)小題，每小題 5 分，共 10 分） 第 17 題 （ 1）（ 2013 山西 ， 19(1)， 5 分） 計(jì)算：012 cos 453. 【 解析 】 解：原式 =2212 =1-1=0 （ 2）（ 2013 山西 ， 19(2)， 5 分） 下面是小明化簡分式的過程，請仔細(xì)閱 讀，并解答所提出的問題。 22 6 2( 2) 62 4 ( 2) ( 2) ( 2) ( 2)x x xx x x x x x- - - = -+ - + - + - 第一步 =2（ x-2） -x-6 第二步 =2x-4-x+6 第三步 =x+2 第四步 小明的解法從第 （ 2 分）步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤， 正確的化簡結(jié)果是 。（ 3 分） 【答案】二 12x- 20（ 201 3 山西 ， 20， 7 分） （本題 7 分）解方程：（ 2x-1） 2=x(3x+2)-7 【 解析 】 解：原方程 可化為： 4x2-4x+1=3x2+2x-7 x2-6x+8=0 (x-3)2=1 x-3=1 x1=2 x2=4 21（ 2013 山西 ， 21， 8 分） （本題 8 分）如圖，在 ABC 中， AB=AC， D 是 BA 延長線上的一點(diǎn)，點(diǎn) E 是 AC 的中點(diǎn)。 （ 1） 實(shí)踐與操作 ：利用尺規(guī)按下列要求作圖，并在圖中標(biāo)明相應(yīng)字母（保留作圖痕跡，不寫作法）。 作 DAC 的平分線 AM。 連接 BE 并延長交 AM 于點(diǎn) F。 【 解析 】 解： 作圖正確，并有痕跡。 連接 BE 并延長交 AM 于點(diǎn) F。 （ 2） 猜想與證明 ：試猜想 AF 與 BC 有怎樣的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并說明理由。 【 解析 】 解： AF BC 且 AF=BC 理由如下： AB=AC, ABC= C DAC= ABC+ C=2 C 由作圖可知： DAC=2 FAC C= FAC. AF BC. E 是 AC 的中點(diǎn)， AE=CE, AEF= CEB AEF CEB AF=BC. 22（ 2013 山西 ， 22， 9 分） （本題 9 分）小勇收集了我省四張著名的旅游景點(diǎn)圖片（大小、形狀及背面完全相同）：太原以南的壺口瀑布和平遙古城，太原以北的云崗石窟和五臺山。他與爸爸玩 游戲：把這四張圖片背面朝上洗勻后，隨機(jī)抽取一張（不放回），再抽取一張，若抽到兩個(gè)景點(diǎn)都在太原以南或都在太原以北，則爸爸同意帶他到這兩個(gè)景點(diǎn)旅游， 否則，只能去一個(gè)景點(diǎn)旅游。請你用列表或畫樹狀圖的方法求小勇能去兩個(gè)景點(diǎn)旅游的概率（四張圖 片分別用（ H， P， Y， W 表示） 。 【 解析 】 解：列表如下： 或畫樹狀圖如 下： 由列表（或畫樹狀圖）可以看出，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有 12 種，而且每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相同，其中抽到的兩個(gè)景點(diǎn)都在太原以南或以北的結(jié)果共有 4 種。 P（小能力能到兩個(gè)景點(diǎn)旅游） =412=13 23（ 2013 山西 ， 23， 9 分） （本題 9 分）如圖， AB 為的直徑，點(diǎn) C 在 O 上，點(diǎn) P 是直徑 AB 上的一點(diǎn)（不與 A， B 重合），過點(diǎn) P 作 AB 的垂線交 BC 的延長線于點(diǎn) Q。 （ 1）在線段 PQ 上取一點(diǎn) D，使 DQ=DC，連接 DC，試判斷 CD 與 O 的位置關(guān)系，并說明理由。 （ 2）若 cosB=35， BP=6， AP=1，求 QC 的長。 解析 】 解：（ 1） CD 是 O 的切線 , 理由如下：連接 OC, OC=OB, B= 1.又 DC=DQ, Q= 2 PQ AB, QPB=90 B+ Q=90 1+ 2=90 DCO= QCB-( 1+ 2)=180-90, OC DC, OC 是 O 的半徑 CD 是 O 的切線 (2)連接 AC, AB 是 O 的直徑 , ACB=90. 在 Rt ABC 中 , BC=ABcosB=(AP+BP) cosB=(1+6)35=21. 在 Rt BPQ 中 BQ=cosBPB=635=10 QC=BQ-BC=10=215=29 24（ 2013 山西 ， 24， 8 分） （本題 8 分）某校實(shí)行學(xué)案式教學(xué)，需印制若干份數(shù)學(xué)學(xué)案。印刷廠有甲、乙兩種收費(fèi)方式，除按印數(shù)收取印刷費(fèi)外，甲種方式還需收取制版費(fèi)而乙 種不需要。兩種印刷方式的費(fèi)用 y（元）與印刷份數(shù) x（份）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示： （ 1）填空：甲種收費(fèi)方式的函數(shù)關(guān)系式是 . 乙種收費(fèi)方式的函數(shù)關(guān)系式是 . （ 2）該校某年級每次需印制 100450（含 100 和 450）份學(xué)案，選擇哪種印刷方式較合算。 【 解析 】 （ 1） y=0.1x+6 y=0.12x （ 2）解：由 0.1x+6 0.12x，得 x 300 由 0.1x+6=0.12x，得 x=300 由 0.1x+6 0.12x，得 x 300 由此可知：當(dāng) 100x 300 時(shí)，選 擇乙種方式較合算； 當(dāng) x=300 時(shí)，選擇甲乙兩種方式都可以； 當(dāng) 300 x450 時(shí)，選擇甲種方式較合算。 來源 :Z_ x x _k.Com 25（ 2013 山西 ， 25， 13 分） （本題 13 分） 數(shù)學(xué)活動(dòng) 求重疊部分的面積。 問題情境 ：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問題： 如圖，將兩塊全等的直角三角形紙片 ABC 和 DEF 疊放在一起，其中 ACB= E=90，BC=DE=6， AC=FE=8，頂點(diǎn) D 與邊 AB 的中點(diǎn)重合， DE 經(jīng)過點(diǎn) C， DF 交 AC 于點(diǎn) G。 求重疊部分（ DCG）的面積。 （ 1）獨(dú)立思考：請解答老師提出的問題。 【 解析 】 解： ACB=90D 是 AB 的中點(diǎn) , DC=DB=DA, B= DCBGEFCBA D （ 25 題（ 1） 又 ABC FDE， FDE= B FDE= DCB, DG BC AGD= ACB=90 DG AC 又 DC=DA, G 是 AC 的中點(diǎn) , CG=12AC=128=4,DG=12BC=126=3 SDCG=12CGDG=1243=6 （ 2）合作交流： “希望 ”小組受此問題的啟發(fā)，將 DEF 繞點(diǎn) D 旋轉(zhuǎn)，使 DE AB 交 AC 于點(diǎn) H， DF 交 AC 于點(diǎn) G，如圖 (2)，你能求出重疊部分 ( DGH)的面積嗎？請寫出解答過程。 【 解析 】 解法一： ABC FDE, B= 1321GHEF CBA D C=90,ED AB, A+ B=90, A+ 2=90, B= 2, 1= 2 GH=GD A+ 2=90, 1+ 3=90 A= 3, AG=GD， AG=GH 點(diǎn) G 是 AH 的中點(diǎn)， 在 Rt ABC 中 ， AB= 10 D 是 AB 的中點(diǎn)， AD= 2AB=5 在 ADH 與 ACB 中， A = A， ADH= ACB=90, ADH ACB, ADAC=DHCB,58=6DH, DH=154, S DGH12S ADH12 DHAD=14155=7516 （ 25 題（ 2） 解法二：同解法一， G 是 AH 的中點(diǎn)，321GHEF CBA D 連接 BH， DE AB， D 是 AB 的中點(diǎn)， AH=BH，設(shè) AH=x 則 CH - 在 Rt BCH 中， CH2+BC2=BH2，即（ 8-x） 2+36=x2，解得 x= S ABH=AHBC=122546=754 S =12S ADH=12 S ABH=14754=16. 321NMGHEF CBA D 解法三：同解法一， 1= 2 連接 CD，由（ 1）知， B= DCB= 1， 1= 2= B= DCB， DGH BDC, 作 DM AC 于點(diǎn) M， CN AB 于點(diǎn) N， D 是 AB 的中點(diǎn)， ACB=90 CD=AD=BD， 點(diǎn) M 是 AC 的中點(diǎn)， DM=12BC=126=3 在 Rt ABC 中， AB=2 2 2 286AC BC+ = +=10，12ACBC=12ABCN， CN8 6 2410 5AC BCAB創(chuàng) =. DGH BDC, 2DGHBCDCS DMS CN , 2D G H B C D CDMSSCN=2 12DM BD CNCN （ 25 題（ 2） （ 25 題（ 2） 23 1 25 75525 2 4 164DGHS （ 3） 提出問題 ：老師要求各小組向 “希望 ”小組學(xué)習(xí)，將 DEF 繞點(diǎn) D 旋轉(zhuǎn)，再提出一個(gè)求重疊部分面積的問題。 “愛心 ”小組提出的問題是：如圖 (3)，將 DEF 繞點(diǎn) D 旋轉(zhuǎn)， DE， DF分別交 AC 于點(diǎn) M， N，使 DM=MN 求重疊部分 ( DMN)的面積、 任務(wù)： 請解決 “愛心 ”小組所提出的問題，直接寫出 DMN 的面積是 請你仿照以上兩個(gè)小組，大膽提出一 個(gè)符合老師要求的問題，并在圖中畫出圖形，標(biāo)明字母，不必解答（注：也可在圖（ 1）的基礎(chǔ)上按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)）。 NMEFCBA DNMEFCBA D 【答案】 7516 注：此題答案不唯一，語言表達(dá)清晰、準(zhǔn)確得 1 分，畫圖正確得 1 分，重疊部分未涂陰影不扣分。示例：如圖，將 DEF 繞點(diǎn) D 旋轉(zhuǎn)，使 DE BC 于點(diǎn) M， DF 交 AC 于點(diǎn) N，求重疊部分（四邊形 DMCN）的面積。 26（ 2013 山西 ， 26， 14 分） （本題 14 分）綜合與探究：如圖 ,拋物線213 442y x x= - -與x 軸交于 A,B 兩點(diǎn) (點(diǎn) B 在點(diǎn) A 的右側(cè) )與 y 軸交于點(diǎn) C,連接 BC,以 BC 為一邊 ,點(diǎn) O 為對稱中心作菱形 BDEC,點(diǎn) P 是 x 軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) ,設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（ m， 0），過點(diǎn) P 作 x 軸的垂（ 25 題（ 3） （ 25 題（ 4） 線 l 交拋物線于點(diǎn) Q （ 1）求點(diǎn) A,B,C 的坐標(biāo)。 （ 2）當(dāng)點(diǎn) P 在線段 OB 上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線 l 分別交 BD， BC 于點(diǎn) M,N。試探究 m 為何值時(shí)，四邊形 CQMD 是平行四邊形，此時(shí)，請判斷四邊形 CQBM 的形狀，并說明理由。 （ 3）當(dāng)點(diǎn) P 在線段 EB 上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在點(diǎn) Q，使 BDQ 為直角三角形，若存在，請直接